初中数学竞赛综合强化练习5

初中数学竞赛综合强化练习5

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，&ABC,AECD均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm,B,C,。三点

13

在同一条直线上，下列结论：①AO=BE；②△CFG为等边三角形；③CM=7cm；

④CM平分NBMD.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知“，。均为正数，且必不'，&+»,“7万是一个三角形的三边的

长，则这个三角形的面积是（）

31

A.-abB.abC.—abD.lab

22

3.已知a,b满足（a+1）2-（b-2）《2-b+|c-3|=0,则a+b+c的值等于（）

A.2B.3C.4D.5

4.在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随

机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5,6,1,8中的

一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是（）

A.四个正整数中最小的是1B.四个正整数中最大的是8

C.四个正整数中有两个是2D.四个正整数中一定有3

5.下列方程是一元高次方程的是（）

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.x3+2x+—=0D.x，+l=0

x

6.如图，AI>BI、C7分别平分ZfiAC、ZABC,ZACB,ID1BC,的周长

为18,ID=3,则AABC的面积为（）

A

BC

A.18B.30C.24D.27

7.若x=。，代数式d+2x+而二的值为T,贝lj当x=-a时，代数式》2+2》+后工

的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

8.分式5x：+lOx+12可取的最大值为（）

x'+2x+2

A.4B.5C.6D.7

二、填空题

9.对于实数P,我们规定：用｛Q｝表示不小于血的最小整数.例如：｛4｝=2,

｛百｝=2,现在对72进行如下操作：

72第一次,｛阮｝=9第二次＞｛码=3第次＞｛g=2,即对72只需进行3次操作

后变为2.类比上述操作：对36只需进行次操作后变为2；如果只需进行3

次操作后变为2的所有正整数中最大的数为.

10.如图（1）,将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片

进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则夕的值是—.

(1)(2)

11.如图，四边形ABC。中，ZCBD=ACAD=9()°,AC=AD,若CD=5五AB,则

tanZACB=.

12.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟

悉的“进位制如图所示是一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的

不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是天.

13.如图，8。为边长为a的菱形ABC。的对角线，ZBM>=60。，点何，N分别从点

A,B同时出发.以相同的速度沿AB,8。向终点B和。运动，连接。M和AMDM

与AN相交于点尸，连接BP,则2尸的最小值为.

14.如图，在正方形ABCO中，点。是对角线BO的中点，点尸在线段。。上，连接

AP并延长交CZ）于点E,过点P作尸尸，4P交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于

G,以下三个结论：①4>="；②DE+BF=EF；③凡八所为定值.其中正确的结论

有.（填入正确的序号即可）.

[x=2

15.请写出一个解是：的二元二次方程，这个方程可以是_____.

[y=l

16.如图，已知在扇形A08中，ZAOB=120°,半径04=03=8.P为弧上的动

点，过点「作加于点M,PNLOB于点、N,点、M，N分别在半径04,08上,

连接MN.点。是APMN的外心，则点。运动的路径长为.

三、解答题

17.如图所示，ACA.BC,ADVBD,试证明：A、B、C、。在同一圆上.

D

C

18.已知|"++=0

(1)求m,"的值.

(2)先化简，再求值：〃7(〃7-2〃)+(n?+〃)--2,”2.

19.对于平面直角坐标系xQy中的线段A8,给出如下定义：线段A8上所有的点到X

轴的距离的最大值叫线段AB的界值，记作卬.”如图，线段AB上所有的点到工轴的

最大距离是3,则线段AB的界值叱田=3.

⑴若A(-1,-2),B(2,0),线段A3的界值叱m=线段A3关于直线

>=2对称后得到线段CD,线段CO的界值卬”为；

(2)若E(-l,巾)，F(2,/M+2),线段EF关于直线y=2对称后得到线段GH；

①当，〃<0时，用含用的式子表示以旧；

②当叫“=3时，〃，的值为；

③当34%H45时，直接写出，”的取值范围.

