初中数学勾股定理简答题训练含答案

初中数学勾股定理简答题专题训练含答案

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一、解答题(共10题)

1、如图，在灯△49C中，Zr=90°,BD平分/ABC交AC于点、。，点、。在

AB上，以点0为圆心，OB为半径的圆经过点D,交比'于点后.

(1)求证：4。是。。的切线；

⑵若加=10,缪=8,求四的长.

2、如图，在RtAABC中，ZB=90°,AB=7cm,AC=25cm.点P从点A沿

AB方向以lcm/s的速度运动至点B,点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至

点C,P,Q两点同时出发.

(1)求BC的长；

(2)当点P,Q运动2s时，求P,Q两点之间的距离；

(3)P,Q两点运动几秒时，AP=CQ?

3、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点△作庞〃/C,且施=

工

2AC,连接EC.

(1)求证：四边形BECO是矩形;

(2)连接ED交AC于点F,连接防，若4。=12,46=10,求贿的长.

4、如图，如图，在△/勿中，Z61=90°,N的C的平分线交比'于点，，点。在

AB上，以点0为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D,交力。于点后，交AB于点、F.

(1)求证：BC是◎0的切线；

(2)若劭=2万，BF=2,求阴影部分的面积(直接填空).

5、如图，正方形须⑺中，点£在边AD±(不与端点A,〃重合)，点A关于直线

物的对称点为点F,连接⑦，设ZABE=a.

(备用图)

(1)求N夙泳的大小(用含a的式子表示)；

(2)过点。作CGLAF,垂足为G,连接DG.判断QG与⑦的位置关系，并说明

理由；

(3)将绕点6顺时针旋转90。得到ACBH,点6的对应点为点〃，连接班"

HF.当为等腰三角形时，求sina的值.

6、如图，在“8C中助=/CBC=10,点口是线段上AB上一点，BD=6,连接CD,

CD=8.

(1)求证：CDLAB.

(2)求“BC的周长.

7、如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上

有一点P,使EP+BP最短，求EP+BP的最短长度.

8、已知：如图，四边形ABCD^,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,公与E0相交于。,

且ACLBD,则a,b,ad之间一定有关系式：a2+c2=b2+d2,请说明理由.

9、如图，在4ABC中，ZC=90°,M是BC的中点，MD1AB于D,求证:

AD2=AC2+BD2.

B

C

10、如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AE±BC交CB延长线于E,

CF〃AE交AD延长线于点F.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)连接OE,若AD=5,BE=3,求线段OE的长.

========参考答案========

一、解答题

1、(1)见解析；

⑵CE=4

【解析】

【分析】

(1)连接OD,根据OB=OD,BD平分ZABC,证得ZODB=/CBD,推出OD//BC,

得到/刎=NC=90°,由此得到结论；

(2)过点。作OF工BC于夕，推出四边形是矩形，得到OF=CD=8,CF=OD=1G,

根据勾股定理求出BF,由垂径定理得到EF=BF=6,由此求出结果.

(1)

证明：连接OD,

D

：OB=OD,

•，ZODB=ZOBD.

,：BD平分ZABC,

AZOBD=ZCBD,

AZODB=ZCBD.

：.OD//BC,

：.ZODA=ZC=90°,

以点0为圆心，OB为半径的圆经过点D,

：.ZC是。0的切线；

(2)

解：过点。作/'，a"于/，

,*.ZOFC=ZODC=AC=90°,

...四边形皴F是矩形，

OF=CD=8,CF=OD=10.

在欣△戚中，OF2+BF2=OB2,

：.BF=JOB2-OF2=7103-82=6,

OFLBC,

：.EF=BF=6,

：.CE=CF-EF=10-6=4.

【点睛】

此题考查了切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确

掌握各定理并熟练应用解决问题.

24

2、(1)BC=24cm；(2)PQ=13cm；(3)P,Q两点运动亍s时，

AP=CQ.

【分析】

(1)在Rt△四。中，N8=90°,AB=7cm,AC=25cm根据勾股定理可得BC-=

AC2-AB2=252-72=242,求出8。=24cm.

(2)连接PQ,由题意知BP=1-2=5(cm),BQ=6X2=12(cm),在RtABPQ中，

由勾股定理得：

PQ=BP2+BQ2=52+122=132,进而求出PQ=13cm.

24

(3)设尸，Q两点运动方s时，在=CQ,则可得t=24—6t,解得t=亍

【详解】

解：(1)V在RS46C中，N6=90°,AB=1cm,AC=25cm

BC2=AC2-AB2=252-72=242,

/.BC=24cm.

