新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明（解析版）

专题十一《立体几何》讲义11.3平行与垂直证明知识梳理.平行与垂直证明1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α题型一.平行问题考点1.线面平行1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：（1）直线MN∥平面PAD；【解答】证明：（1）根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，G是PD的中点，N是PC的中点，则NG∥DC且NG=12则四边形MNGA是平行四边形，则有MN∥AG，又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN∥平面PAD；2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．（1）证明：PA∥平面BDE；【解答】（1）证明：连结AC交BD于点F，连结EF，在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，所以AF＝2FC，又因为PE＝2EC，所以PA∥EF，又PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE；考点2.面面平行3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．【解答】证明：连结A1B、AC1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点，∴A1E∥AD，BD∥=C1E，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴C1D∥BE∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，AD、C1D⊂平面ADC1，A1E、BE⊂平面A1EB，∴平面A1EB∥平面ADC1．4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．（1）求证：E、B、F、D1四点共面（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．【解答】证明：（1）如图：在DD1上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F∥CN．同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN∥BE，所以D1F∥BE，所以E，B，F，D1四点共面；（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H=3因为B1G＝1，所以B1因为FCBC=23，且∠FCB＝∠GB1所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB，由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F．考点3.线线平行5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C＝A1D且A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，∴EF∥B1C；6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求证：l∥BC．（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD．AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N是PC的中点，E是PD的中点∴NE∥CD，且NE=∵CD∥AB，M是AB的中点∴NE∥AM且NE＝AM．所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE．又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）题型二.垂直问题考点1.线面垂直1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；【解答】（I）证明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD⊂平面ABD，∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AC，AD∩AC＝A，∴BC⊥平面ACD．2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=2（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC=2由AC=2，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；考点2.面面垂直3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．【解答】证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，∴DO=12AC，∴DO2+BO2＝AB2＝∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．考点3.线线垂直5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）设二面角P﹣BD﹣A的大小为α，直线PA与平面PBC所成角的大小为β，求cos（α+β）的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，AB=2∴由余弦定理，得：BD=1+2−2×1×2×cos45°∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PADSKIPIF1<0平面ABCD=AD，BDSKIPIF1<0平面ABCD又PA⊂平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥ED；（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出EFEA【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EA＝EB，所以EO⊥AB．…（2分）因为AB∥CD，AB＝2CD，所以BO∥CD，BO＝CD．又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，所以AB⊥DO．…（4分）因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD．…（5分）所以AB⊥ED．…（6分）（Ⅱ）解：点F满足EFEA=12，即F为EA中点时，有DF∥平面证明如下：取EB中点G，连接CG，FG．…（8分）因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG=1因为AB∥CD，CD=12AB，所以FG∥CD，FG所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．…（11分）因为DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，…（12分）所以DF∥平面BCE．…（13分）题型三.存在性问题1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（4分）（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB．…．（9分）（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．…．（14分）2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C、D的点．（1）证明：DM⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解答】解：（1）证明：根据题意，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为半圆弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM＝C，BC⊂平面BMC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC；（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQ（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC【解答】（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM又因为CQQD1=BPPD=2又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．（2）当CRCD=25时，能使平面PQR∥平面Bl证明：因为CRCD=25，即有CRRD=23又∵DD1∥CC1，∴QR∥CC1，又CC1⊂平面Bl∁lBC，QR⊄平面Bl∁lBC，所以QR∥平面Bl∁lBC，由CRRD=23=BPPD，得PR∥BC，BC⊂平面Bl∁lBC，PR⊄所以PR∥平面Bl∁lBC，又PR∩RQ＝R，所以平面PQR∥平面Bl∁lBC．题型四.折叠问题1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC=12AP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．【解答】证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD＝D∴CD⊥平面PAD，∴EF⊥平面PAD，∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；（II）∵G为BC的中点，F为PD的中点，∴GF∥BP∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，∴GF∥平面PAB，由（I）知，EF∥DC∵AB∥DC，∴EF∥AB∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩GF＝F∴平面EFG∥平面PAB∵PA⊂平面PAB∴AP∥平面EFG．2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（I）证明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角为∠PDA＝90°，且PD⊥DC，DA∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，则BC＝BD=A在三角形BCD中，BC2+BD2＝CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（III）∵F∈BD，故可设F（m，m，0），而PB的中点E（1，1，1），∴EF→∵EF→⋅BC∴−2(m−1)+2(m−1)=04(m−1)+(−1)×(−2)=0，解得m=∴线段BD上是否存在一点F（12，12，0），使3．