44 数学归纳法（七大题型）

4．4数学归纳法【题型归纳目录】题型一：对数学归纳法的理解题型二：数学归纳法中的增项问题题型三：证明恒等式题型四：证明不等式题型五：归纳—猜想—证明题型六：用数学归纳法证明整除性问题题型七：用数学归纳法证明几何问题【知识点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法知识点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．2、数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法．它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）．例1．数学归纳法的功能和适用范围（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程．（2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当取第一个值结论正确；（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确2、用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3、用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．知识点三、用数学归纳法证题的类型：1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．5、用数学归纳法证明与数列有关的命题．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．【典型例题】题型一：对数学归纳法的理解例1．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在等式中，当时，，故等式的左边为，右边为.所以第一步应该验证的等式是.故选：D例2．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（

）A．假设时正确，再推证正确B．假设时正确，再推证正确C．假设时正确，再推证正确D．假设时正确，再推证正确【答案】B【解析】因为命题为“当为正奇数时，能被整除”，所以第二步归纳假设应写成：假设时正确，再推证正确.故选：B.例3．（2023·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（

）A．1 B．C． D．【答案】D【解析】表达式的左边是从开始加到结束，所以验证成立时等式左边计算所得项是.故选：D变式1．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】当时，，在验证时，左边所得的项为.故选：C.变式2．（2023·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立【答案】B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．【方法技巧与总结】即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．题型二：数学归纳法中的增项问题例4．（2023·高二课时练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.例5．（2023·福建·高二福建师大附中校考期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，不等式左边等于，当时，不等式左边等于当时，不等式的左边比时增加.故选：D例6．（2023·天津·高二统考期中）用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，左边.当时，左边.所以要增乘的是.故选：D变式3．（2023·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明，则从“到”，左边所要添加的项是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】当n＝k时，等式的左边为，当n＝k+1时，等式的左边为，故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．变式4．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（

）A．增加了B．增加了C．增加了，但减少了D．增加了，但减少了【答案】C【解析】当时，，当时，，故增加了，但减少了.故选：.变式5．（2023·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）用数学归纳法证明“”时，由假设不等式成立，推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明“”,当时，左边，共项，当时，左边，共项，所以，由假设不等式成立，推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为.故选：C.变式6．（2023·北京·高二北京八中校考期中）在用数学归纳法证明的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.【方法技巧与总结】在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别．题型三：证明恒等式例7．（2023·全国·高二随堂练习）求的和.【解析】因为当时，；当时，；当时，；当时，；猜想：，下面利用数学归纳法证明：例8．当时，左边，右边，等式成立；例9．假设当时，等式成立，即，变式7．当时，左边右边，所以当时，等式成立；综上所述：.变式8．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）．【解析】设．①当时，左边，右边，等式成立；②设当时等式成立，即，则当时，．由①②可知当时等式都成立．变式9．（2023·高二课时练习）是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？证明你的结论．【解析】假设存在，使得所给等式成立．令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．①当时，由以上可知等式成立；②假设当时等式成立，即，当时，．即时等式成立．由①②知等式对于一切正整数都成立．故存在，使等式对一切正整数都成立.变式10．（2023·高二课时练习）是否存在常数、、，使等式对任何正整数都成立？【解析】若存在常数、、，使上述等式对任何正整数都成立，则当时，由等式成立，有，即；①当时，等式也成立，有，即；②当时，等式也成立，有，即；③联立①②③，解关于、、的三元一次方程组得，，．故猜想等式对一切正整数都成立.下面用数学归纳法证明：1）当时，由上面的探求可知等式成立．2）假设时猜想成立，即．当时，．所以当时，等式也成立．由1）2）知猜想成立，即存在，，使命题成立．变式11．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）．【解析】当时，左侧，右侧，显然成立，假设时，当时，，即当时，等式也成立，综上可得，．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）时，等式的结构．（2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系．题型四：证明不等式例10．（2023·河南南阳·高二校联考期末）观察下列不等式：，，，，……．(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．【解析】（1）不等式可写为：，，，，所以归纳得到命题：（n为正整数）．（2）证明：①当n＝1时，易知命题成立；②假设当时，命题成立，即．则当时，，即时，命题也成立．由①②可知，．例11．（2023·广西玉林·高二校联考期中）（1）请用分析法证明：；（2）用数学归纳法证明不等式：．【解析】证明：（1）要证：，只需证：，只需证：，即证：，即证：，也就是证：42>40，而42>40显然成立，故原不等式得证．（2）证明：①当时，左边，时成立②假设当时成立，即那么当时，左边∴时也成立根据①②可得不等式对所有的n>1都成立．例12．（2023·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【解析】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，当n＝k＋1时，，所以当n＝k＋1时，不等式成立．综上，原不等式对任意n∈N*都成立．变式12．（2023·山西吕梁·高二统考期末）给出下列不等式：，，，，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【解析】（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，，，，猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为：（2）证明：①当时显然成立；

