新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 求双曲线的方程（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．B【分析】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.【详解】由，方程表示双曲线，则，所以，根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选：B.2．C【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.【详解】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故选：C3．A【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；反之，若表示双曲线，则，即，或，．所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．故选：A．4．A【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，故选：A5．B【分析】根据曲线表示椭圆，求得m的范围，判断A;根据曲线表示双曲线，求得m的范围，判断B；由B的分析求双曲线的焦距，可判断C;根据E的离心率为，分类讨论求得m的值，判断D.【详解】由题意得，当时，，即，要表示椭圆，需满足，解得且，故A错误；若E表示双曲线，则不能为0，故化为，则，即或，故B正确；由B的分析知，时，，此时c不确定，故焦距不是定值，C错误；若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，当时，，此时，则，解得，当时，，此时，则，解得，故D错误，故选：B6．C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得．故选：C.7．C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，又由,,解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.8．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.故选：A．9．C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.10．D【分析】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，所以双曲线的标准方程为，故选：D．11．B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B12．A【解析】由图可知a＝eq\r(3)，且一条渐近线的倾斜角为30°，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，解得b＝1，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.故选A.13．A【分析】可根据已知条件，利用P，关于渐近线对称，先求解出的值，然后利用双曲线的定义分别根据、与、之间的关系，借助，从而求解出双曲线方程.【详解】如图，设双曲线C的两个焦点分别为，由已知P，关于渐近线对称，所以，故.因为，所以.又到渐近线距离为，所以.故，由双曲线定义知：，所以.又，所以.所以双曲线的方程为.故选：A.14．C【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，根据函数解析式化简，再根据双曲线的方程特点判断.【详解】对A，若成等差数列，则，即，整理可得，则当时，的轨迹为圆，时，的轨迹不存在，故A错误；对B，若成等比数列，则，即，整理可得，方程不能表示双曲线，故B错误；对C，若成等差数列，则，即，整理可得，当且时，方程化为，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；对D，若成等比数列，则，即，整理可得，当，且时，由得，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错误.故选：C.15．C【分析】根据双曲线标准方程的形式确定，求得的取值范围【详解】因为方程的图像是双曲线，所以，解得：或，故选：C16．A【分析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，因为离心率为，即，可得，所以，所以双曲线的方程为：，因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，将代入双曲线可得，解得：，所以瓶口直径为，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再由的值求得的值，瓶口直径为.17．B【解析】求出表示双曲线对应的的范围，根据集合包含关系即可求出.【详解】∵若表示双曲线，则，即或，或，∴“”是“表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B.18．D【分析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，依题意可得，则，即双曲线的方程为.因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.故选：D.19．B【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线和异号，进而求得的范围即可判断是什么条件．【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得，因为，所以是方程表示双曲线的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键，属于基础题．20．D【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.【详解】双曲线的渐近线方程为：，设双曲线下焦点为，则有，依题意，，离心率，解得，所以该双曲线的标准方程为.故选：D21．A【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可.【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为，因为，，，，所以，设，则点在双曲线上，所以，，因为，，所以，，所以，解得，所以.故双曲线的方程近似为.故选：A22．C【分析】求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答.【详解】直线的方程为：，即，设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，，因弦的中点为，于是得，即，而，解得，满足，所以双曲线的方程为，即.故选：C23．D【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】根据题意，设，因为，且，所以，代入到抛物线中，得，所以，将代入到双曲线中，得，即，设双曲线的焦点，渐近线为，即，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，故选：D.24．B【解析】，故，不妨设渐近线方程为，则，根据，计算得到答案.【详解】连接，，故，不妨设渐近线方程为，则.故，解得，故双曲线方程为故选：B25．C【分析】先求出实半轴的长、虚半轴的长，再得到双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且，所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.故选：C.26．A【分析】根据双曲线的标准方程特点可得，即可得到答案.【详解】∵方程表示双曲线∴∴故选：A．27．C【分析】根据题意，由求解.【详解】解：由题意得：，解得，所以曲线的方程为，故选：C28．A【分析】根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.【详解】由双曲线方程可知，且，，则，得，所以双曲线的方程为，则渐近线方程为.故选：A.29．D【分析】根据双曲线的性质即可求解.【详解】由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，∴所求双曲线的标准方程为或．故选：D．30．D【分析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D31．B【解析】根据椭圆的标准方程求出，利用双曲线的离心率建立方程求出，，即可求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：椭圆的标准方程为，椭圆中的，，则，双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线中，双曲线的离心率为，，则．在双曲线中，则双曲线的方程为，故选：．【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出，，是解决本题的关键，属于基础题．32．