安徽省2023中考数学题型4填空压轴题习题

题型四填空压轴题

高分帮

类型1多空类

1.[2021浙江丽水]数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题:

结合他们的对话,请解答下列问题：

(1)当时,a的值是-2或1;

(2)当时,代数式—一的值是.7.

2.[2021合肥包河区一模]在平面直角坐标系中，已知抛物线y产苏+3dx-(a是常数,且a<0),直线协过点

(0,〃)(T«<5)且垂直于y轴.

(D该抛物线顶点的纵坐标为言a(用含a的代数式表示).

(2)当a=-l时,沿直线仍将该抛物线在直线上方的部分翻折,其余部分不变,得到新图象G,图象G对应的函数

记为％且当巧〈人2时,函数%的最大值与最小值之差小于7,则n的取值范围为^<n<\.

3.[2021四川南充中考改编]已知抛物线尸ay-2x+l(ar0).

(1)当8小时,抛物线与直线Y尢xR有(填“有”或“无”)交点；

(2)若抛物线的顶点在以点(0,0),(2,0),(0,2)为顶点的三角形区域内(包括边界)，则a的取值范围为

a分1.

4.在平面直角坐标系/行中，直线y=kx飞与x轴、y轴分别交于点A,B,且y随x的增大而减小,5k加=25,抛

物线y=ax+bx{a^^经过点A.

（1）点4的坐标为（10,0）

⑵若点。（-2,⑷在抛物线y=aY+bx上,且点0（0,-2）和位于A?下方的抛物线上的点P到直线y=kx-5的距

离相等,则点尸的横坐标为十或词.

5.[2021安庆模拟]如图,在矩形ABCD中,AD=5,AC=15,P为〃,上的动点（含端点），0为劈上的动点（含端点）,

且PA=PQ.

⑴用的最大值为

（2）若为长为整数,则点户的位置有1个.

⑴若则4/n°;（结果用含力的代数式表示）

（2）若一=如则一=-.（结果用含用的代数式表示）

-2-

7.如图，已知正方形4宛。的边长为3,E为修边上一点（不与端点重合），将加沿/£折叠至必;延长EF

交边BC于点、G,连接AG,CF.

⑴N必6=45°;

8.[2021四川成都]如图,在矩形ABCD中,AB=4,点£户分别在边AD,BC上,且止=3,按以下步骤操作:

第一步,沿直线用翻折，点A的对应点4’恰好落在对角线4。上,点8的对应点为4,则线段游的长为

1：

第二步,分别在好；小8’上取点M,N,沿直线,则继续翻折，使点广与点£重合,则线段版V的长为_圾_.

类型2几何多解类

L点、线位置不确定类多解题

9.[2020亳州二模]如图，在△力比'中，ZC=90°,AC=8,及7=16,点D,£分别在边BC,A?上,沿龙将折叠，使

点B与点4重合,连接A9,点P在线段4。上,当点产到△4完■的直角边距离等于5时,4尸的长为_煞

15

4,

10.如图,动点£户分别是正方形40的边BC,切上的动点,沿AE,42折叠正方形，点4〃的对应点恰好都落

在点。处.若AB4点P是⑺边的三等分点，则跖的长为—理一

11.如图，及7为等边三角形，比乂，点〃是边上的一个动点,过点〃作DE1BC千点、£将△耳龙沿场翻折

得到座;再将龙沿座'翻折得到应当点万’恰好落在△4回的对称轴上时,线段劭的长为、或

2.

12.如图,在矩形ABCD中,ABABCA点£在边4?上,连接CE,将△曲。沿Q■折叠,当点6的对应点5'落在矩

形被力的对角线上时,亚■的长为—寓

13.[2021辽宁鞍山]如图，NP0Q由0。，定长为a的线段的端点A,8分别在射线0P,8上运动（点A,B不与点0

重合），点。为49的中点，作△而C关于直线比对称的△CM'C/l'。交4?于点〃当△切切是等腰三角形

时，NCK9的度数为67.5"或72".

0AP（第13题）

14.如图,在矩形ABCD中,仍4,4。8,点£是四的中点,点尸是对角线4C上一点,△迹与项关于直线EF

对称,EG交4c于点H.当△口；〃中有一个内角为90°时,出的长为W7或4.

15.如图,在正方形ABCD中,/庐3,点E在49边上，且/£=2.点尸是射线比'上一动点,连接BE,PE,过点7作

硝_应■于点E当△阳'与相似时,外的长为2或？.