20.如图①，已知A4?C是等边三角形，A/，8c于点M,点P是直线BC上一动

点，设点P到AABC两边AB、AC的距离分别为九，h2,AMC的高为〃.

(2)如图②，试判断九，为，力之间的关系，并证明你的结论.

(3)如图，当点P运动到BC的延长线上时，求证：左土号=匕+她.

202220221011

(D如图1,点E在8c的延长线上，将AE绕点A顺时针旋转60。得AF,连接E尸交

AB延长线于点H,若NAEB=15°,HF=4,求AE的长；

(2)如图2,点E在CA的延长线上，将AE绕点A逆时针旋转60。得AF,点M为CE的

中点，连接BM,证明：FM=6BM；

(3)如图3,将AB沿AS翻折得4E(NBAE<120。)，连。£交AS于点S,当DS取得最

大值时，连接T。，若AT=3,AD=6,求7ZJ-TE的最大值.

22.有一个〃位自然数必〃…g/?能被初整除，依次轮换个位数字得到的新数

Ad…g/m能被我+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd…g/7他能被x什2整

除，按此规律轮换后，d…g/mbc能被w+3整除，…，…g能被光什〃-1整除,

则称这个“位数〃".初是年的一个“轮换数”.例如:60能被5整除，06能被6整

除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，

432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数

(1)若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换

数

(2)若三位自然数次是3的一个“轮换数"，其中a=2,求这个三位自然数赤.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质得CA=CB,CD=CE,ZACB=60°,ZDCE=60°,则NACE=60。，利

用“SAS”可判断△AC。丝△BCE,则AO=BE,可判断①；由等边三角形的判定得出△CFG

是等边三角形，可判断②；证明求出CM长，可判断③；证明M、F、

C、G四点共圆，由圆周角定理得出/BMC=/FGC=60。，NCMANCFG=60。,得出

NBMC=NDMC,所以CA/平分NB例。，可判断④，据此即可判定.

【详解】

解：-：/\ABC,△EC。均为等边三角形，

AZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

，NACG=60。，

二ZBCE=ZACD,

在^BCE和△AC。中，

BC=AC

•NBCE=NACD,

EC=DC

：./\BCE^/\ACD(SAS),

:.BE=AD,故①正确；

ZCAG=ZCBF,

在4。8尸和4CAG中，

Z.CBF=NC4G

BC=AC,

NBCF=NACG

二ABCF^AACG(ASA),

:.FC=GC,

,：ZFCG=60°,

...△CFG为等边三角形，故②正确；

NEMD=ZMBD+ZMDB^ZMAC+NMDB=NFCB=60°,

NEMD=NACG,

答案第1页，共28页

，M、F、C、G四点共圆,

AZBMC=ZFGC=60°,ZCMD=ZCFG=60°,

JNBMC=NDMC,

・・・CM平分4故④正确；

如图：过点E作EPLBD于点P,

：.AD=BE=79

•：4DMC=/ABD,NMDC=/BDA,

:•於DMCs丛DBA,

.CMCD

♦•茄一罚’

.CM3

・・--=—,

57

：.CM=y,故③错误.

故正确的有3个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性

质综合，勾股定理，四点共圆的判定与性质，熟练掌握全等三角形的手拉手模型是解题关

键.

答案第2页，共28页

2.A

【解析】

【分析】

构造矩形4BC£>,E、F分别为AO、AB的中点，设A£>=26,AB=2a,将所求三角形

—

面积转化为SACEF=S矩形A8CO—S»AEF-即口J求解.

【详解】

解：如图，在矩形A3CQ中，E、尸分别为A。、48的中点，

设AO=2/7,AB=2a,

:・AF=BF=a,AE=DE=b,

工在Rf^AEF、R^BCF、用△CDE中，依次可得到：

EF=^AE2+AF2=>Ja2+b2>

CF=^BF'+BC1=>ja2+4b2，

CE=yjcif+DE2=^4a2+h2，

S&CEF~S,矩形ABC。—$△但.-SABCF-^ACO£

=2ax2b——xaxb——xax2b——xlaxb

222

=4ab——ab—ab—ah

2

=­3ab,.

