函数的概念教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

授课题目人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质3.1.1函数的概念授课类型新授课教学目标【知识与技能】掌握函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否可以看作函数．会对一个具体实例进行概括抽象成为函数问题.能指出具体函数的定义域、对应法则、值域.【过程与方法】提高学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力．【情感、态度与价值观】经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想．能主动进行观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.【学科素养】数学抽象：函数符号的含义；逻辑推理：函数的概念；数学运算：求函数的定义域；数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力;直观想象：由具体例子概括函数的概念.教学重难点【教学重点】理解函数概念，能根据实际例子用集合语言与对应关系抽象函数概念.【教学难点】函数概念形成中的抽象与概括，能从具体实例中抽象出函数概念.教材分析本节课是《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（2019人教A版）第三章第一节《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。本节是学生在学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点探究变量之间的关系，通过抽象、归纳出变量间关系的共同特征，概括出函数的概念，揭示函数核心是“变量间的一种依存关系”，体会抽象、推理、模型这三个数学基本思想，有利于学生基础知识和基本技能的初步掌握，体现“实践—理论—再实践”的认知规律，为全章的学习打下基础。学情分析对高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。学生在初中的学习中已经学习过“符号化”“分类”“类比”“归纳”“建模”等数学思想方法，也具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。但是，局限于初中阶段学生的认知水平，初中只是通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻，相比于初中，高中函数概念具有高度的抽象性，所以在教学中教师应该将重点放在概念的形成过程中，利用教材提供的案例来进行分析讲解，让学生在思考、交流中感受函数的数学模型。教学过程复习回顾在初中，函数的概念是怎样表述的？一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.师生活动：学生口述回答教师问题；教师通过投影展示，引导学生回顾函数初中的概念(“变量说")设计意图：数学概念往往具有系统性，复习初中函数的定义，强调初中函数的概念是从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系，即“变量说"，为形成高中函数定义做好铺垫，由具体到抽象，符合学生的认知能力.引例1正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数．这个函数与正比例函数引例2你能用已有的函数知识判断y=x与师生活动：学生口述回答教师问题，初步认识初中函数定义的局限性，尝试寻找解决方法通过问题导向，构造认知冲突，为新知作好铺垫设计意图：在原有知识基础上无法圆满地解决新问题，引起认知冲突，从而激发学生的学习兴趣.探索新知问题1 某高速列车以350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S（km）与运行时间t（h）的关系？S是t的函数吗？根据对应关系S＝350t，这趟列车加速到350km/h如何用更精确的语言表示问题１中S与t的对应关系？教师活动：教师引导学生利用原有概念的定义自主探究后回答.，由教师作适当点评和示范使用精确化语言描述函数.学生活动：自主思考并回答教师所提出的问题，感受旧概念的局限性.设计意图：通过问题思考引导学生感受思维和认知冲突，发现原有概念的不足之处,尝试用更为精确的语言来描述,为新概念的生成作铺垫.问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一个工人的工资w和他工作天数d有什么关系？一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？如何用更精确的语言表示问题2中w与d的对应关系？（符号语言到文字语言）问题１和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？影响函数的要素有哪些呢？教师活动：教师投影问题后指定学生口述回答关键点,突出函数的本质.学生活动：思考教师提出的问题,并口述回答,感悟领会函数的内涵.设计意图：通过让学生尝试对函数作精确语言的描述，再次训练他们抽象概括能力.通过思考4让学生聚焦关注函数的定义域、值域问题.问题3 下图是北京市某日的空气质量指数I随时间t的变化图.思考：你能根据图找到中午12：00的AQI的值吗？这个值是否唯一存在？I是t的函数吗？该函数有解析式吗？如何用更精确的语言表示问题3中I与t的对应关系？显然函数值的集合C⊆B教师活动：教师预留给学生一点时间自主探究思考，再小组合作交流.接着教师再指定小组或同学回答问题。学生活动：以小组为单位讨论教师所提出的问题，并在全班展示,完善认知.设计意图：引导学生认知函数的对应关系也可以用图象来描述.本问题的难点是值域无法完全确定,这时通过引入一个较大范围的集合,使得函数值均在其中,这时再引导学生思考是否符合函数定义,这样函数的精确定义也就呼之欲出,即函数是两个非空数集的一种对应关系.问题4 国际上常用恩格尔系数r（r＝食物支出金额总支出金额）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，按表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？有解析式吗？（对应关系是什么呢？）如何用更精确的语言表示问题4中y与r的对应关系？B4教师活动：教师可先让学生自主思考,再随堂询问了解学生对概念的理解程度，学生活动：学生自主练习用集合与对应的语言刻画对应关系，并根据教师的指导规范表达.设计意图：引导学生认知函数的对应关系也可以用图表来描述.与问题3类似的，本问题的难点也是值域无法完全确定.对于教材中函数值所在的集合B的合理性,可从恩格尔系数的定义角度来解释.归纳发现上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？【答】共同特征有：（１）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（２）都有一个对应关系；（３）尽管对应关系的表示方法不同，但对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．对应关系能否统一用一个式子表示呢？事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.师生活动：给学生充分思考的时间，借助表格引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程.通过上述归纳概括,教师指出函数类型多样,函数的表示方法也丰富多样,有解析式法、图象法和表格法等.数学追求一般化的、简单的表达形式，因此有必要引进一个抽象符号f来表达一般的函数.设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程给出概念函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.追问：定义域就是集合A，为什么值域不是集合B呢？若函数的值域为C，则集合C与集合B有什么关系？（值域C是集合B的子集。）函数三要素：定义域，对应关系，值域.学生活动：通过上述对函数概念循序渐进地认知，学生自行感悟用集合与对应的语言刻画函数，并积极在全班发言分享.教师活动：引导学生概括出函数的一般性概念，就地取材指出函数三要素.同时，通过上表中的实例让学生感悟值域是集合B的子集.设计意图：通过这个核心片段突出教学重点，突破教学难点.概念辨析（可舍）𝑓与𝑥是相乘吗？如何理解函数抽象符号呢？函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．函数名称由中国清代数学家李善兰翻译引入，取“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”之意；即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，“函”是包含的意思，“函数”是指公式里含有变量的意思。y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，f(x)不是f与x相乘。“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如：“y=g(x)”，“y=h(x)”；师生活动：教师适当介绍抽象符号y=f(x)的由来，利用生动形象的说法让学生比较自然地接受这种表达.设计意图：引导学生认识一般符号f(x)的意义，它表示一种对应规律，是一个数学运算符号，数x在y=f(x)的作用下得到一个数y,可以认为y=f(x)就是一个数的“生成器".学以致用用本节课所学函数的定义重新描述一次