5.2 导数的运算（十大题型）

5．2导数的运算课程标准学习目标（1）能利用导数的定义，推导出几个常见函数的导数公式；能说出用定义法求导数的基本步骤，体会极限思想．（2）能直接使用基本初等函数的导数公式表求一些简单函数的导数，进一步解释导数的意义，能描述求函数的导数是一种借助极限的运算，从而进一步体会极限思想．（3）能通过具体实例直观感受导数的四则运算法则，通过实例解释导数的四则运算法则；会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求一些简单函数的导数，感受从具体到抽象的学习过程，体会特殊与一般的思想，发展数学抽象和数学运算素养．（4）能通过具体实例解释复合函数的概念，会分析简单复合函数的复合过程，能说出复合过程中的自变量、因变量以及中间变量分别是什么；能说出复合函数的求导方法，通过具体实例解释复合函数的两次求导过程和求导法则，会直接运用复合函数的求导法则进行求导，进一步体会特殊到一般的思想，提升数学运算素养．（1）能根据导数定义推导函数，，，，，的导数公式．（2）会使用导数公式表．（3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则，会求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如的导数．知识点01基本初等函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，这样的形式．要点诠释：1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）．特别地，．3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即．5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，．有时也把记作：以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．【即学即练1】（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）；（3）.知识点02函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）要点诠释：1、上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：．（ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）．（ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例，当时，．这是一个函数倒数的求导法则．2、两函数积与商求导公式的说明（1）类比：，，注意差异，加以区分．（2）注意：且．3、求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.知识点03复合函数的求导法则1、复合函数的概念对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”．2、复合函数的导数设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．3、掌握复合函数的求导方法（1）分层：将复合函数分出内层、外层．（2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到，（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数．要点诠释：1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【即学即练3】（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）令，因为，所以.（2）令，因为，.（3）令，因为，.（4）令，因为，.（5）令，因为，.（6）令，因为，.题型一：利用导数公式求函数的导数例1．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例2．（2023·高二课时练习）用公式求下列函数的导数，其中：(1)；(2)．【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.例3．（2023·高二课时练习）求余弦函数在处的导数．【解析】因为，所以，所以.变式1．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1），.（2）.（3）.（4），.（5），.（6）.（7）.（8）.变式2．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）（2），.（3）.（4）.变式3．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）由（2）由（3）由【方法技巧与总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．题型二：求函数的和、差、积、商的导数例4．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4），.（5）.（6）.（7）.（8）.例5．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例6．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【方法技巧与总结】利用导数运算法则的策略（1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．（2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．（3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．题型三：求复合函数的导数例7．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例8．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．【解析】（1）根据导数的运算法则，由，可得.（2）根据导数的运算法则，由，可得（3）根据导数的运算法则，由，可得.（4）根据导数的运算法则，由，可得.（5）根据导数的运算法则，由，可得.（6）根据导数的运算法则，由，可得.（7）根据导数的运算法则，由，可得.（8）根据导数的运算法则，由，可得.（9）根据导数的运算法则，由，可得.（10）根据导数的运算法则，由，可得.（11）根据导数的运算法则，由，可得.（12）根据导数的运算法则，由，可得.例9．（2023·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）对于，中间变量为，则，所以.（2）对于，中间变量为，则，所以.（3）对于，中间变量为，则，所以.（4）对于，中间变量为，则，.变式4．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）函数可以看作与复合而成，根据复合函数求导法则有．（2）函数可以看作与复合而成，根据复合函数求导法则有．（3）函数可以看作与复合而成，根据复合函数求导法则有.【方法技巧与总结】（1）求复合函数的导数的步骤（2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．题型四：利用导数求函数式中的参数例10．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设为函数的导函数，若，则．【答案】4【解析】由题意知，令，则，，令，则，解得，所以.故答案为：4.例11．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知函数，则.【答案】【解析】因为，所以，当时，，解得，所以，所以.故答案为：例12．（2023·山东淄博·高二校考阶段练习）已知直线是函数的图象在点处的切线，则.【答案】5【解析】由题可得，，因为直线是函数的切线，所以，解得，所以，所以切点为，又因为切点在切线上，所以，所以，故答案为:5.变式5．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知函数的导函数为，且满足，则.【答案】/【解析】由题设，则.故答案为：变式6．（2023·河南安阳·高二阶段练习）已知，则等于.（用数字作答）【答案】【解析】由题意得，令可得，解得.故答案为：.变式7．（2023·四川眉山·高二眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数的导函数是，且，则.【答案】24【解析】因为，所以，所以，即，所以，所以.故答案为：24【方法技巧与总结】求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可．题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）例13．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）已知.(1)求曲线在处的切线方程；(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.【解析】（1）∵，∴，当时，，，∴曲线在处的切线方程为，即；（2）由题意，，∴，当且仅当即时，等号成立，∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，∴，又，∴，即倾斜角的取值范围为.例14．（2023·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）求下列直线的方程：(1)曲线在处的切线；(2)曲线过点的切线.【解析】（1），故曲线在处的切线斜率为，故在处的切线方程为，即（2）设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为，化简可得，代入可得，即，解得或，代入切线方程可得或例15．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求函数在点处的切线；(2)过点作曲线的切线，求此切线方程.【解析】（1）由，可得，则，而，故函数在点处的切线为，即.（2）过点作曲线的切线，设切点坐标为，则切线斜率为，则切线方程为，即，将代入，得，解得，则切点坐标为，，则切线方程为，即.变式8．（2023·高二课时练习）已知直线是曲线的切线，求常数的值．【解析】设直线与曲线相切于点，，，又点在上，，则由得：，解得：或，或.变式9．（2023·全国·高二随堂练习）求函数在处的导数，及曲线在点处的切线的方程．【解析】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线的方程为，即.变式10．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知函数，点在曲线上.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.【解析】（1）由题意，故，所以，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，又在切线上，故或，所以切线方程为或.变式11．（2023·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【解析】（1）由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．变式12．（2023·陕西渭南·高二校考期中）已知曲线方程(1)求以点为切点的切线方程；(2)求过点与曲线相切的直线方程．【解析】（1）由求导得，则，所以以点为切点的切线方程是（2）设切点坐标为，则切线方程为，即，代入，则，即，解得或，当时，所求直线方程为；当时，切点，斜率为，所求直线方程为.所以过点与曲线相切的直线方程为和【方法技巧与总结】（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．（2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤题型六：利用导数公式求切点坐标问题例16．（2023·北京·高二北京市第一六一中学校考期中）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（