----------1—

16.如图，比■是一张等腰三角形纸片，且AB=AC4,BC=\,将△力比■沿着某条过它的一个顶点的直线折叠，打开

后再沿着所得到的折痕剪开,若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原△4比不全等的新三角形,则折痕的长

为4/或近7.

17.如图,有一张面积为12的锐角三角形纸片,其中BC为4,把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,且矩

形的一边与优平行，则矩形的周长为14或16.

类型3函数多解类

18.在抛物线片af+bx+c中，当-3WxW3时，-3WZ3,且该抛物线经过点(3,-3),(-3,3),则a的取值范围为

!Wa、O或0<aW!.

-v6

19.已知关于x的二次函数y=ax的图象与x轴的一个交点坐标为(卬,0).若2⑦<5,则a的取值范

围是:或.

20.如图，直线y=x与抛物线y=x-x-3交于A,B两点(点A在点8的左侧),点户是抛物线上的一个动点,过点

产作户QLx轴交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段内的长度随着"的增大而减小时,w的取值范围

是相"T或［3<3.

【参考答案】

题型四填空压轴题

Q高分帚

1.(1)-2或1(2)7(1)当a=b时，将a=b代入a2+2a=b+2,得a2+a-2=0，解得a=l或a=-2.(2)由题意得

^212a=b+2(T)

„一①-②得，a2-b2+3a-3b=0,(a-b)•(a+b+3)=0,...a-bR或a+b+3=0.；arb,，a+b=-3,

(b2+2b=a+2②，

/.(a+b)2=9.①+②得,a2+b2=4-a-b=4-(a+b)=7,，ab=亘@?^=l,：.-+^=^-=^=7.

2abab1

2.(l)-ya(2)4<n<l⑴该抛物线顶点的纵坐标为,心?一他》=孚=£(2)设函数yl的图象的顶点为点

M.当a=-l时,yl=-x2-3x+4=-(x+1)2+?.』(-*),二点M关于直线AB的对称点M,的坐标为(号2n-9.：•抛

物线yl的对称轴为直线x=-1,(-|)-(-5)=2-(-1),Ax=-5时yl的值与x=2时yl的值相等，为-22-3X2+4=-6.

由题意易得函数y2的最大值为n.分以下2种情况讨论.①如图⑴，当2n-篝-6,即时,y2的最小值为-6.

又.当-5WxW2时，函数y2的最大值与最小值之差小于7,."-(-6)〈7,即*1,二**1.②如图⑵，当2n-

7<-6,即同时,y2的最小值为2nq.又；当-5WxW2时，函数y2的最大值与最小值之差小于7,.\n-(2n-

T)<7,即n>-；,.,.-7<n4综上所述,n的取值范围为-RnVl.

44484

3.⑴有(2)a>l(1)令ax2-2x+l=2x+2,整理，得ax2-4xT=0,则A=16+4a,故当a>0时，A〉0,此时抛物线

与直线y=2x+2有交点.(2)•••y=ax2-2x+l=a(x1)2+l-l,.•.该抛物线的顶点坐标为41-3,.♦.该抛物线的顶点

aaaa

在直线y=-x+l上•抛物线的顶点在以点(0,0),(2,0),(0,2)为顶点的三角形区域内(包括边界)，如图，...Od

a

W1,解得a=l.

V

1\2)

Iy=-«+l

4.(1)(-10,0)(2)-8或-4(1)对于y=kx-5,当x=0时，尸-5,・••点B的坐标为(0,一5),・'・0B=5.丁SZiA0B=25,

.《X5X0A=25,；.0A=10.•点A在x轴上,且y=kx-5中y随x的增大而减小，...点A在x轴的负半轴上，.•.点

;_1

A的坐标为(TO,0).(2)将A(-10,0),C(-2,-4)分别代入y=ax2+bx,得那㊀装加=0，解得「一(故抛物线

(4a-2b=-4,h=£

一2，

的解析式为y=Jx2号X.将A(-10,0)代入y=kx-5,得k=f,故直线AB的解析式为y=g-5.连接PQ.过点P作直

线1〃AB,易得直线1的解析式为y=-ix-8,令"x2+|x=fx-8,解得x=-8或-4,即点P的横坐标为-8或-4.