⑵连接PQ,

由题意知BP=7-2=5(cm),BQ=6X2=12(cm),

在RtABPQ中,由勾股定理，得：

PQ=BP2+BQ~=52+122=132,

/.PQ=13cm.

(3)设。，Q两点运动％s时，

AP=CQ,则t=24-6f,

24

解得t=T.

24

答：X0两点运动亍s时，"=CQ.

【点睛】

本题主要考查勾股定理的应用，解决本题的关键是要熟练掌握利用勾股定理进行解答.

3、(1)见解析；(2)的长为J万.

【分析】

2

(1)由菱形的性质得ZBOC=90°,%=5/C,推出旗二%,则四边形BECO是

平行四边形，再由ZBOC=90°,即可得出结论；

(2)由勾股定理求出OB=8,则BD=2OB=16，再证△ODFCEFCASA),

得分=",然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解.

【详解】

(1)证明：四边形ABCD是菱形,

2

.,.ZBOC=90°,OC=OA=2AC,

2

BE=2AC,

：.BE=OC,

'：BE//AC,

/.四边形BECO是平行四边形，

VZBOC=90°,

平行四边形BECO是矩形；

(2)解：•；四边形ABCD是菱形，

2

/.BC=AB=10,OC=2AC=6,OB=OD,ACLBD,

在Rt△OBC中,由勾股定理得：OB=^BC2-OC2=7102-62=8,

BD=2OB=16,

由(1)得：四边形BECO是矩形,

:.BE=0C=6,ZOBE=ZECO=90°OB=CE,OB//CE,

：.DE=JW+BE，="16+6'=2显,ZODF=ZCEF,OD=CE,

在△0DF和△CEF中，

'^DOF=AECF=9Q°

-OD=CE

Z.ODF=ZCEF

/.△ODFCEFCASA),

：.DF=EF,

VZDBE=90°,

2

/.BF=2DE="，

故跖的长为历.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上

的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理,

证明四边形侬'。为矩形是解题的关键.

2J3--

4、(1)证明见解析；(2)3.

【分析】

(1)连接OD，利用角平分线和平行线之间的角度关系，得到OD//AC，所以ODLBC,

从而得出BC与。。相切；

(2)利用直角三角形的勾股定理解得圆的半径，将阴影部分的面积转化为三角形面积与扇

形面积之差，从而计算出阴影部分的面积.

【详解】

(1)证明：如图，连接OD,

AB

'：0A=OD,

AZOAD=ZODA,

VAD平分ZBAC,

,*.ZCAD=ZOAD,

AZCAD:乙ODA,

AC//OD,

AZODB=ZC=90°,

'：OD是.。0的半径，

，BC是G0的切线；

(2)设。。的半径为r,则OD=r,0B=r+2,

由(1)可知ZBDO=90°,

在RtABDO中，根据勾股定理可得：OD2+BD2=0B;

即r2+(2若)2=(r+2)2,

解得：r=2,

BD_2s/3_

在RtABOD中，tanZBOD="一，

.\ZB0D=60o,

故阴影部分的面积为：

z-n。[1一

1---xm'=-x2x2/--x/rx4=2存一万

=_

S阴影S△OBD-S扇形DOF=2XODXBD360263

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系、勾股定理、扇形面积计算以及三角函数，掌握知识点是

解题关键.

5、(1)45°+a.

⑵DG//CF.理由见解析.

立

(3)5.

【分析】

(1)作辅助线BF,用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等.再用三角形内角和为⑶。算

出乙BCF.

(2)作辅助线跖、4C,先导角证明△。死?是等腰直角三角形、“QC是等腰直角三角

形.再证明s。比、4GC—AFC,最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF.

(3)△班归为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH,根据题目

具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可.

【详解】

(1)解：连接BF,设"'和BE相交于点N.

点A关于直线BE的对称点为点F

BE是AF的垂直平分线

BE1AF,AB=BF

Z£AF=£BFA

ZAB£=a

N5加l=90°-a=N£用

・•・Z£aff'=1800-90°-(90°-Of)=a

・・・四边形ABCD是正方形

..AB=BC,ZABC=90°

/咏=90。-2凰AB=BC=BF

ZBFC=ABCF

・・・乙BFC+ABCF+4FBC=180°,AFBC=90°-2a

180°-(90°-2a)

4BFC=』BCF=----------'--------------=45°+a

2.

(2)位置关系：平行.