D【分析】根据直线过双曲线的一个焦点，令求出c，再根据直线与一条渐近线平行，得到求解可得答案.【详解】令得，所以直线与轴的交点为，所以双曲线的右焦点为，则，即①，直线与双曲线有且仅有一个公共点，直线又过双曲线的焦点，所以直线与双曲线的一条渐近线平行，即②，由①②得解得，所以双曲线的方程为故选：D.33．C【分析】由双曲线与椭圆共焦点可得双曲线的，双曲线离心率，得，，即可求出双曲线的方程.【详解】双曲线与椭圆有公共焦点由椭圆可得双曲线离心率，双曲线的方程为：故选：C【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线焦点以及双曲线离心率的表示方法，属于基础题.34．D【分析】根据题意得出的符号，进而得到的象限.【详解】由题意，，所以在第四象限.故选：D.35．C【解析】对是否为0和正负情况进行分类讨论，判断方程表示的曲线，即得结果.【详解】若时，方程为，不成立，无轨迹；若有且只有一个为0，则不妨设时，方程为，时表示两条直线，时方程无解，无轨迹；若均不为0，当时，方程表示圆，当时，方程表示椭圆，当时，方程表示双曲线.综上可知，ABD正确，C错误.故选：C.36．C【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解.【详解】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为，可得，即，因为，解得：.所以曲线的方程为.故选：C.37．A【分析】由正方形边长可得c，将D点坐标代入双曲线方程，结合求解可得.【详解】由图知，，易知，代入双曲线方程得，又，联立求解得或（舍去）所以所以双曲线E的实轴长为.故选：A38．ABD【分析】根据双曲线的定义，可判定A不正确；根据圆的定义，可判定B不正确；根据双曲线的标准方程的形式，可判定C正确；根据直线与抛物线的位置关系的判定，可判定D不正确．【详解】对于A中，根据双曲线的定义，只有，动点的轨迹才为双曲线，故A不正确；对于B中，因为，所以点为弦的中点，故，则动点的轨迹为以线段为直径的圆，故B不正确；对于C中，若曲线为双曲线，则，解得或，显然C正确；对于D中，过点作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为直线，故D不正确．故选：ABD．【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记双曲线的定义和标准方程的形式，以及掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法是解答的关键，属于基础题.39．AC【解析】根据题意，求出，结合的关系式求出，利用双曲线的几何性质进行逐项分析，判断即可.【详解】由题意知，，即，因为，所以，解得，所以右焦点为为，双曲线的渐近线方程为，对于选项A：由点向双曲线的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为的渐近线上的点到距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，，故选项A正确；对于选项B：因为，所以双曲线的离心率为，故选项B错误；对于选项C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故选项C正确；对于选项D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故选项D错误.故选：AC【点睛】本题考查双曲线的几何性质；考查运算求解能力；熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键；属于中档题.40．BD【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．故选BD．41．BD【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为，由双曲线方程可得，其渐近线方程为，设，则，根据，以及点在圆上，求出的坐标，得出，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】因为双曲线的焦点在圆上，所以双曲线的半焦距为，由可得其渐近线方程为，因为圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，不妨设，则，又，，所以，即，整理得，又点在圆上，所以，由解得，即，又点在渐近线上，所以，由解得，因此双曲线的方程为；所以其虚轴长为，故A错；离心率为，故B正确；其渐近线方程为，故C错；三角形的面积为，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及，求出交点坐标，得出之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.42．ABD【分析】由离心率为，右顶点为求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质依次判断4个选项即可.【详解】由离心率为，右顶点为可得，，故双曲线C的方程为，A正确；双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；由双曲线的定义，，则或10，C错误；，则，的外接圆半径为，D正确.故选：ABD.43．AD【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；若，方程即为，它表示圆，综上，选AD.【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.44．【解析】根据渐近线方程得斜率可得，根据双曲线的定义以及勾股定理可得，可得，，从而可得双曲线的方程．【详解】设，则由渐近线方程为，，又，所以两式相减，得，而，所以，所以，所以，，故双曲线的方程为．故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义及性质，考查转化能力与运算能力，属中档题．45．【分析】由已知双曲线可得焦点坐标，设所求双曲线方程为，，根据、求得和的值即可求解.【详解】由双曲线可得焦点坐标为，设所求双曲线的方程为，，由题意可得：，解得，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：.46．【分析】由双曲线方程的特征列出不等式，求出k的取值范围.【详解】由题意得：，则有或，解得：.故答案为：47．【分析】分双曲线焦点在轴或上，分别设出双曲线方程，联立方程组求解即可.【详解】由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上,则可设，则且，联立解得,则双曲线的标准方程为；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设，则，且，此时无解，综上，双曲线的方程为.故答案为：48．【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且，根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，则所求所曲线方程为：.故答案为：.49．【分析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围.【详解】因为方程表示双曲线，所以，即或，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：.50．（1）；（2）.【分析】（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.【详解】（1）直线过x轴上一点，由题意可得，即，双曲线的渐近线方程为，由两直线平行的条件可得，解得，即有双曲线的方程为.（2）设直线，代入，可得，设，则，中点为，可得的垂直平分线方程为，令，可得，由，解得，又，解得，综上可得，，即有的范围是，可得直线与轴上的截距的取值范围为.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．51．(1)(2)存在，【分析】（1）结合离心率和双曲线关系式，再将点代入双曲线方程可直接求解；（2）设，先讨论直线的斜率不存在时，和大小，求得，再由一般情况结合斜率表示出，猜想，化简即可求证.（1）离心率，∴，，所以双曲线的方程，把点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为；（2）设，，其中，由（1）知，①当直线的斜率不存在时，，，∴，此时；②当直线的斜率存在时，由于双曲线渐近线方程为，所以，由得，又，，∴，∴，又，所以，综上，存在常数，满足.52．(1)(2)或【分析】（1）求出点的坐标，结合可求得的值，进一步可求得双曲线的标准方程；（2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，再结合以及可求得实数的取值范围.（1）解：，，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为，则，可得，则点,，则，，则，所以，双曲线的标准方程为.（2）解：由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①，由韦达定理可得，，则，，，，，所以，②，又③，由①②③得：或.53．（1）；（2）.【分析】（1）可设双曲线的方程为，