5.(Dy(2)4⑴由PQ=PA可知，点Q是以点P为圆心,PA长为半径的OP与CD边的交点，分析易知当PA最

大时，点Q与CD边的端点(点C或点D)重合,此时点P为AC的中点，...PAWAC邛.(2)当OP与CD相切时,PA

最短,此时点Q为QP与CD的切点，如图.设PA=x,则PQ=x,PC=15-x.易证△CPQs/\CAD,.君旦

PQ-CA=AD-CP,即15x=5(15-x),解得x邛即PA长的最小值为£又PA长的最大值为学,故,WPAW*又PA

长为整数，，PA的长为4,5,6或7,故若PA长为整数,则点P的位置有4个.

6.(l)n(2)j(l)VZBCD=n°,ZBCD=|ZBCA,AZACD=n°,VZBAC=ZBDC=90°,ZDEB=ZAEC,.,.ZEBD=Z

ACE=n°.(2)如图，连接AD,过点A作AF±AD交CD于点F.TZDAF=90°,ZBAC=90°,ZDAB=ZCAF.XVZ

EBD=ZACE,.,.AACF^AABD,工职绊=m,tanZADF=tanZABC,/.ZADF=ZABC.设NACE=a，则N

CFAFAC

ACB=2a,AZABC=90°-2a，,ZADF=90°-2a,AZAFD=2a，:.ZFAC=a=NACE,；.AF=CF,ZEAF=90°-a=

NAEF,...EF=AF=CF,

7.(1)45(2)z(I)1•四边形ABCD是边长为3的正方形，...NDuNBugO。，AB=BC=AD=3.由折叠可知，NAFE=

5

ZD=90°,AF=AD=AB,ZDAE=ZFAE,.,.ZAFG=90°=ZB.由AF=AB,AG=AG,可得RtaABG名RtZ\AFG,NBAG=N

FAG,.•.NEAG=gx90°=45°.(2)由(1)知RtZ\ABG峪RtZ\AFG,；.BG=FG.由折叠可知,EF=DE.若E为CD的中点，

则EF=DE=CE=j.设BG=GF=x,则CG=3-x,GE=$x.在RtAECG中，由勾股定理,得CG2+CE2=EG2,即(3-

x)2+(1)2=(1+x)2,解得x=l,；.BG=GF=1,CG=2.*=jQ.SZXGFC=|s^CEG=|x权C-CG=|x|x|x2=1.

22

8.1遍第一步：设AA'与EF交于点H.由折叠可知EF1AA*.VCD=AB=4)AD=8,.-.AC=V4+8=475,AcosZ

CAD^^=丝，，AH=AEXcosZEAH=3X等空，，HC=AC-AH=4V5-^=-^.VADZ/BC,AZHCF=ZCAD,AcosZ

4vo555o5

「11V5

HCF=cosNCAD,...詈畔，/.CF-，BF=BC-FC=8-7=L第二步：由题意可知MN垂直平分EF,故MN的位置如

CF52V5

图所示,连接NE,NF,贝ijNE=NF.易知B'F=BF=1,A'B'=AB=4,A'E=AE=3.,//B'=90°=ZEA'B'，二

B'F2+B'N2=A'N2+A'E2,即12+B'N2=(4-B'N)2+32,，B'N=3,；.FN2=12+32=10.过点F作FG1AD于点G,则

FG=AB=4,GE=3-1=2,AEF=VFG2+GE2=2V5,/.FM=1EF=V5,.,.MN=VFN2-FM2=J10-(V5)2=>/5.

9.g或竽设BD=x,则AD=BD=x,CD=16-x.在RtAACD中，由勾股定理,得AD2=AC2+CD2,即x2=82+(16-x)2,解得

x=10,.,.BD=10,CD=6.分以下两种情况讨论.(D当点P到AC边的距离等于5时,过点P作PF±AC于点F,如图

(1),则PF=5,PF//CD,：.△APFs/XADC,二AP咚⑵当点P至！IBC边的距离等于5时,过点P作

ADIX.1003

PG_LBC于点G,如图⑵，则PG=5,PG〃AC,.•.△DPGsADAC,舞,即鸿,丁呼.•.AP=10罟.综上所

述,AP的长需畔

10.决斗分两种情况讨论.①当DP=1时，如图(1),则0P=LCP=2.设BE=0E=x,则EP=x+l,EC=3-x.根据勾股定

理可得EC2+CP2=EP2,即(3-x)2+22=(x+l)2,解得x=|,.-.BE=1.②当DP=2时，如图(2),则0P=2,CP=1.设BE=0E=y,

则EP=y+2,EC=3-y.根据勾股定理可得EC2+CP2=EP2,即(3-y)2+12=(y+2)2,解得y=1，BE=|.综上可知,BE的长

为其

111或2设点F,G分别为BC,AB的中点,连接AF,CG,则直线AF,CG均为等边三角形ABC的对称轴.分两种情

况讨论.①当点E'落在AF上时,如图⑴,NE'B'D=NEB'D=ZB=60°,BE=B'E=B'E'，:‘NE'B'F=60",A

B'F=|B'E)*E.易知BF=2,，2BE+；BE=2,.•.BE=g,，BDq.②当点E,落在CG上时，丫ZE'DB'=NEDB'=N

EDB=30°,二NBDE'=90°，，点D与点G重合,如图(2),此时BD=2.综上可知,BD的长为g或2.

