东北大学电路原理第三章(2)

3.1正弦交流电

3.2正弦交流电的相量形式

3.3R、L、C伏安关系的相量形式

3.4基尔霍夫定律的相量形式

3.5复阻抗、复导纳及其等效变换

3.6正弦交流电路的功率

3.7正弦稳态电路的计算第三章

正弦稳态电路分析学习目标与要求：

(1)了解正弦量的三要素及相位差特点；

(2)掌握正弦量的相量表示方法，元件伏安方程和基尔霍夫定律的的相量形式；

(3)熟练掌握复阻抗、复导纳的计算；

(4)熟练掌握用相量法和相量图分析正弦稳态电路；

(5)掌握正弦交流电路中的功率分析。第三章正弦稳态电路分析上页下页目录返回交流（AC）系统和直流（DC）系统谁先诞生？爱迪生发明了白炽灯和直流发电机，该发明成为1881年巴黎博览会的奇迹之一。1882年爱迪生在欧洲和美国建设了若干直流中心发电站。但致力于推广直流电供电网络的爱迪生也碰上了难题——由于电压等级低，长距离输电受到限制。1882年，当时在爱迪生手下工作的年轻科学家特斯拉，成功造出小型交流发动机，颠覆了交流电无法供能的结论。在经济性和适用性方面更占优势的交流电，使爱迪生建立直流输电网络的雄心随之破灭。1895年，世界上第一座水力发电站——美国尼亚加拉发电站采用了交流电系统，宣告了交流电对直流电的胜利。

交流电的优点主要表现在发电和配电方面：1、交流发电机可以很经济方便地把机械能（水流能、风能……）、化学能（石油、天然气……）等其他形式的能转化为电能；2、交流电源和交流变电站与同功率的直流电源和直流换流站相比，造价大为低廉；3、交流电可以通过变压器升压和降压，这给配送电能带来极大的方便．交流电的优点交流电常用的电压：110v，220v，380v，3kv，6kv，10kv，20kv，50kv，35kv，66kv，110kv，220kv，330kv，500kv，750kv等

交流电电压等级划分：

高压（HV）：35～220kV，超高压（EHV）：330kV～

1000kV，特高压（UHV）：1000kV及以上的电压正弦量：

随时间按正弦规律做周期变化的量。

3.1

正弦交流电

上页下页目录返回3.1.1

正弦量的三要素设正弦交流电流：iO

2Im

T初相角：决定正弦量起始位置角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小上页下页目录返回周期T：正弦量变化一周所需的时间（s）频率f：（Hz）角频率：（rad/s）*电网频率：我国50Hz

，美国、日本60Hz上页下页目录返回3.1.1.1

周期与频率3.1.1.2

初相角与相位差iO

相位：反映正弦量随时间变化的进程。初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

上页下页目录返回

相位差：同频率正弦量之间的相位之差。如：若电压超前电流

uiui

ωtO上页下页目录返回

电流超前电压

uiωtui

O电流超前电压uiωtui90°O电压与电流同相uiωtuiO

电压与电流反相ωtuiuiO上页下页目录返回3.1.1.3

幅值与有效值有效值：如果一个周期电流i

通过电阻R,在一个周期T内消耗的热能等于直流电流I在同样时间内通过该电阻R消耗的能量,则I定义为i的有效值。交流直流则有有效值必须大写

上页下页目录返回同理：上页下页目录返回

3.2

正弦量的相量表示法复数运算正弦量的相量表示上页下页目录返回3.2正弦量的相量表示法正弦量的表示方法波形图uO瞬时值表达式相量重点重点介绍相量表示法。上页下页目录返回

3.2.1

复数

复数表示形式设A为复数:(1)代数式A=a+jbo+1+jAab式中:复数的模复数的辐角r上页下页目录返回由欧拉公式:可得:

(3)指数式

(4)极坐标式上页下页目录返回(2)三角式

复数运算(1)加减运算——用代数或三角形式若A1=a1+jb1，A2=a2+jb2则A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)加减法可用图解法。A1A2+1+jOA1+A2A1-A2-A2上页下页目录返回(2)乘除运算——极坐标或指数形式若

