第四章 指数函数、对数函数与幂函数（知识梳理热考题型）（原卷版）

第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习【知识梳理】一、n次方根与根式(1)a的n次方根的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根.(2)根式的概念当eq\r(n,a)有意义的时候，eq\r(n,a)称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.(3)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n>1且n∈N*).②当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|.二、分数指数幂与有理数指数幂的运算法则(1)分数指数幂①规定正分数指数幂的意义是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝(eq\r(n,a))m＝eq\r(n,am)(eq\r(n,a)有意义).②规定负分数指数幂的意义是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,（\r(n,a)）m)＝eq\f(1,\r(n,am))(eq\r(n,a)有意义且a≠0).(2)有理数指数幂的运算法则asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中s，t∈Q.三、实数指数幂(1)实数指数幂的运算法则①asat＝as＋t；②(as)t＝ast；③(ab)s＝asbs.其中s，t∈R.(2)拓展：eq\f(as,at)＝as－t，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(s)＝eq\f(as,bs)，其中a>0，b>0，s，t∈R.四、指数函数的概念一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.五、指数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域定义域为R值域值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0过定点过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图像关于y轴对称六、指数型函数的定义域和值域指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为R,值域为(0，＋∞).七、指数型复合函数y＝af(x)的性质函数y＝af(x)与函数f(x)在相应区间上单调性的关系：由复合函数单调性的一般规律：“同增异减”.当a＞1时，y＝af(x)的单调性与函数f(x)在相应区间上的单调性相同，当a＜1时，y＝af(x)的单调性与函数f(x)在相应区间上的单调性相反.八、对数的概念在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.九、对数的基本性质及对数恒等式(1)对数的有关结论①零和负数没有对数；②1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；③底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；④对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；⑤对数恒等式：logaab＝b(a>0且a≠1).(2)常用对数与自然对数①以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数，为了简便起见，把log10N简写为lgN.②以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为lnN.十、对数运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMα＝αlogaM；(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.十一、换底公式对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1).十二、对数函数的概念一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.十三、对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边值域值域为R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性增函数减函数对称性y＝logax与y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x的图像关于x轴对称十四、对数函数的图像变换常见的函数图像的变换技巧①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边的图像),\s\do5(并作关于y轴对称的图像))y＝f(|x|).②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方的图像),\s\do5(将x轴下方的图像翻折上去))y＝|f(x)|.③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x).④y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)十五、对数型函数y＝logaf(x)的性质对数型函数y＝logaf(x)性质的研究(1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中先确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定).(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.十六、指数函数与对数函数的关系(1)反函数的概念①定义：一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.②记法：一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).(2)互为反函数的图像与性质①图像间的关系y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称.②互为反函数的有关性质(ⅰ)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同.(ⅱ)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在.此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数.十七、幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数.十八、幂函数的图像与性质(1)幂函数的图像在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1的图像如图.(2)五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数公共点(1，1)(3)幂函数y＝xα随着α的不同，定义域，值域，奇偶性，单调性也不尽相同，要根据α的值判断.十九、增长速度的比较函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).它的实质是函数值的改变量与自变量的改变量之比，也可理解为：自变量每增加1个单位，函数值将增加eq\f(Δf,Δx)快慢.【热考题型】【考点1】指数与指数函数一、单选题1．（2023上·北京大兴·高一校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中学校考期中）函数的图象是（

）A． B．C． D．3．（2023·湖北·高二统考学业考试）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2023上·山东·高一校联考期中）函数的图象必经过点（

）A． B． C． D．5．（2023上·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．6．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（

）A．2 B．4 C． D．二、多选题7．（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）已知，，，则（

）A．的最小值为9 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为8．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考期中）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（