2

故选：A

【点睛】

本题考查二次根式的应用.能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形

的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差.利用数形结合是解答本题的关键.

答案第3页，共28页

3.C

【解析】

【分析】

根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可.

【详解】

解：根据题意，得，(4+1)2+厄工F+lc-3|=0，

'.a+[=0,2-b=0,c-3=0,

解得a=-l,h—2,c=3,

所以a+b+c—-l+2+3=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查了完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，非负数的性质：几个非负数的

和为0,那么这几个数都为0,掌握非负数的性质是解题的关键.

4.D

【解析】

【分析】

设这四个数分别为w,X,Y,Z且wvxwywz,分类讨论，进而得出符合题意的答案.

【详解】

解：设这四个数分别为w,X,Y,ZS.W<X<Y<Z,故W+X=5,Y+Z=8,

(1)当W=1时，则X=4,

'：W<X<Y<Z

：.X=Y=Z=4,不合题意舍去，

(2)当卬=2时，则X=3,

当y=X=3时，。=5；

当E>X时，

<?W<X<Y<Z

，Y=Z=4,

故综上所述，这四个数只能是2,3,3,5或2,3,4,4

答案第4页，共28页

A.四个正整数中最小的是2,故选项错误，不符合题意；

B.四个正整数中最大的是4或5,故选项错误，不符合题意；

C.四个正整数中有两个可能是3,不是2,故选项错误，不符合题意；

D.四个正整数中一定有3,故选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论是解题的关键.

5.D

【解析】

【分析】

根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程,

即可得出答案.

【详解】

解：这四个方程都只含一个未知数，

VA,B中未知数的项的次数小于等于2,

:.A,B选项不是一元高次方程，不符合题意，

•.•c中分母中含有未知数，

二是分式方程，

.♦.C选项不符合题意，

•；D符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方

程，

•♦.D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元高次方程的定义，注意几元几次方程都首先是整式方程.

6.D

【解析】

【分析】

过/点作/ELA8于点E,/FLAC于点R如图，利用角平分线的性质得到/E=/F=〃>=3,

答案第5页，共28页

然后根据三角形面积公式得到SAABC=S&MB+S△出c+Sw据此即可求得.

【详解】

解：过/点作于点E,/FL4C于点尸，如图,

,：AI,BI,C7分别平分/BAC,ZABC,ZACB,

：.IE=IF=ID=3,

•・S&ABC=S4IAB+S&[BC+$NAC

=-xABx3+-xBCx3+-xACx3

222

3

=-(AB+BC+AC)

=-xl8

2

=27

故选：D.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形

的面积.

7.D

【解析】

【分析】

将等式变形可得(4+1)2+^/^二=0,然后利用非负数性质得出。=-1，n=2,然后将当

x=l时，代入代数式求值即可.

【详解】

解：•••x=a,代数式/+2》+^/^5的值为-1,

答案第6页，共28页

/•a2+2a+yJn—2=-1,

(a+l)2+Vrt^2=0,

(a+l)2>0,7«Z2>0,

**•a+1=0,/J—2=0,

解得a=-l,n=2,

当x=I时，代数式f+2x=l+2=3.

故选择D.

【点睛】

本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值，掌握完

全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关键.

8.D

【解析】

【分析】

5x2+10X+12=2,、

先把分式化为-/+2丫+2(⑴)口1，根据完全平方公式的非负性得出(X+D+1N1

即可.

【详解】

E5X2+10X+125(d+2x+2)+22=2

解.-------------=—--------------=5+---------=J5+------2---

解.J+2X+2f+2x+2V+2X+2(X+])+1;

(x+l)>0,

.(x+1)+1N1,

5寸+必+12

最x=5+2=7.

x2+2x+2

故选：D.