理由：连接BF,AC,DG

设DC和FG的交点为点M,AF和BE相交于点N

由⑴可知，

/ABE=AEBF=a,ABAF=ABFA=90°-aABFC=ABCF=45。+a

二.乙AFC=AAFB+ACFB=90°-a+45°+a=135°

£CFG=180°-£AFC=45。

・・・CGLAG

ZFGC=90°

乙GCF=180°-乙FGC-乙CFG=45°=乙CFG

是等腰直角三角形

CG_1

而=忑

・・・四边形ABCD是正方形

乙BAD=乙ADC=4BCD=90°,AD=CD

是等腰直角三角形

DC1

...—=―，AACD=45。

AC也

ABCA=45°

•・•班垂直平分AF

AANE=90°

ANAE=180°-ZANE-乙AEN=a

在△组)肠和△CGM中，

\AADC=AAGC=90°

\AAMD=ACKG

^ADJfSGM

乙MCG=AGAD=a

・・・ABCA=45°,ABCF=45。+a

・•.AACF=ABCF-Z.BCA=a

在ADGC和△山?(7中，

v—=—=4-»/DCG=AACF=a

然FC也

..L.DGCsaAFC

乙AFC=乙DGC=135°

・•.乙DGA=Z.DGC-AAGC=135°-90°=45°

£DGA=乙CFG=45°

CF//DG

(3)△友归为等腰三角形有三种情况：QFH=BH②BF=FH③BF=BH,要分三种情况讨论:

①当FH=BH耐,作于点M

由（1）可知：AB=BF,乙他？=NEBF=a

•••四边形ABCD是正方形

AB=BC,4ABC=90°,NBAS=90°

设AB=BF=BC=a

•.•将绕点B顺时针旋转90°得到^CBH

乙CBH=NABE=a,BH=BE

Z.FBH=AABC-ZABf+/LCBH=90。-2a+a=90°-a

NJ®产=乙BFH=90。-a

Z.FHB=180°-Z.FBH-ABFH=2a

言频是等腰三角形，BH=即，押工BF

1a

ABHM=AFHM=a,BN=耶=一BF=—

22

在下和&MHB中,

\£BAE==90°

=/ABE=a

:.^ABEsJHB

AEBE

a

：.BM=AE=2

BE=^AE2+AB

同2

BE5

②当BF=FHN，

设LFH与BC交点为0

•・・△3E绕点6顺时针旋转90。得到dCBH

4ABE=Z.CBH=a

由⑴可知：4ABF=2a

AFBC=90°-2a

..AFBH=AFBC+ACBH=90。-2。+a=90。-a

・・・BF=FH

AFBH=乙物=90°-a

£BOH=180°-ACBH-/戚=90°

此时，&OH与N3S重合，与题目不符，故舍去

③当BF=BH时,

ED

由⑴可知：AB=BF

设AB=BF=a

••・四边形ABCD是正方形

AB=BC=a

■：BF=BH

：.BF=BH=BC=a

而题目中，BC,8”分别为直角三角形8组的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，

故舍去.

也

故答案为：5

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理（三角形内角和为闻°）、平行线证明（内错角相等，两直

线平行）、相似三角形证明（两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且

夹角相等的两个三角形相似）、等腰直角三角形三边比例关系（此/）、正弦函数定义式

（对边：斜边）.

80

6、（1）见解析；（2）7.

【分析】

（1）由a'=10,CD=8,放=6,计算得出BD°+DC°=BC2,根据勾股定理的逆

定理即可证明CDLAB

（2）设,则AB=AC=x^,在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x,得出AC,

继而可得出△ABC的周长.

【详解】

解：(1)在△6切中，BC=10,CD=8,BD=6,

V62+82=102

/.BD2+DC2=BC2,

，△8⑦是直角三角形，/BDC=90°,

/.CDVAB

(2)设/〃=x,则4C=18=x+6,

在Rt△4%中，•?AC2=AD2+DC2,

A82+x2=(x+6)2,

7

解得：x=3.

780

/.△48。的周长为：(3+6)x2+10=T.

【点睛】

本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出

腰的长度.

7、5

【详解】

试题分析：本题先根据“小马饮水问题”模型先找出点3关于直线4。对称点，根据

正方形的性质可知点B,D关于直线AC的对称，所以连接DE,DE与AC的交点P,此

时DE的长度即是EP+BP最短距离，再根据勾股定理：庞=AW+庇=J4W.

解：如图，连接BD交AC于O,连接ED与AC交于点P,连接BP.

易知BD±AC,

且BO=OD,；.BP=PD,则BP+EP=ED,此时最短.

VAE=3,AD=1+3=4,由勾股定理得

ED2=AE2+AD2=32+42=25=52,

，ED=BP+EP=5.

8、见解析

【详解】

整体分析:

分别在RtAABO,RtABCO,RtACDO,RtADAO中用勾股定理表示出斜边的长即

可求解.

解：在RtAABO和RtACDO中

•；OA1+OB^AB^a2.OC2+OD2=CD2=c