②假设时结论成立，即：成立，

当时，即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.变式13．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．【解析】由，得，所以,用数学归纳法证明不等式成立，证明如下：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立．②假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边,,右边．所以当时，不等式也成立．由①②可得不等式对任意的都成立，即原不等式成立．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键（1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则．（2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．（3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等．题型五：归纳—猜想—证明例13．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）设数列满足，，(1)求，的值，并猜想数列的通项公式；(2)利用数学归纳法证明上述猜想．【解析】（1）因为数列满足，，，所以当时，，

当时，．

由此猜想数列的通项公式为．（2）证明：用数学归纳法证明如下：①当时，，成立；②假设当时，成立，即，则当时，，成立，由①②，得：．例14．（2023·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通项公式，并加以证明．【解析】（1）因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，因为，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，证明过程如下：当时，显然成立，假设当时成立，即，当时，，解得：，或，因为数列的各项均为正整数，所以数列是递增数列，显然，所以，舍去，所以当时，成立，综上所述：例15．（2023·高二课时练习）已知数列：，，，…，，…，设为该数列的前项和.计算，，，的值；根据计算的结果，猜想（为正整数）的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解析】，，，，猜想（为正整数），下面用数学归纳法证明：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，所以当时，，所以当时猜想成立.由①②得，得证.变式14．（2023·高二课时练习）函数对任意实数x，y都有．(1)求的值；(2)若，求，，的值，猜想时的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【解析】（1）在中，令，得，得.（2）若，在中，令，得，令，，得，令，得，猜想：当时，，证明：当时，，等式成立，假设当时，，那么当时，，即时，等式也成立，根据数学归纳法原理可知，当时，.变式15．（2023·陕西西安·高二校考期中）在数列中，，．(1)写出，，，，猜想这个数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．【解析】（1）在数列中，，.当时，；当时，；当时，；所以，，，，猜测.（2）①当时，，，所以，所以时，等式成立；②假设当时，等式成立，即，则，所以时，等式成立.综合①和②可知，对于任意的，均成立.变式16．（2023·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知前n项和为的正项数列中，.(1)求，，并猜测数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.【解析】（1）当时，有，整理为，解得（舍去）或；当时，有，代入，整理为，解得（舍去）或，猜测数列的通项公式为；（2）当时，，猜想成立；假设当时，猜想成立，即；那么当时，，有，有，有，有，解得（舍去）或，故时猜想成立.综上所述：数列的通项公式为.【方法技巧与总结】（1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．（2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．题型六：用数学归纳法证明整除性问题例16．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）【解析】当时，，故能被整除，假设当时，结论成立，即能被整除，则当时，，由于和均能被整除，故能被整除，综上：能被整除（）.例17．（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数．【解析】（1）当时，能被64整除，命题成立．（2）假设当时，能够被64整除．当时，能够被64整除，能够被64整除．即当时，命题也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍数．例18．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）证明：当时，能被64整除．【解析】（1）当时，能被64整除．（2）假设当时，能被64整除，则当时，．故也能被64整除．综合（1）（2）可知当时，能被64整除．变式17．（2023·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？【解析】时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；证明：（1）当时，，命题显然成立；（2）假设当时，能被6整除．当时，，其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除，所以当时，命题也成立．据（1）（2），可知可以被6整除．故能被自然数6,，1，2，3整除.变式18．（2023·高二课时练习）已知，存在自然数，使得对任意正整数，被整除，请猜测出的最大值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的．【解析】∵、，，∴，，均能被36整除，猜想的最大值为36．证明如下：当，2时，已得证；假设当时，能被36整除，则当时，，∴能被36整除．∵不能被大于36的数整除，∴的最大值为36．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除．题型七：用数学归纳法证明几何问题例19．（2023·全国·高二课时练习）如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】（1）设，则依题意，可得，，代入，得，即，所以，，．（2）由（1）可猜想：．下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当时猜想成立，即有，则当时，由得，即，解得（不符合题意，舍去），即当时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即．例20．（2023·全国·高二课时练习）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．【解析】当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立，假设当时，个圆将平面分为个区域，当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分，因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即，即当时，命题成立根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域.例21．（2023·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用数学归纳法给出证明：①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1时猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．变式19．（2023·上海·高三专题练习）试证明对任何自然数，每一个正方形都可分成个正方形.【解析】当时，由图知结论成立.假设对于时结论成立，那么对于，我们可以先将正方形分成个正方形，再将这个正方形中的一个分成4个小正方形，从而得到个正方形，即时结论也成立.从而结论对任何自然数均成立.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．【过关测试】一、单选题1．（2023·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（）A．假设正确，再推正确B．假设正确，再推正确C．假设正确，再推正确D．假设正确，再推正确【答案】B【解析】根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B．2．（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，左端＝，当时，左端＝，故左边要增乘的代数式为.故选：B．3．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（