【点睛】

本题考查裂项法把分式分成有理数与分式两部分，非负数性质，解题的关键是掌握裂项法

把分式分成有理数与分式两部分，非负数性质.

9.3256

【解析】

答案第7页，共28页

【分析】

仿照题目已知的例题即可解答.

【详解】

解：由题意得：

现在对36进行如下操作：

36/｛病｝=6疗｛述｝=3髻｛⑸=2,

，对36只需进行3次操作后变为2；

现在对256进行如下操作：

256^（7256｝=16^｛716｝=4^｛^4）-2,

如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；

故答案为：3,256.

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用｛、6｝表示不小于

4的最小整数，是解题的关键.

10.5/2+1

【解析】

【分析】

等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平形四边

形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得;++求

出。和〃之间的关系即可得出结论.

【详解】

解：如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠

的平行四边形，

.••等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积，

由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为（4+3，由图（2）可知：平行四边形的

底边长为（a+b+9,高为

.1(a+4=a(a+b+b),

"2

答案第8页，共28页

Ah2-2ab-a2=0,

解得：-=V2+l^-=-＞/2+l（舍去）,

aa

...2的值是&+1.

a

故答案为：夜+1

【点睛】

本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四边形的面积公

式.解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等.

11.1

7

【解析】

【分析】

由/CB0=/CA0=9O。得到A、B、C、。四点共圆，C£＞为直径，取C£＞的中点0,连接A0

并延长交。。于点E,连接BE,设AB=x,则AE=5Vir，勾股定理求出BE,利用

ZAEB=ZACB,求NAEB的正切函数值即可.

【详解】

解：二•四边形A8CD中，ZCBD=ZCAD=90°,

；.A、B、C、。四点共圆，

...C£＞为直径，

取8的中点0,连接A。并延长交。。于点E,连接BE,

：.AE=CD,

CD=5让AB,

，设AB=x,则AE=5&X，

答案第9页，共28页

BE=>JAE2-AB2=7x，

/AEB=NACB,

【点睛】

此题考查了四点共圆，圆周角定理，勾股定理，三角函数计算，正切理解四点共圆是解题

的关键.

12.38

【解析】

【分析】

由题可知，孩子出生的天数的五进制数为123,化为十进制数即可.

【详解】

解：根据题意得：

孩子出生的天数的五进制数为123,

化为十进制数为：123=1x5?+2x5,+3x5°=38（天）,

•••孩子已经出生的天数是38天.

故答案为：38.

【点睛】

本题以数学文化为载体，主要考查了进位制等基础知识和运算能力.解题的关键是会将五

进制转化成十进制.

13.£

3

【解析】

答案第10页，共28页

【分析】

如图，延长CD使C£）=r>G,AADG是等边三角形，证明A4OW”AB4N（S4S）,有

ZADM=ZBAN,ZDAP+ZBAN=60°,ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=\SO0,

AD

A、P、D、G四点共圆，圆的半径为F,GB=2ABcos30°,当G、P、8三点共线即

cos30°

GP为圆的直径时，BP最短对BP=GB-GP,计算求解即可.

【详解】

解：如图，延长CO使C£>=OG,

・•・四边形ABC。是菱形，ZBAD=60°

：.ZADG=60°fAD=GD

・•・4AOG是等边三角形

在^ADM和△RAN中

AD=BA

•：\zDAM=ZABN=60°

AM=BN

：.AADMABAN(SAS)

/.ZADM=ZBAN

•/ZZMP4-ZB/W=60O

ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=180°

AD

...A、P、D、G四点共圆，圆的半径为2

cos3003

G8=2ABcos300=耳

答案第11页，共28页

...当G、P、8三点共线即GP为圆的直径时，BP最短,

：.BP=GB-GP=^3a-2x—=—

33

故答案为：叵.