A1=|A1|

1，若A2=|A2|

2乘法：模相乘，角相加。上页下页目录返回除法：模相除，角相减。例解:例

解：上式上页下页目录返回(3)旋转因子：复数ejq

=cosq+jsinq=1∠qA•ejq

相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把ejq

称为旋转因子。A+1+j0A•ejq

上页下页目录返回故+j,–j,-1

都可以看成旋转因子。几种不同值时的旋转因子+1+j0上页下页目录返回上页下页目录返回3.2.2正弦量的相量表示设正弦量:OxyO若:有向线段长度

=有向线段与横轴夹角=初相位ω有向线段以速度按逆时针方向旋转u0ω上页下页目录返回上页下页目录返回

旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。正弦量的相量设

因为所以取虚部幅值相量又有效值相量相量:表示正弦量的复数称为相量。设正弦量:电压有效值相量:相量的模=正弦量的有效值

相量辐角=正弦量的初相角上页下页目录返回相量的模=正弦量的最大值

相量辐角=正弦量的初相角电压幅值相量：则①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。注意:？=②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。上页下页目录返回③相量的两种表示形式相量式:

相量图:

把相量表示在复平面的图形+1+j超前落后？

落后于上页下页目录返回求：例：解：正弦量以相量表示，有例

图示电路，已知：解：求+u1(t)-u3(t)

-u2(t)+正弦量以相量表示，有

3.3

元件伏安方程的相量形式上页下页目录返回电阻元件伏安关系相量形式电感元件伏安关系相量形式电容元件伏安关系相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系

u=

i(u,i同相)R+-UR

u相量关系：3.3.1电阻元件伏安关系相量形式上页下页目录返回

u=

i时域形式：i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型j

L+-相量关系：有效值关系UL=wLI相位关系：

u=

i+3.3.2.电感元件伏安关系相量形式

i

3.3.3电容元件伏安关系相量形式时域形式：相量形式：相量关系：iC(t)u(t)C+-有效值关系：IC=wCU相位关系：

i=

u+

(i超前

u90°)+-

u上页下页目录返回

KCL的相量形式

KVL的相量形式3.4

基尔霍夫定律的相量形式上页下页目录返回

基尔霍夫电流定律的相量形式对于电路中任一结点，根据KCL有：i1i2i3i4I1I2I3I4节点的KCL相量表达式为

连接在电路任一节点的各支路电流的相量的代数和为零上页下页目录返回

基尔霍夫电压定律的相量形式对于电路中任一回路，根据KVL有：任一回路的各支路电压的相量的代数和为零回路KVL相量表达式为：

上页下页目录返回例LCR+

uL

-uCa+-iS+

uR

-bcd••••R+

-a+-+

-bcd••••上页下页目录返回R+

-a+-+

-bcd••••上页下页目录返回

例

图示电路，电流表A1的读数为5A，A2的读数

20A，A3的读数为25A，求电流表A和A4的读数。+-AA1A3A2A4上页下页目录返回

R、L、C的复阻抗

R、L、C的复导纳3.5

复阻抗、复导纳及其等效变换上页下页目录返回正弦激励下Z+-线性无源+-|Z|RXj阻抗三角形单位：

阻抗模阻抗角3.5.1复阻抗与复导纳上页下页目录返回复导纳Y|Y|GB

导纳三角形对同一二端网络:单位：S上页下页目录返回线性无源+-Y+-导纳模导纳角（1）电阻阻抗与导纳：（2）电感阻抗与导纳：（3）电容阻抗与导纳：3.5.2R、L、C

元件的阻抗和导纳上页下页目录返回3.5.3

阻抗和导纳的串联和并联上页下页目录返回Z1+Z2Zn－Z+-1.阻抗的串联2.导纳的并联Y1+Y2Yn－Y+-上页下页目录返回上页下页目录返回分流公式：RLC串联电路的阻抗ZLCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-上页下页目录返回电路为感性，电压超前电流；电路为容性，电压落后电流；电路为电阻性，电压与电流同相。上页下页目录返回j