0

12.|或彳由勾股定理得,AC=VAB2+BC2=5.由折叠可得,B'C=BC=3.如图(1),当点B'在AC上时,AB'=5-3=2.由

NAB'E=ZB=90°,ZB'AE=ZBAC,可得△AB'E^AABC,即当《，.,.AEM.如图(2),当点B'在BD上

ACAB542

时,CE垂直平分线段BB',.*.NBCE+NCBD=90°=ZBCE+ZCEB,ZCBD=ZBEC.由NCBE=NBCD=90°,ZCBD=Z

BEC,可得△BCEs/XCDB,二鬻，即弊，BE=1,；.AE=4-芸.综上所述,AE的长为姆

13.67.5°或72°VNP0Q=90°,点C为AB的中点，，OC=AC=BC,二ZCOA=ZBAO,ZOBC=ZBOC,AZDOB<Z

OBD.由对称的性质可得NC0A=NC0A',.'.NCOA—NBAO.设NCOA=NCOA'=NBAO=x°,则NBCO=2x°,Z

A'0B=90°-2x°,Z0BD=90°-x°,ZBDO=ZAOD+ZBAO=3x°.分两种情况讨论.①当OB=OD时，NABONBDO,

/.90°-x°=3x°，解得x=22.5,NOBD=90°-22.5°=67.5°.②当OB=DB时，NBDO=NA'OB,；.3x°=90°-

2x°,解得x=18,，N0BD=9(T-18°=72°.综上，NOBD的度数为67.5°或72".

近或4ft®®ABCD41,AB=CD=VAC2-AD2=4V3,tanZBAC=^=A=v，AZBAC=30°.如图(1),当NCHG=90°

AB4V33

时,EH=1AE=V3,AH=V3EH=3,.,.CH=8-3=5,GH=EG-EH=V3,.\CG=VCH2+GH2=Js2+(8)*".如图(2),当N

CGH=90°时,连接CE,VBE=AE=GE,CE=CE,ARtACEG^RtACEB,/.CG=BC=4.由题意可知，点G在以点E为圆

心,EA为半径的圆上运动，.•.NGCH〈90°,故NGCHW90°.

-在4PEF与4ABE中，NA=NEFP=90°,...当APEF与4ABE相似时，分两种情况讨论.(1)如图(1),当4PEF

4

s/XEBA时，ZPEF=ZEBA,AAB/7EP.易得四边形ABPE是矩形，；.BP=AE=2.⑵如图⑵，当APEFs/XBEA时，Z

PEF=ZBEA.VAD/7BC,AZEBP=ZBEA,ANPEF=NEBP,；.BP=EP,.,.点F是BE的中点.由勾股定理可求得

BE=VAB2+AE2=V32+22=VT3,AEF^BE^.VAPEF^ABEA,即手喘,：.EP邛，BP=EP*.综上可

知,BP的长为2或？

4

图⑴图⑵

V5或E如图（1）,沿BC边上的中线AD剪开,重拼成aABE,显然AABE与aABC不全等,此时

AD=VAB2-BD2=V62-22=4>/2.如图（2）,沿腰AC上的中线BE剪开,重新拼成△ABF,显然AABC与aABF不全等，易

知点B,E,F共线,BE=EF,过点F作FG1BC,交BC的延长线于点G,易得四边形ADGF是矩

形，DG=AF=BC=4,FG=AD=4V2,BG=BD+DG=6,则BF=VBG2+FG2=Je2+(4V2)2=2VT7,/.BE=|BF=V17.综上可知，折

痕的长为4夜或g.

图（1）图⑵

17.14或16设点E,F分别是AB,AC的中点,连接EF,过点A作AD±BC于点D,交EF于点0,易得EF=2,AD=6,

故A0=0D=3.如图（1）,将AAEO绕点E旋转180°得到△BEG,将AAFO绕