3

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共

圆，余弦等知识.解题的关键在于证明四点共圆.

14.

【解析】

【分析】

①证明A,B,F,P四点共圆，推出/%G=/P8F=45。，可得结论；②将AAOE绕点A顺

时针旋转90。得到△A8M,利用全等三角形的性质证明即可；③由AAM丝推出

S^AEF=S^AMF=^FM.AB,因为尸M的长度是变化的，所以△AE尸的面积不是定值.

【详解】

取AF的中点T,连接尸T,BT.

\-AP±PF,四边形ABC。是正方形，

二/4BF=NAPF=90°,ZABD=ZCBD=45°,

'：AT^TF,

：.BT=AT=TF=PT,

...A,B,F,尸四点共圆，

二/%F=/PBF=45°,

，N%F=NPM=45°,

：.PA=PF,故①正确，

将AADE绕点A顺时针旋转90。得到△A8M,

ZADE=ZABM=90°,ZABC=90°,

，ZABC+ZABM=\S00,

：.C,B,M共线,

NEAF=45。,

：.ZMAF=ZFAB+ZBAM=ZFAB+ZDAE=45°,

：.NFAE=NFAM,

答案第12页，共28页

在△硼M和△阳E中,

FA=FA

-ZFAM=NFAE,

AM=AE

：./\FAM^/\FAE(SAS),

：.FM=EF,

'：FM=BF+BM=BF+DE,

：.EF=DE+BF,故②正确，

/XAEF^/XAMF,

：.SAAEF=SAAMF=-FM>AB,

2

•••■FM的长度是变化的，

.••△AEF的面积不是定值，故③错误,

故答案为：①②.

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填

空题中的压轴题.

15.xy=2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据有两个未知数，且方程中最高次是二次的方程是二元二次方程解答.

【详解】

解：".'x=2,y=\,

.,.xy—2,且孙=2是二元二次方程，

故答案为：孙=2（答案不唯一）.

【点睛】

答案第13页，共28页

本题考查高次方程的概念，掌握二元二次方程中未知数是两个，且最高次是二次这个知识

点是解题的关键.

16.”.

3

【解析】

【分析】

根据点尸在弧A8上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点户运动路径所对的圆心角是

60°,连接尸O,取尸O的中点H,连接MH,NH,根据在RtAPMO和RtAPNO中，点，是

斜边PO的中点，可证得点尸，M,0,N四点均在同一个圆，即0H上，过点”作

HKLMN,垂足为点K,由垂径定理，ZM〃K=60。，MH=4,可求得

MN=2MK=4也,再根据点H和点O重合，得到点。运动路径所对的圆心角是60。，根

据弧长公式可求解.

【详解】

解：点尸在弧A812运动，其路径也是一段弧，由题意可知,

当点M与点。重合时，NPMB=30°,

当点N与点。重合时，"24=30。，

点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,

如图，连接尸O,取PO的中点”，连接AW,NH,

在RtAPMO和RtAPNO中，点H是斜边PO的中点，

:.MH=NH=PH=0H='P0=4,

2

根据圆的定义可知，点P,M,0,N四点均在同一个圆，即。”上,

又AMON=120。，NPMO=ZPNO=90°,

4MPN=60°,AMHN=2NMPN=120°,

过点H作“，用N,垂足为点K,

由垂径定理得，MK=KN=；MN,

答案第14页，共28页

.♦.在RtAHMK中，ZMHK=60°,MH=4,则MK=26,

:.MN=2MK=4y/3,

*/H是\PMN的外接圆的圆心,

图2

:.OD=PD,

.・.点。是以点。为圆心g。尸=4为半径，

•.・点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,

点D运动路径所对的圆心角是120°-30°-30。=60°,

二点。运动的路径长为券^=学.

18(33

4〃

故答案是：工-.

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公

式是解题的关键.

17.见解析

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AE=8E=CE=DE进而得出答案.