LR+-+-+-+-RLC并联电路的导纳Y由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-上页下页目录返回电路为容性，i超前

u；电路为感性，i落后

u；电路为电阻性，i与

u同相。上页下页目录返回j

LR+-例求图示电路的等效阻抗，＝105rad/s

。解感抗和容抗为：1mH30

100

0.1FR1R2上页下页目录返回例图示电路对外呈现感性还是容性？

。等效阻抗为：3

3

－j6

j4

5

电路对外呈容性。上页下页目录返回例

已知Z1=10+j6.28

,Z2=20-j31.9

,Z3=15+j15.7

。Z1Z2Z3ab求

Zab。上页下页目录返回3.5.4复阻抗和复导纳的等效互换ººZRjXººGjBY一般情况下，

若Z为感性，

X>0，则B<0，即Y仍为感性上页下页目录返回同样，若由Y变为Z，则有：ººZRjXººGjBY上页下页目录返回例RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并联电路。解RL串联电路的阻抗为：0.06mH50

L’R’上页下页目录返回

解：例:图示无源二端网络，已知：求Z、Y及其等效元件参数。例已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC.解其相量模型为LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-上页下页目录返回则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。

-3.4°相量图上页下页目录返回R2R1+-+-上页下页目录返回R2R1+-+-上页下页目录返回3.6正弦交流电路中的功率有功、无功、视在功率

最大功率传输

功率因数提高上页下页目录返回3.6.1瞬时功率无源一端口网络吸收的功率(u,i

关联)无源+ui_上页下页目录返回

p有时为正,有时为负p>0,

电路吸收功率p<0，电路发出功率

t

iOupUIcos

上页下页目录返回无源+ui_正弦量的有效值cos

：功率因数。P的单位：W（瓦）对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。功率因数角3.6.2

平均功率(有功功率）上页下页目录返回一般地

,有0

cosj1

R、L、C

元件的平均功率电阻

R：

=0，电感

L：

=/2，电容C：

=-/2，电阻吸收有功功率，而电感和电容不吸收有功功率。上页下页目录返回平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率，表示电路（负载）实际消耗的功率。它不仅与电压电流有效值有关，而且与功率因数cosφ

有关，这是交流和直流电路的区别,主要由于交流电路中电压和电流存在相位差。上页下页目录返回

3.6.3

无功功率瞬时功率可改写为：

上式第一项符号不变，反映网络N与外电路之间的单向能量传送速率，其平均值即有功功率。上式第二项是正负半周对称的时间函数，它反映网络N与外电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量，其最大值UIsin

定义为网络的无功功率。上页下页目录返回定义网络N的无功功率Q为：Q的单位：无功伏安，简称为：乏(var)

R、L、C

元件的无功功率电阻R：

=0电感

L：

=/2电容

C：

=-/2电阻不吸收无功功率，电感吸收正值的无功功率，电容吸收负值的无功功率。上页下页目录返回设备的容量一般用视在功率表示。S的单位：伏安(VA)视在功率、平均功率和无功率之间的关系3.6.4视在功率上页下页目录返回jSPQ视在功率，平均功率和无功功率之间的关系功率三角形上页下页目录返回负载+_3.6.5复功率其中为的共轭相量上页下页目录返回复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即上页下页目录返回复功率守恒，平均功率守恒，无功功率守恒。一般情况下：+_+_+_上页下页目录返回已知电路如图，求各支路的复功率。例+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W方法1：

上页下页目录返回+_10∠0oA10Wj25W5W-j15W方法2：上页下页目录返回3.6.6功率因数的提高在生产和生活中使用的电气设备大多属于感性负载，它们的功率因数都较低。而供电系统的功率因数是由用户负载的大小和性质决定的，在一般情况下，供电系统的功率因数总是小于1。上页下页目录返回设备容量S(额定)，向负载供给多少有功功率，要由负载的阻抗角决定。P=ScosjS100kVA负载cosj

=1,P=S=100kWcosj

=0.5,P=0.5S=50kW一般用户：电机空载cosj

=0.2~0.3

满载cosj

=0.7~0.85日光灯cosj

=0.45~0.6上页下页目录返回

(1)负载设备不能充分利用电网提供的功率，造成能量浪费(2)当输出相同的有功功率时，线路压降损耗和功率损耗大功率因数低带来的问题解决办法：对于感性负载，并联电容以提高功率因数。上页下页目录返回上页下页目录返回补偿容量的确定：j1j2LRC+_上页下页目录返回呈电容性。呈电感性问题与讨论功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:功率因素补偿问题呈电阻性结论：在角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。感性（较小）容性（较大）C