）A．假设时正确，再推证正确B．假设时正确，再推证正确C．假设时正确，再推证正确D．假设时正确，再推证正确【答案】B【解析】因为命题为“当为正奇数时，能被整除”，所以第二步归纳假设应写成：假设时正确，再推证正确.故选：B.4．（2023·辽宁大连·高二校联考期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】时，可得：时，可得：，故增加了项.故选：A5．（2023·陕西商洛·高二校考期中）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式左边需添加的项是.故选：B6．（2023·北京·高二校考期中）已知数列满足，.给出下列四个结论：①数列每一项都满足；②数列是递减数列；③数列的前项和；④数列每一项都满足成立.其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③C．①②③ D．①②④【答案】D【解析】对①：，，则，当时，，且，故，故，正确；对②：，故数列是递减数列，正确；对③：，，，，，错误；对④：当时，成立，假设时成立，即，当时，函数在上单调递增，则，故时成立.综上所述：数列每一项都满足成立，正确.故选：D.7．（2023·福建福州·高二校联考期末）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（

）A．1346 B．673 C．1347 D．1348【答案】C【解析】由题意可得：若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，则，猜想：，当时，成立；假设当时，成立，则为奇数，为偶数；当时，则为奇数，为奇数，为偶数，故符合猜想；得证，则连续三项之和为2，故数列的前2020项的和为.故选：C.8．（2023·高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项 C．k项 D．1项【答案】A【解析】由题意，时，不等式左边，最后一项为，时，不等式左边，最后一项为，由变到时，左边增加了项,故选：A．二、多选题9．（2023·高二单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数【答案】BC【解析】A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.故选：BC.10．（2023·高二课时练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】AD【解析】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD11．（2023·高二单元测试）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（

）A．当时，命题不成立B．当时，命题可能成立C．当时，命题不成立D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立【答案】AD【解析】如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD12．（2023·高二课时练习）数列满足，，则以下说法正确的为（

）A．B．C．对任意正数，都存在正整数使得成立D．【答案】ABCD【解析】对于A，，若，则，又