【详解】

证明：如图，取A8的中点E,连接CE,DE,

VAC1BC,AD1BD,

答案第15页，共28页

，AA8C和△433为直角三角形，

CE^-AB^AE^BE,DE=-AB,

22

/.AE=BE=CE=DE,

:.A,B,C,。四点都在以点E为圆心，AE长为半径的圆上.

【点睛】

本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出AE=BE=CE=DE是解题的关键.

18.(1)加=-1,n=5

(2)〃2,25

【解析】

【分析】

(1)分别根据绝对值的非负数、完全平方数的非负数列出机、〃的方程，解之即可求出

"八n的值;

(2)先利用整式的运算法则化简，再代入“3〃值计算即可求解.

(1)

解：V|W+1|+(»-5)2=0,|W+1|>0,(M-5)2>0,

/.m+l=0,n—5=0,

解得：m=-\,n=5,

(2)

解：〃?(6一2〃)+(m+〃)“-2nr

=nr-2nm+m2+2mn+zz2-27n2

-n2,

当n=5时，原式=5?=25.

【点睛】

本题考查了绝对值与二次根式的非负性、多项式乘法的化简求值，还涉及完全平方公式、

合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键.

19.(1)2,6

⑵①%〃=4沏；1,5；-\<m<\,5<m<7

【解析】

答案第16页，共28页

【分析】

（1）由对称的性质求得C、。点的坐标即可知唯0=6.

（2）由对称的性质求得G点坐标为（-1,4-机），”点坐标为（2,2-m）

①因为加＜0,故4-〃?＞2-"?＞0,则卬＜；"=4-"7

②需分类讨论|4-叫和|2-同的值大小，且需要将所求加值进行验证.

③需分类讨论，当|4—时＞|2-时，则3M|4—机区5且|2—讨43,当|4—讨＜|2—时，贝！］

3412TH45且|4-讨43,再取公共部分即可.

（1）

线段AB上所有的点到x轴的最大距离是2,则线段A8的界值口品=2

线段AB关于直线y=2对称后得到线段CO,C点坐标为（-1,6）,。点坐标为（2,4）,

线段8上所有的点到x轴的最大距离是6,则线段C。的界值%＞=6

⑵

设G点纵坐标为"点纵坐标为b

b+m+2小

由题意有f=2,-------=2

2

解得a=4-m,b-1-nx

故G点坐标为（-1,4如），H点坐标为（2,2-m）

①当机<0,4-m>2-m>0

故叫〃=4-团

②若|4-时＞|2-时,则|4—叫=3

即m=1或m=7

当年=1时，|4一时=3,符合题意

当刀=7时，|4一时=3,|2—w=5,|4_时＜|2_",不符合题意,故舍去.

若|4—时＜|2—对，则|2-+3

即m=-］或"?=5

当片-1时，|4—网=5,|2-讨=3,|4-讨＞|2—叫，不符合题意，故舍去

答案第17页，共28页

当zn=5时，|4一同=1,|2-时=3,符合题意.

则叱汨=3时，机的值为1或5.

③当|4一同>|2—时,则344一时<5且|2—m|W3

故有34|4-讨，

解得m£1,m>7

|4-/??|<5,

解得一1工加49

i^L-\<m<\,7</n<9

|2—zn|<3

解得一14加工5

故一1<m<\

当|4_"v|2_时,则3力一小5且|4-小3

故有34|2-日，

解得力工-1,tn>5

|2-^<5,

解得—3<机<7

故一3W/nW-l,5<m<7

|4-/TT|<3

解得\<m<l

故5K加K7

综上所述，当3W%H45时，机的取值范围为—和5WmW7.

【点睛】

本题考查了坐标轴中对称变化和含绝对值的不等式，本题不但要分类讨论4-加和2-〃?的大

小关系，还有去绝对值的情况是解题的关键.忖4。的解集为-a4x4a,|目2。的解集为

x<-a,x^a.