）A．， B．，C．， D．，三、填空题9．（2023上·上海·高一上海市第二中学校考期中）化简：.10．（2023上·重庆·高一重庆一中校考期中）已知定义域为R的函数满足，当时，.若，使成立，则的最小值为．11．（2023·上海金山·统考一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是.四、解答题12．（2023上·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）（1）计算:．（2）若，求下列式子的值：①②13．（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）对于函数．(1)判断函数的单调性，并用定义证明；(2)是否存在实数使函数为奇函数？证明你的结论．14．（2023上·重庆荣昌·高一重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)试判断的单调性，并用定义证明；(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【考点2】对数与对数函数一、单选题1．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．2 B．2 C． D．2．（2023上·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾县第一中学校考阶段练习）已知是偶函数，当时，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．6【答案】C【分析】由题设求的解析式，再利用偶函数的性质求即可.【详解】由题设，可得且，又是偶函数，∴.故选：C.4．（2023上·重庆·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且5．（2023·广东韶关·统考一模）函数在上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023上·江西南昌·高一统考期末）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）下列运算中正确的是（

）A．当时， B．C．若，则 D．8．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．为奇函数C．在定义域上是减函数D．的值域为9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考期中）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数的取值范围是C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为10．（2023下·山西·高一校联考阶段练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．（2022·上海闵行·统考二模）不等式的解集为；12．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，则．13．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）若函数，则.四、解答题14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）（1）求值；（2）已知为正实数，，求的值.15．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数且.(1)若的值域为，求的取值范围.(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.16．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）设函数且．(1)解关于的不等式；(2)若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由．【考点3】指数函数与对数函数的关系一、单选题1．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．2 B．2 C． D．2．（2023上·高一课时练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾县第一中学校考阶段练习）已知是偶函数，当时，，则（

）A．0 B．1 C．2 D．64．（2023上·重庆·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且5．（2023·广东韶关·统考一模）函数在上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023上·江西南昌·高一统考期末）设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如:，．已知函数，若，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2023上·江苏徐州·高一徐州高级中学校考期中）下列运算中正确的是（

）A．当时， B．C．若，则 D．8．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．为奇函数C．在定义域上是减函数D．的值域为9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考期中）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是B．若函数的值域为，则实数的取值范围是C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是D．若，则不等式的解集为10．（2023下·山西·高一校联考阶段练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题11．（2022·上海闵行·统考二模）不等式的解集为；12．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，则．13．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考期中）若函数，则.四、解答题14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）（1）求值；（2）已知为正实数，，求的值.15．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数且.(1)若的值域为，求的取值范围.(2)试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.16．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）设函数且．(1)解关于的不等式；(2)若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由．【考点4】幂函数一、单选题1．（2023下·湖北·高一校联考阶段练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·重庆·高一重庆市实验中学校联考期中）已知幂函数，且，则实数（

）A． B． C． D．3．（2023上·重庆·高一重庆八中校考阶段练习）若，幂函数在上单调递减，则实数的值为（

）A． B．3 C．或3 D．4．（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）幂函数图象过点，则的定义域为（

）A． B． C． D．5．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或二、多选题7．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．所有幂函数的图象均过点B．若幂函数的图象经过点，则解析式为C．幂函数一定具有奇偶性D．任何幂函数的图象都不经过第四象限8．（2023下·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）下列关于函数，下列说法正确的是（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C．的值域为 D．的值域为三、填空题9．（2023上·广东茂名·高一统考期中）实数x，y满足，则.10．（2023上·四川成都·高一校考期中）有四个幂函数：①，②；③；④．某同学研究了这几个函数，并给出函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则满足条件的函数是（填序号）．11．（2021上·山东济南·高一山东省实验中学校考期中）若函数在上有最小值5，则在上的最大值是．四、解答题12．（2023上·河北石家庄·高一石家庄一中校考期中）已知幂函数，且在上是增函数．(1)求的解析式；(2)若，求实数a的取值范围；13．（2023上·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校联考期中）已知函数是幂函数，且函数的图象关于轴对称.(1)求实数的值；(2)若不等式成立，求实数的取值范围.14．（2023上·重庆·高一重庆南开中学校考阶段练习）己知幂函数在定义域上不单调.(1)求m的值．(2)若，求实数a的取值范围．【考点5】函数的应用与增长速度一、单选题1．（2023上·上海·高三校考期中）了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（

）A． B．C． D．2．（2023上·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 C．倍 3．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）若函数为偶函数，则（

）A．1 B．0 C． D．14．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在上的函数，下述结论正确的是（

）①若，则的图象关于直线对称；②若是奇函数，则的图象关于点对称；③若函数满足，则；④若关于的方程有解，