第二题 集合及其运算(解析版)

第二题集合及其运算真题展示与解法精粹设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.【思路分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.典型高考真题一、单选题1．设全集，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由集合的补集运算可得答案．【详解】全集，，则故选B.【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题．2．数集是整数与数集是整数之间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合的表示与集合间关系判断【详解】当为整数时，可取所有奇数，当为整数时，可取所有奇数，故，故选：C3．已知A． B． C． D．【答案】B【分析】由题根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求得M，N,再由集合运算的性质然后取交集即可.【详解】,故选:B.【点睛】本题考查绝对值不等式及分式不等式的解法，集合的交集及其运算，属于基础题．4．已知集合A=,B=，则（）A．A=B B．AB= C．AB D．BA【答案】D【详解】由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.考点：本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.5．已知集合，，则的元素个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据题意，结合交集的运算，转化为交点问题，即可判断结果中元素的个数.【详解】依题意，，或，与有1个交点，与有1个交点，故的元素个数为2，故选：C．【点睛】本题考查集合的交集，涉及椭圆与直线的位置关系，属综合简单题.6．集合，则A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得到集合A、B，再按交集定义运算即可.【详解】由已知，，所以.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是看清集合中代表元，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.7．已知集合，集合，那（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】由于，所以.故选：A8．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.【详解】由题，故A错；∵，，∴，B正确；，C错；，D错；故选:B二、多选题9．已知集合，，则（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【解析】分别求出集合A，B对应的集合，根据交并集的概念即可得到答案.【详解】因为，所以，所以．又，所以，，，.故选：BCD．10．已知集合，若，则的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；【详解】解：因为，所以，所以或；故选：AB11．下列各组集合不表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用集合的意义，逐项判断即可作答.【详解】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是；对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是；对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是；对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是.故选：ABD12．已知集合A，B均为R的子集，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图所示根据图像可得,故A正确；由于，故B错误；,故C错误故选：AD三、填空题13．已知集合，，则.【答案】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为，，所以.故答案为：14．已知集合，，则.【答案】【分析】根据交集的运算可直接得出结果．【详解】解：集合，，，故答案为．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．15．已知集合，若，则.【答案】【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.【详解】由题意，集合，因为，所以，即是方程是方程的根，解得，当，可得集合,此时满足，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题.四、解答题16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．【答案】{m|m≤3}．【分析】由B＝和B≠分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得．【详解】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．17．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．（1）求A∩B，(∁RB)∪A；（2）已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x<6}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；（2）{a|2≤a≤8}．【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义即可求解；（2）因为C⊆B，所以借助数轴列出不等式组，解不等式组即可得答案.【详解】解:（1）因为集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}，所以A∩B＝{x|3≤x<6}，∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；（2）因为C⊆B，如图所示，则有，解得2≤a≤8，所以a的取值范围为{a|2≤a≤8}．18．设全集，集合，.(1)若，求，(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；或(2)【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果；（2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求.【详解】（1）因为，所以，又因为，，所以，或，故或.（2）因为，所以，因为，，所以当时，，解得，此时；当时，，由数轴法得，解得，故；综上：，即.19．给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．(1)当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）(2)当时，写出一个具有性质P的集合A；(3)当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．【答案】(1)A不具有性质P；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题设新定义即可判断；（2）根据定义即可写出；（3）若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，设，然后根据条件推出矛盾，进而即得.【详解】（1）根据题设定义可知不具有性质P；（2）当时，，，且，，中有且只有一个为2，满足性质P；（3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，即任取A中两个不同元素，，有，①，，，中有且只有一个为2．②设；则．当时，由①得，不满足②，矛盾．当时，由①得，由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．当时，由①得，不满足②，矛盾．当或时，不满足A中的元素个数为4，矛盾．所以假设不成立，即A不具有性质P．【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.20．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.【答案】(1)A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}(2){a|a<8}【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解；（2）利用运算结果，结合数轴，即可求解.【详解】（1）A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.∵＝{x|x<2或x>8}，∴∩B＝{x|1<x<2}.（2）∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可，∴a<8.∴a的取值范围为{a|a<8}.21．已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）当时，先分别化简集合A，B，再求；（2），也就是，集合A，B没有公共元素，这样，就可以建立不等关系，从而可求实数a的取值范围．【详解】（1）当时，，或，∴或；（2）因为，所以或，解得或，所以a的取值范围是．【点睛】本题考查交集的求法，考查由交集的结果求参数的取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.模拟题训练一、单选题1．设集合,,则M∩N＝（