如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=π4，∠DAB=π3．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB＝2，∠DAB=π3，∴AD=12∴S△ABD=12AD•BD∵∠CAB=π4，∴OC⊥AB，OC=在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD∴VD﹣ABC＝VC﹣ABD=1（2）∵OA＝OD，∠DAB=π3，∴△∵E是OA中点，∴DE⊥OA，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，∵BP⊂平面ABC，∴DE⊥BP．（3）BD上存在一点G，满足DG=BG，使得FG∥平面理由如下：取BD中点M，连结FM，MG，FG，则MG⊥BD，∴MG∥AD，∵F，M分别是BC，BD的中点，∴FM∥CD，∵FM⊂平面FMG，MG⊂平面FMG，CD⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AD∩CD＝D，FM∩MG＝M，∴平面FMG∥平面ACD，∵FG⊂平面FMG，∴FG∥平面ACD．题型五.平行与垂直选填综合1．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；③若l∥α，且m∥α，则l∥m；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．则正确的命题个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①根据线面平行的性质知，若m∥l，且m⊥α，则l⊥α正确；故①正确，②根据面面垂直的性质知，若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n正确；故②正确，③若l∥α，且m∥α，则l∥m不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β不一定成立，有可能相交．故④错误，故正确的是①②③，故选：B．2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．8 C．10 D．6【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，△PAC都是直角三角形；②∵∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．④由三垂线定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．综上可知：直角三角形的个数是8个．故选：B．3．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CH=12HD，AG=A．AC∥平面EFH B．四边形EFHG是梯形 C．直线EG，FH，BD相交于同一点 D．BD∥平面EFG【解答】解：∵AE＝EB，BF＝FC，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=12∵EF⊂平面EFH，AC⊄平面EFH，∴AC∥平面EFH，故A正确，∵CH=12HD，AG=∴GH∥AC，且GH=23则EF∥GH，∴四边形EFHG是梯形，故B正确；则直线FH，EG相交，设交点为M，则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，则M是平面ABD和平面BCD的公共点，又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD，即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确，D错误，故选：D．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．2 B．98 C．3 D．【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为平面BDFEBD=2，EF=12B1D过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴FG=D故四边形BDFE的面积为22故选：B．5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为（）A．1 B．62 C．2 D．【解答】解：取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，如图所示：因为P、N分别为CD、BC中点，所以PN//BD，因为PN⊄平面A1DB，BD⊂平面A1DB，所以PN∥平面A1DB，同理，P、Q分别为CD、DD1中点，所以PQ//D1C，因为A1D1＝BC，且A1D1//BC，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以A1B//D1C，所以PQ//A1B，因为PQ⊄平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，所以PQ//平面A1DB，又PQ∩PN＝P，PQ⊂平面PQN，PN⊂平面PQN，所以平面PQN//平面A1BD，因为MN//平面A1BD，所以MN⊂平面PQN，又点M在平面DCC1D1内运动，所以点M在平面PQN和平面DCC1D1的交线上，即M∈PQ，在△PQN中，PN=2，PQ=12CD1=2所以cos∠NPQ=P所以∠NPQ＝120°，所以N点到PQ的最小距离d＝PN•sin（180°﹣120°）=6所以线段MN的最小值为62故选：B．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，AP=3，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BCA．3 B．322 C．2 【解答】解：设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵PA⊥平面ABCD，MD⊂平面ABCD，∴PA⊥MD，又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，由题意知AM=x2+1，在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化简，得xy＝1，在Rt△PMD中，PM=x2+4，∴S△PMD=12x此时，BC＝x+y=3故选：B．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于2．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC＝AC，∴EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF=1故答案为2．8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是32【解答】解：因为M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，点M，N在直线与平面ACC1A1不相交，所以MN∥平面ACC1A1，则A1M＝CN，当A1M＝CN＝0时，此时MN的中点O为平面ACC1A1的中心，即A1C的中点，当A1M＝CN=2时，此时MN的中点O为BB1所以点O的轨迹为△DEF的高，且△DEF为边长是1的等边三角形，故点O的轨迹长度是32故答案为：329．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为62．【解答】解：如图，F，G，H，I，J分别为棱AD，AA1，A1B1，B1C1，CC1的中点，则HI∥A1C1∥GJ，故GHIJ四点共面，同理EFGJ四点共面．因为EJ∥AB1，EF∥AC，EF∩EJ＝E，所以平面EFGJ∥平面AB1C，又因为HE的中点为正方体的中心，FI的中点也是正方体的中心设正方体中心为O，则HE∩FI＝O，∴H，I∈平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即为平面a，根据三角形的中位线的性质可得，六边形每条边的长度都等于正方体表面对角线的一半，即每边长都等于22+2故填：62．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为5．【解答】解：由正方体的性质可知，当P位于点C时，D1O⊥OC，当点P位于BB1的中点P1时，DD1＝2，DO＝BO=2，BP1＝B1P1＝1，B1D1=2求得OD1=所以OD12+OP12又OP1∩OC＝O，所以D1O⊥平面OP1C，故点P的轨迹在线段P1C上，由C1P1＝CP1=5，可得∠C1CP1为锐角，而CC1＝2＜故点P到棱C1D1的最大值为5，所以△D1C1P面积的最大值为12故答案为：5．课后作业.平行与垂直证明1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求证：l∥BC．（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD．AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N是PC的中点，E是PD的中点∴NE∥CD，且NE=∵CD∥AB，M是AB的中点∴NE∥AM且NE＝AM．所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE．又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点（1）求证：BC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1∥平面C1BD．【解答】证明：（1）连结A1B，交AB1于O，连结OD1，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点，∴OD1∥BC1，∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1．（2）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点，∴BD∥B1D1，∵BD⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又BC1∥平面AB1D1，BD∩BC1＝B，BD、BC1⊂平面C1BD，∴平面AB1D1∥平面C1BD．3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1=2，D是A1B1（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．【解答】证明：（1）如图，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面A1B．解：（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．【解答】证明：（1）如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE．∵F为AC的中点，∴GF∥DC，且GF=12又DC∥BE，CD＝2BE＝4，∴EB∥GF，且EB＝GF，∴四边形BFGE是平行四边形，∴