较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？

因为负载变化大，一般情况下很难做到完全补偿，即：过补偿欠补偿

2

2无功补偿装置电力电容器说明：并入电容后现象与结果

结果：1）P不变条件下：对输电线要求降低（电压损失低），输电效率提高；

2）电源容量要求降低，电路带负载能力增大；3）提高的是电网的功率因数。现象:总电流I减小;功率因数角减小;功率因数cos

增大;有功功率P不变;视在功率S减小。注意：1）一般不要求提高到1；2）并联电容要适当，才可提高。已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。例P=20kWcosj1=0.6+_CLRC+_解：j1j2上页下页目录返回讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。ZLZeq+-Zeq=Req+jXeq，

ZL=RL+jXL

ZL=RL+jXL可任意改变

3.6.7最大功率传输上页下页目录返回(a)先讨论XL改变时，P的极值显然，当Xeq+XL=0，即XL=-Xeq时，P获得极值(b)再讨论RL改变时，P的最大值当RL=Req时，P获得最大值综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：ZL=Zeq*，即RL=ReqXL=-Xeq共扼匹配最佳匹配上页下页目录返回求一端口的戴维南等效电路：例

图示电路求负载最佳匹配时获得的最大功率。+_2

2

2

j4

Z+_ZeqZ+_上页下页目录返回相量法计算相量图计算3.7

正弦稳态电路的计算上页下页目录返回电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。3.7

正弦稳态电路的计算上页下页目录返回一般正弦交流电路的解题步骤1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图3、用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式上页下页目录返回3.7.1

电路分析方法的应用

例图示电路中，已知试用支路电流法求电流

I3。+-+-上页下页目录返回解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程代入已知数据，可得：+-+-解之，得：上页下页目录返回列写电路的回路电流方程和节点电压方程例解：+_LR1R2R3R4C+_R1R2R3R4回路法:上页下页目录返回+_R1R2R3R4节点法:上页下页目录返回3.7.2电路定理的应用例图示电路中，已知试用叠加原理求电流I3。+-+-上页下页目录返回解:(1)当单独作用时同理（2）当单独作用时+-+-+-++-=上页下页目录返回例求图示电路的戴维南等效电路。+–+–+–1、求开路电压上页下页目录返回例

求图示电路的戴维南等效电路。+–+–2、求等效阻抗+–+–上页下页目录返回例图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及-jXC－R－＋＋R-jXC解设：Z1=R－jXC,Z2=R//-jXC3.7.3用相量图求解

用相量图求解正弦交流电路，一般用于简单电路。首先要明确各元件的电压与电流的相量关系；其次是能正确画出相量图。原则：1.选定一个参考相量（设初相位为零）串联电路选电流，并联电路选电压，混联电路按最后负载的联结方式来选择参考相量，即最后一节负载串联，则以电流为参考相量，并联则以电压为参考相量。2.以负载开始向电源端画相量图3.运用几何、三角等方面的知识，求出结果上页下页目录返回jw

L1/jwCR+-+-如选

为参考相量上页下页目录返回

已知：U=115V,U1=55.4V,

U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。方法2

画相量图分析。例解R1R2L2+_+_+_q2q上页下页目录返回

已知：U=115V,U1=55.4V,

U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。方法2

画相量图分析。例解R1R2L2+_+_+_q2q上页下页目录返回或：方法1R1R2L2+_+_+_上页下页目录返回

已知：U=115V,U1=55.4V,

U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。设利用相量求解方法1R1R2L2+_+_+_上页下页目录返回

已知：U=115V,U1=55.4V,

U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。利用有效值求解由相量图可求得：解RXLXC+–S例已知开关闭合后

u，i

同相。开关闭合前求:(1)开关闭合前后I2的值不变。上页下页目录返回RXLXC+–S解

(2)用相量计算∵开关闭合后u，i

同相，由实部相等可得由虚部相等可得设:上页下页目录返回解求各表读数例

图示电路中已知:试求:各表读数及参数

R、L和

C。(1)复数计算+-

A

A1

A2

V上页下页目录返回

(2)

相量图根据相量图可得：求参数

R、L、C方法1：