20.(1)当点P与点M重合时，%=瓦,理由见解析；

答案第18页，共28页

(2)〃=0+心，证明见解析；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】

(D当点尸与点M重合时，过点M作于点/，MEJ_AC于点E,由等边三角形

的性质得出BM=C仞，AB=AC,则S4ABM=S」ACM,根据三角形面积公式可得出结论；

(2)连接AP,根据S4ABe=5zABP+S"lPC可得出结论；

(3)连接AP,根据S»PC+LA8C=S"8尸可得出力2+〃=〃/,进行变形后可得出结论.

(1)

解：当点P与点M重合时，hi=h2,

理由：过点M作MFLAB于点F,MELAC于点E,如图①，则ME=h2,

「△ABC是等边三角形，AMLBC,

：.BM=CM,AB=AC,

：.S^ABM=SAACM,

:.MF=ME,

(2)

h=hj+fi2.

证明：如图②，连接AP,则SAABC=SAABP+S^APC,

：.BC'AM=^AB-PF+-AC-PE,B|JyBC-h^-AB-ht+yAC-h2,

又•••△ABC是等边三角形，

：.BC=AB=AC,

/z—/l/+/l2；

答案第19页，共28页

图②

(3)

解：如图③，连接4P,则SAAPC+SAABC=SAABP,

：.^AC-PE+BC-AM=^AB-PF,B|JAC-h2+BC'h=AB-h1,

又「△ABC是等边三角形，

：.AC=BC=AB,

%2+人=加,

.,.(九-仃"

两边同时除以2022得，"+片_绝=上,

202220222022

.」+后桃力2即月+1力2।/棋

2022__ion_2022''2022-2022+1017

图③

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，三角形的面积，运用等积法建立关系式

是解题的关键.

21.(1)46+8；

(2)见解析

⑶6G乂也-6+3—31/6+3\/2

【解析】

答案第20页，共28页

【分析】

(1)过点“作“交4产于3根据菱形ABC。，ZABC=120°,得出/048=180。-

ZABC=180°-120°=60°,AD//BC,可得NDAE=NAEB,可求ND4E=15。，先证△AEF

为等边三角形，得出/F=60。，根据余角性质可求/双尸=90。-//=30。，利用30。直角三角

形性质可求L尸=2"尸=2x4=8,根据勾股定理LH=yjLF2-FH2=782-42=4>73，再证

ZAHL^^HAF,得出AL=L”=4指即可；

(2)过8作8L_LAC于L,过尸作尸K_LAE于K,设AE=,%AC=〃，将4E绕点A逆时针

旋转60。得AR得出尸为等边三角形，nTWAF=EF,可求N4FK=/EFK=30。，

AK=EK=；m,根据勾股定理在Rl^AKF中，FK=ylAF2-AK2=卜-圉当m，根

据菱形A8CZ),可求AL=CL=；",NCBL=NABL=60°,进而可求/LC8=90°-/CBL=30°,利

用30。直角三角形性质得出BC=2B3在R@8CL中，根据勾股定理BC?=BL?+CZ?，得

出比邛CL邛x],根据点M为CE中点,可得CM=EM=gEC=g(m+〃),得出

A/K=M£KE=：(m+〃)一；加,ML=MC-CL^m+n)-^n=^m,再利用勾股定理股

定理FM7KM-KF?=j⑶+=；)3济+“2

BM=y/LM。+LB?=［怎)+与X；的=Jxg力/+/=2加即

可;