）A．{2，1，0，1} B．{1，0，1} C．{1，0} D．{0，1}【答案】C【分析】先计算集合N，再计算得到答案.【详解】，则故选C【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型.2．已知集合，集合，则（

）A．A B．B C．N D．【答案】B【分析】根据集合的描述判断集合A、B中元素与两个集合的关系，结合集合交集的定义，即可确定.【详解】由题设，对于集合：当为偶数时元素属于集合B，当为奇数时元素不属于集合B，对于集合B：取任意值其元素都在集合A中，∴.故选：B3．已知集合，，则等于（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】解出集合B包含的不等式，根据交集的运算方法即可得出答案.【详解】，，.故选：C.4．若集合，，则A． B．C． D．【答案】A【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得，为图中阴影部分，即，故选A.考点：集合的交集运算.5．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集和补集的运算求解即可【详解】由题，，故故选：A【点睛】本题主要考查了补集与交集的运算，属于基础题6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A．5≤a≤4 B．4≤a≤5C．6≤a≤3 D．3≤a≤6【答案】A【分析】根据一次函数的性质求得，若，则满足，从而解得实数的取值范围.【详解】解：因为集合，，所以，又，则，解得故选：A二、多选题7．若集合，集合，则正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用集合的交并补运算和对元素是否属于集合的判断即可得到答案.【详解】因为集合，集合，对A，A正确；对B，B不正确；对C，，但C不正确；对D，，且D正确.故选：AD.8．设是一个集合，下列关系成立的是（

）A．； B． C． D．【答案】CD【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系判断A,B,C即可，利用补集的性质判断D【详解】解：因为表示集合中有一个元素，所以，所以AB错误，C正确；因为是一个集合，所以，所以D正确，故选：CD三、填空题9．若非空且互不相等的集合，，满足：，，则．【答案】【分析】推导出，，由此能求出．【详解】解：非空且互不相等的集合，，满足：，，，，．故答案为：．10．若，则实数.【答案】4或【分析】分三种情况讨论即得.【详解】∵，∴，即，此时符合题意；，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去；，即，经检验符合题意；综上，或.故答案为：4或.11．已知集合，，若，则.【答案】【分析】根据可得答案.【详解】因为集合，，，所以，解得，从而.故答案为：.12．设，，若，则实数组成的集合.【答案】【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.【详解】由解得，或，所以，当时，方程无解，则，满足题意；当时，由解得，所以或7，解得或，综上，实数组成的集合.故答案为：四、解答题13．已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.(1)若，写出的所有子集；(2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；(3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.【答案】(1)；(2)2；(3)13.【分析】（1）根据子集的定义，即可容易求得；（2）取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可；（3）令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值.【详解】（1）当时，，的所有子集为.（2）当时，取，因为，所以是的子集，此时；若，设且，根据题意，，其中；因为，所以，所以；又因为，所以；因为，所以，所以；因为，所以，所以，与矛盾.综上所述，.（3）设，设的元素个数为，若不是的子集，则最多能包含中的一个元素以及中的元素；令，易验证不是的子集，当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集，所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则；当时，存在，使得中必有两个元素属于，同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，所以是的子集；所以，的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义，同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题.14．已知，非空集合，若S是P的子集，求m的取值范围.【答案】【解析】由，解得．根据非空集合，S是P的子集，可得，解得范围．【详解】由，解得．，．非空集合．又S是P的子集，，解得．的取值范围是，．【点睛】本题考查了不等式的解法和充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．已知集合，.（1）当时，求集合，；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）．【详解】试题分析：(1)由题