）A．（，1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1）【答案】B【解析】直线过原点，设是曲线上任意一点，，所以在点的曲线的斜率为，所以在点的曲线的切线方程为，即，将代入上式得，所以切点为.故选：B例17．（2023·高二课时练习）曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知得：，切线的斜率．设切点为，则，可得，又，∴切点为.故选：A．例18．（2023·浙江·高二校联考期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】，则，由可得，因此，，，故所求切点的坐标为或.故选：B.变式13．（2023·北京·高二统考期末）过点P（0，2）作曲线y＝的切线，则切点坐标为（

）A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1）【答案】A【解析】设切点,,即切点故选：A变式14．（2023·北京·高二北京市八一中学校考期中）函数的切线经过点，相应的切点坐标是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】设切点为，则切线的斜率为，解得，当时，，此时切点为，但不满足方程，故舍去；当时，，此时切点为，满足方程.故选：B变式15．（2023·河北承德·高二统考期末）直线与曲线相切，则切点的坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，所以代入曲线得，故选A．【方法技巧与总结】（1）利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．（2）结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．题型七：与切线有关的综合问题例19．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为.【答案】1【解析】设切点为，由，得，可得切线的斜率为，①又，②联立①②解得，．故答案为：1．例20．（2023·四川绵阳·高二统考期中）若直线为曲线的一条切线，则实数的值为；【答案】【解析】由，可得，设切点为，则，故切线方程为，即，又因为切线为，所以，解得，所以，故答案为：.例21．（2023·高二校考课时练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是.【答案】【解析】令，可得，令，即，解得，则，即曲线在点处的切线方程为，要使得不等式对任意恒成立，则满足，即，解得，所以实数的最大值是.故答案为：.变式16．（2023·山西晋中·高二统考期末）函数的图象与轴相切，则.【答案】【解析】由，可得，又函数的图象与轴相切，设切点为，则，解得故答案为：变式17．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）若直线与曲线相切，则实数．【答案】【解析】设切点为，由，得，则，因为点为直线与曲线的公共点，则，所以，，即，可得，故.故答案为：.变式18．（2023·广东佛山·高二南海中学校考期中）若直线与曲线相切，则.【答案】2【解析】设切点为，，则，解得.令，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以方程的根为.故答案为：2变式19．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为．【答案】【解析】函数，所以因为函数的图象在处的切线斜率为，所以，因为，为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．变式20．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知函数的图象与直线相切，则.【答案】/【解析】由得，设切点坐标为，则，解得．故答案为：．变式21．（2023·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知曲线与曲线在处的切线互相垂直，则．【答案】【解析】对于，；对于，；由于两条曲线在处的切线互相垂直，所以，，解得（负根舍去）.故答案为：【方法技巧与总结】（1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．题型八：切线平行、垂直问题例22．（2023·江西·高二校联考期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，故，由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，故选：C例23．（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函数的导函数为，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有，可得.故选：B例24．（2023·广东揭阳·高二揭阳第一中学校考期中）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为.由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为.因为两切线平行，所以.故选：D.变式22．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，则的图象在，两点处的切线的位置关系为（

）．A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【解析】由题意知，当≤0时，，则，所以，当时，，则，所以，所以，所以两直线相交且垂直故选：B变式23．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【解析】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D.变式24．（2023·黑龙江·高二校联考期中）曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（