(3)连结S3,过E作7ZLOE,,过G作G/LAO于/,过T作"J_AB于J,在77)上截

取TE=TE,根据将A3沿AS翻折得AE(N&4£：<120。)，ZBAS=ZEAS,AB=AE,可证

△A8S丝”ES(SAS),可得NA8S=NAES,根据四边形ABC。为菱形，证明A、S、B、D

四点共圆，得出点S在AABO的外接圆劣弧AB上运动，当ASJ_4B时，OS长最大，

ZADH=90°-ZDAH=30°,AH=3,DH^^D^C-AH2=>/62-32=3>/3>点T在以点4为圆3

为半径的圆上运动，当点A关于"直线的对称点在NAQH的角平分线£>T上时，TD-TE

的值最大，设点A的对称点为G,Rt"/G中，根据勾股定理AG2=A/2+/G2即

答案第21页，共28页

（3-机）~=（6-36）+tn2,解得根=6\/5—9,在R3QGH中，根据勾股定理求得DG,可

求。T,再证四边形为矩形，可得JH=TL=3g-3,在"上截取。277V,可得

NNDT=NNTD=\50,得出NFNL=NNDT+NNTD=30。可求DN=TN=2TL,根据在RtZkTTVL

中，根据勾股定理NL二折屋垣=丽=9一36,在RSAHE中，ZEA//=60°,根据

DE=sin60°xAE=373,DE=60LE=OE-OL=7Z求出7E艮可.

（1）

解：过点H作HLLEF,交4尸于£,

•・•菱形ABC。，ZABC=120°

・・・ZDAB=\80°-ZABC=180°-l20°=60°,AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

,/ZAEB=15°f

：.ZDAE=\5°9

TAE绕点A顺时针旋转60。得AF,

•♦•△AE尸为等边三角形，

・•・ZF=60°,

■:HL1EF,

：.Z/7LF=90°-ZF=30°,

ALF=2/7F=2x4=8,根据勾月殳定理LH=JZ广二不产=二不=40，

•；NDAE+NEAH=NEAH+NHAF=6。。

：.ZDAE=ZHAF=i5°,

•・・/”次为“/〃的外角，

・,.ZAHL=ZHLF-ZHAF=30°-15°=15°,

JZAHL=ZHAFf

:・AL=LH=46»

AE=AF=AL-^LF=4百+8；

答案第22页，共28页

E

D

C

B

ARH

GL

F

⑵

证明：过B作BZAAC于3过尸作尸K_LAE于K,设AE=M,AC=n,

•.•将AE绕点A逆时针旋转60。得AF,

.'.AE=AF=m,ZEAF=60°,

...△AEF为等边三角形，

:.AF=EF,

,：FKA.AE,

；.NAFK=NEFK=30°,AK=EK=-m,

2

在RSAK/中，FK=dAFJAK2=

♦.,菱形ABC。，ZABC=120°,BLLAC,

：.AL=CL=1«,ZCBL=ZABL=60°,

2

ZLCB=90°-ZCBL=30°,

:.BC=2BL,

在RtABCL中，根据勾股定理SC?=BI}+CI：，即4BL2=Bl}+CL2.

解得BL=*L=与吗,

♦.•点M为CE中点，

：.CM=EM=^EC=y(/n+H),

/.MK=ME-KE=+=ML=MC・CL=J("?+〃)一；〃=gm,

答案第23页，共28页

在RSMKF中，根据勾股定理FM=yjKM2+KF2

在RIAMLB中，根据勾股定理BM=y)LM2+LB2

：.BM=J-x-yj3m2+n2=-\=FM,

V32>/3

:.FM=；

⑶

解：连结SB,过E作7Z，£>E,,过G作GHA。于/,过T作7V_LA8于J,在77)上截取

TE'=TE,

•；将AB沿AS翻折得AE(ZBAE<120°),

AZBAS=ZEAS,AB=AE,

在"BS和AES中，

AB=AE

-ZBAS=ZEAS,

AS=AS

：./\ABS^£,AES(SAS),

ZABS^ZAES,

•••四边形ABC。为菱形，

：.AD=AB=AE=6,ZABC=\20°,

：.NADE=NAED=NABS,ZDAB=180°-ZABC=60°,

；.A、S、B、。四点共圆，

...点S^ABD的外接圆劣弧AB上运动，

答案第2