高考数学总复习第一章 集合与常用逻辑用语第2课时 集合的基本运算

考情分析考点新知理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示.1.(原创)集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝________．答案：{－1，0，1}解析：M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{－1，0，1}．2.(必修1P17第13题改编)A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}．若A＝{x|y＝eq\r(x2－3x)}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0)∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．3.(必修1P10第4题改编)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2,n－1)，x、n∈Z))，则∁UA＝________．答案：{0}解析：因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,n－1)，x、n∈Z))))，当n＝0时，x＝－2；当n＝1时不合题意；当n＝2时，x＝2；当n＝3时，x＝1；当n≥4时，xZ；当n＝－1时，x＝－1；当n≤－2时，xZ.故A＝{－2，2，1，－1}．又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．4.(必修1P14第8题改编)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________.答案：{1，4，5}解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．5.(必修1P17第6题改编)已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时，a＝________．答案：1或2解析：验证a＝1时B＝满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．1.集合的运算(1)交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4)补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}．2.常用运算性质及一些重要结论(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A；(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A；(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U；(4)A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．[备课札记]题型1集合的运算例1若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝________．答案：{5，6}解析：∵M∪N＝{1，2，3，4}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{5，6}．eq\a\vs4\al(变式训练)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M∩N＝N，N＝{1，4}，试求满足条件的集合M的个数．解：由M∩N＝N得MN.含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，含有6个元素的集合M有1个．因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．题型2求参数的范围例2设关于x的不等式x(x－a－1)＜0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M∪N＝N，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，由已知得x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以M＝{x|0＜x＜2}．(2)由已知得N＝{x|－1≤x≤3}．①当a＜－1时，因为a＋1＜0，所以M＝{x|a＋1＜x＜0}．由M∪N＝N，得MN，所以－1≤a＋1＜0，解得－2≤a＜－1.②当a＝－1时，M＝，显然有MN，所以a＝－1成立．③当a＞－1时，因为a＋1＞0，所以M＝{x|0＜x＜a＋1}．因为MN，所以0＜a＋1≤3，解得－1＜a≤2.综上所述，实数a的取值范围是[－2，2]．eq\a\vs4\al(变式训练)已知A＝{x|ax－1>0}，B＝{x|x2－3x＋2>0}．(1)若A∩B＝A，求实数a的取值范围；(2)若A∩∁RB≠，求实数a的取值范围．解：(1)由于A∩B＝A得AB，由题意知B＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>eq\f(1,a)≥2，得0＜a≤eq\f(1,2)；若a＝0，则A＝，成立；若a＜0，则x＜eq\f(1,a)＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a≤eq\f(1,2).(2)∁RB＝{x|1≤x≤2}，若a＝0，则A＝，不成立；若a＜0，则x＜eq\f(1,a)＜1，不成立；若a＞0，则x＞eq\f(1,a)，由eq\f(1,a)＜2得a＞eq\f(1,2).综上所述，a＞eq\f(1,2).题型3集合综合题例3已知f(x)＝x＋eq\f(b,x)－3，x∈[1，2]．(1)当b＝2时，求f(x)的值域；(2)若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范围．解：(1)当b＝2时，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3，x∈[1，2]．因为f(x)在[1，eq\r(2)]上单调递减，在[eq\r(2)，2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(eq\r(2))＝2eq\r(2)－3.又f(1)＝f(2)＝0，所以f(x)的值域为[2eq\r(2)－3，0]．(2)①当0＜b＜2时，f(x)在[1，2]上单调递增，则m＝b－2，M＝eq\f(b,2)－1，此时M－m＝－eq\f(b,2)＋1≥4，得b≤－6，与0＜b＜2矛盾，舍去；②当2≤b＜4时，f(x)在[1，eq\r(b)]上单调递减，在[eq\r(b)，2]上单调递增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f(eq\r(b))＝2eq\r(b)－3，则M－m＝b－2eq\r(b)＋1≥4，得(eq\r(b)－1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾，舍去；③当b≥4时，f(x)在[1，2]上单调递减，则M＝b－2，m＝eq\f(b,2)－1，此时M－m＝eq\f(b,2)－1≥4，得b≥10.综上所述，b的取值范围是[10，＋∞)．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)设集合A＝{x|x2－2x＋2m＋4＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B≠，求实数m的取值范围．解：(解法1)据题意知方程x2－2x＋2m＋4＝0至少有一个负实数根．设M＝{m|关于x的方程x2－2x＋2m＋4＝0两根均为非负实数}，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（－2m－3）≥0,x1＋x2＝2>0，解得－2≤m≤－\f(3,2).,x1x2＝2m＋4≥0))∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤－\f(3,2))))).设全集U＝{m|Δ≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤－\f(3,2)))))，∴m的取值范围是∁UM＝{m|m<－2}．(解法2)方程的小根x＝1－eq\r(－2m－3)<0eq\r(－2m－3)>1－2m－3>1m<－2.(解法3)设f(x)＝x2－2x＋4，这是开口向上的抛物线．因为其对称轴x＝1>0，则据二次函数性质知命题又等价于f(0)<0m<－2.1.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．答案：{1，2，5}解析：由题意知log2(a＋3)＝2，得a＝1，b＝2，则A∪B＝{1，2，5}．2.已知全集U＝(－∞，3]，A＝[－1，2)，则∁UA＝____．答案：(－∞，－1)∪[2，3]解析：利用数轴可得∁UA＝(－∞，－1)∪[2，3]．3.如图，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．答案：{2，8}解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2，8}．4.已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，则Q∩P＝________．答案：{(1，－1)}解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))由于两集合交集中元素只有一个点，故Q∩P＝{(1，－1)}．5.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且xQ}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________．答案：{x|0<x≤1}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．1.设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝________．答案：{1，3，5}解析：画出韦恩图，可知N＝{1，3，5}．2.设全集为R，集合A＝{x|x≤3或x≥6}，B＝{x|－2<x<9}．(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若CB，求实数a的取值范围．解：(1)A∪B＝R，∁RA＝{x|3<x<6}，∴(∁RA)∩B＝{x|3<x<6}．(2)∵C＝{x|a<x<a＋1}，且CB,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤9.))∴所求实数a的取值范围是－2≤a≤8.3.设全集I＝R，已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(（x＋3）2≤0))))，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁IM)∩N；(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁IM)∩N＝{2}．(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴BA，∴B＝或B＝{2}，当B＝时，a－1>5－a，∴a>3；当B＝{2}时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．4.设全集U＝R，函数f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a＜1)的定义域为A，集合B＝{x|cosπx＝1}．若(∁UA)∩B恰好有2个元素，求a的取值集合．解：|x＋1|＋a－1＞0|x＋1|＞1－a，当a＜1时，1－a＞0，∴x＞－a或x＜a－2，∴A＝(－∞，a－2)∪(－a，＋∞)．∵cosπx＝1，∴πx＝2kπ，∴x＝2k(k∈Z)，∴B＝{x|x＝2k，k∈Z}．当a＜1时，∁UA＝[a－2，－a]在此区间上恰有2个偶数．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜1，,a≤－a＜2，－2＜a≤0,－4＜a－2≤－2)).1.集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1)勿忘对空集情形的讨论；(2)勿忘集合中元素的互异性；(3)对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的