）A．1 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】令，则，依题意，即，解得；故选：B变式25．（2023·河南·高二统考期中）已知方程的两实根为，，若函数在与处的切线相互垂直，满足条件的的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，，依题知，即.∵，，∴，∴.解得，，即，，经检验每个值都符合题意，故满足条件的有4个.故选D【方法技巧与总结】切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为．题型九：最值问题例25．（2023·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是【答案】【解析】，设在点处的切线与平行，即斜率为2，所以，解得，则在点处的切线方程为，即则与的距离即为的最小值，即，故的最小值为.故答案为：例26．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是．【答案】【解析】由题意可得，令得所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，所以的图象如下图：要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，与的距离即为A，B两点之间最小的距离，令，解得．由，所以直线的方程为，即则与的距离的距离，则A，B两点之间的最短距离是．故答案为：．例27．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）已知点P在曲线上，点Q在直线(其中e为自然对数的底数)上，则PQ长度的最小值为．【答案】【解析】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点Q为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，即，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.故答案为：.变式26．（2023·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为【答案】【解析】的定义域为，求导得，令，解得，则，故切点坐标为，故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为.故答案为：变式27．（2023·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若，则的最小值为.【答案】【解析】，，则表示曲线上的点与直线上的点的距离的平方，令得，所以曲线在的切线方程为，所以曲线上的点与直线上的点的距离的最小值即为直线与之间的距离，即,.故答案为：变式28．（2023·江西赣州·高二统考期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【解析】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，由，得，所以切点为，则点到直线的距离就是的最小值，即.故答案为：.【方法技巧与总结】转化为切点到直线距离题型十：公切线问题例28．（2023·江苏南通·高二校考期中）曲线与在公共点处有相同的切线，则.【答案】【解析】设、，则、，设与的公共点为，与在公共点处有相同的切线，，即，则，则，所以，，所以．故答案为：．例29．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则．【答案】5【解析】由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故答案为：5．例30．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为.【答案】或【解析】由得，设切点为，所以切线的斜率为，则直线l的方程为：，即；由得，设切点为，所以切线的斜率为，则直线l的方程为：．所以，且，消去得，故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或.变式29．（2023·山东德州·高二统考期末）若函数与的图象有一条与直线平行的公共切线，则.【答案】【解析】因为，，则，，设公切线与相切于，与相切于，则，，解得，，所以，，所以切线方程为，即，又在切线上，所以，所以.故答案为：变式30．（2023·湖南湘潭·高二校联考期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为.【答案】【解析】设切点，则由，得，由，得，则解得.故答案为：e.变式31．（2023·四川成都·高二期末）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为.【答案】2【解析】因为，所以，则在点处的切线方程为：，即；在点处的切线方程为：，即，由已知，则，解得，又，所以，所以，故答案为：.变式32．（2023·广东汕头·高二统考期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.【答案】2【解析】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.故答案为：变式33．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为．【答案】或【解析】设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或．代入得或.故答案为：或.一、单选题1．（2023·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以，，所以，.故选：C.2．（2023·新疆伊犁·高二统考期中）已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【解析】，因此有，故选：A3．（2023·新疆伊犁·高二统考期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题意得，故选：B4．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设且，则.故选：A5．（2023·河北·高三校联考阶段练习）设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，令，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即.故选：D6．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，则，又，直线过，则直线方程为，即，令，得，即直线不受参数的影响，恒过定点.故选：A.7．（2023·安徽·高二校考期中）抛物线与的两条公切线（同时与两条曲线相切的直线叫做两曲线的公切线）的交点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设直线与抛物线相切的切点为，与抛物线相切的切点为，由求导得：，由求导得：，则抛物线在点处切线为，即，抛物线在点处切线为，即，依题意，，解得，因此两条公切线方程分别为，，由，解得，所以两条公切线的交点坐标为.故选：C8．（2023·福建·高二校联考期中）曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由，得，曲线在某点处的切线的倾斜角为锐角，，即，解得：．又切点坐标为整数，，0，1．该曲线上这样的切点的个数为3个．故选：C．二、多选题9．（2023·甘肃酒泉·高二统考期末）若函数在R上可导，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，，，即，故A正确；，，，故B正确；，，故C错误，D正确.故选：ABD10．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期末）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A选项：，A正确；B选项：，B错误；C选项：，C错误；D选项：，D正确.故选：AD.11．（2023·广西南宁·高二南宁二中校考期末）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．【答案】ACD【解析】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，令，可得，故切点为，以为切点平行于的切线为，此时有，则的可能取值为，1，.故选：ACD12．（2023·江苏苏州·高二统考期末）已知函数及其导数的定义域均为R，则下列结论正确的有（

）A．若为奇函数，则为偶函数B．若为奇函数，则为奇函数C．若为奇函数，则为偶函数D．若为偶函数，则为偶函数【答案】BC【解析】对于A项，由已知可得，设，则，所以为奇函数，故A项错误；对于B项，因为，为奇函数，所以有，即，整理可得，所以为奇函数，故B项正确；对于C项，由已知可得，根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，所以，所以为偶函数，故C项正确；对于D项，由已知可得，根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，所以，所以为奇函数，故D项错误.故选：BC.三、填空题13．（2023·河南驻马店·高二统考期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离.【答案】/【解析】，令，解得（舍去），又，可得与直线平行且与曲线相切的直线的切点为，所以点到直线的最短距离为.故答案为：.14．（2023·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程.【答案】【解析】