2023年江西省赣州市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2023年江西省赣州市统招专升本数学自考

真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.

—1

lim(l+x)x+limxsin-=()

XTO*

A.eB.e-1C.e+1D.e''+l

下列关于极值的命题中，正确的是()

A.若，(/)=0,则%一定是/(%)的极值点

2B.极大值一定大于极小值

C.若/是/(幻的极值点，则X。一定是/(x)的驻点

D.若在与处取得极值且/'(%)存在，则/(玉))=0

3.

ln(2-x)

歹=口7^的定义域是()

7x

A.(-oo,2)B.(0,+oo)C.(0,2]D.(0,2)

4.

已知极限四就7=2.则a的值是(

A.1B.-1C.2D.-j-

5.

函数》=，4+/+arctan十的定义域是

A.1―4・+8)B.(—4*+8)

C.[—4・0)U(0*4-oo)D.(-4.0)|JM+8)

6.

lim吗[1)=

Z户一1

A.1B.2

7.

微分方程半=»的通解为

cLr

A.y=e‘B.v=ex+C

8.

()

JVCT(1+x)

A.-yarctan\fr—CB.-^-arccotx+C

C.2arccot-/x+CD.2arclan4x+C

9.

空间直线4：S1=B=三与，2：匕2=T=三*的位置关系是（）

132-122-14

A.异面直线B.相交但不垂直C.平行D.垂直相交

10.

当if0时.下列无穷小量与ln（l+2z）等价的是（）

A.xB.C.x2D.sin2,r

11.

过点(-1,2,3)且平行于的直线是

4

=3-2=z-3B中y+2之+3

一'^2~4-22

_y-2_—-3n1—1=»+2=■+3

4=—2=24—-2—2

12.

设/(/是连续函数，满足/(X)=\+萼「/(公心・，则lim/Q：)=

1HzJ：-ih-»g

A.0B.-f-.C.fD.f

0v00

13.

筹级数£(-D一且〒r的收敛区间是

A.(0,2]B.1),2)C.(0,2)D.[0,2]

14.

微分方程x亚=y+/的通解是；/=()

dx

xCx，

A.—F—B.-----1-CxC.-----卜CD.~—

4x234

15.

设/(x>的定义域为R.则g(x)=/(a)-/(-J-)

A.是偶函数B.是奇函数

C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数

16.

.设函数/(J)=「(W+»)山，则f(.r)=

Jo

A.一<?-”+-yX3B.—+21

C.「+T2D.—+2.r

微分方程孙2=工的通解为()

2

A.ln(l+x2)-^-=Cr

B.ln(l+丹—=c

2

x2

C.arctany------=CD.arctanx-Jc

17.22

18.

*oc

若级数ga.收敛于S,则£(a+a小一a—2)收敛于()

A.S+a]B.S+a?

C.S+a2D,Sa】+牝

19.

.已知d[e-J/(.r)]=e，d.r・/(0)=0*则fix')=()

A.e"+exB.e2r-e，C.e"+e-D.e。-

20.

下列函数中.在口.eI上满足拉格朗日中值定理条件的是()

A.lnln.rB.In/c.—ln.rD.|x-2|

21.

,由方程-ry=In.rv确定的隐函数彳=X(v)的导数孚为()

dv

A.—三BTC.xyD.

yxxy

22.

定积分=()

A.1-e'B.1-eC.2-e1D.2-e

23.

已知/(x)的一个原函数为等.则J=(

A.2"更4-CB."至+cC.2c°sG+cD.2c°s府+c

五五G工

24.

函数.y=Iog42+log477的反函数是()

2=2—B.y=221

C.y—421D.y=4i-1

25.

设/(丁)是连续函数.则八/)也是()

A./(T)的一个原函数B./(.r)的全体原函数

C.2.r•/(.r)的一个原函数D.2I•/(.?)的全体原函数

26.

.曲线y=i+e，在点(0.1)处的切线方程为()

A.y+1=2(1—0)B.y—2<r+1

C.y=2x—3D.了-1=i

27.

设"(Gdi=ie*+C,则f(x)=

()

A.xeTB.1-xez

C.+JCD.(x+De'

28.

lim>1-

设函数f(x)=J则f(.r)在/=1处()

x—1,.r<1・

A.不连续B.连续但不可导

C.连续且/(I)=-1D.连续且/(I)=1

29.

已知级数•则卜列结论正确的是)

8

若lim"“=0.则£收敛

M-8.I

OO8

3.若X"”的部分和数列（SJ有界.则£”,，收敛

1»™1

88

二若夕Iu„I收敛.则绝对收敛

I«■»1

8OO

〉若^I""发散•则»〃也发散

30.

设f(x)="一，那么/{/[/(X)])=()

A.—B.—UrC.-^D.1

XX—11-x

二、填空题（20题）

31.

已知函数f（.r）在上=3处可导.若.-极A限=—4,则f（3）=

32.

«i仇小]

设矩阵A=«,f>2di.且|A|=3,|B|=1.则|A+B|=

«3b3d.

33.

设平面区域D：*+y2wR2,则二重积分y'didy=

34设函数Z(IILT)=2#+函则尸。⑻I)=

35已知y=a5+e2j,+3sinx«则y"。⑶=

QQ-w+1)sin2jdjr=_________

36.」t

交换二次积分I=的积分次序，则I=

JuJ0

38.

(X=IncosZ,

若由参数方程J所确定的函数［，=）3是微分方程率=y+e-，的解.则

[y=asect

常数。=

设？=（t—1）（/—3）山，则y（o）=

Ju

广义积分「=

J1+e

40.

41.

已知L是抛物线上点0（0.0）与B（l,l）之间的一段弧，则jjds

tanx-sinx

设函数/(%)=「s.x—'、>'在x=0处连续，则常数左=

e-x+k,x<Q

42.

ri

广义积分5是的（填“收敛”或“发散”）•

43.

已知函数F(r>是/<.»)的一个原函数.则不定积分/(2x)dr=

44.)

设/'(Imr)=J?.则f(x)cb=

45.J

设函数f(x)=.J,则/(I)=

46.、2+i

47微分方程/一仃'十5》=0的通解为

sin2jf）八

----,1V。，

设f（Jc}=.：：在Z=。处连续,则k=

/o―2z+K,工30

若基级数在4=-3处条件收敛，则该级数的收敛半径为.

49.”0

复数的实部为，

50.

三、计算题(15题)

计算定积分/=[x/sin2j?—sin4.rdj-.

51.

求极限lim-一三△三……三——

L。，1+tan3——1—4

52.

53.

计算二重积分J（2r+y）da.其中。是由》==1.3=0所围成的平面闭区域.

D

再+彳2=5,

解线性方程组•2万+%2+七+2L=1，

5%+3X2+2X3+2X4=3.

求定积分「等空

sin/df

求极限lim(e'-1)sirur।o______

1—cos.r.r4

56.

求微分方程J+”:的通解.

58.

计算sin//+、,2d.rd_y.其中D为圆环：兀？&.r2+??汁4K2.

求

59.

设？=/(In—⑺，其中/可微•求华.

QX

60.

61.

设函数,y=.y(x)由参数方程JC=cosr.j=sinz—rcosr确定，求用

(1/

判别£；"'号an〃的敛散怅

62.

计算不定积分［

,r*VIC)

63.

设z=fix—y,xy｝其中/■有二阶连续偏导数,求学，3《主.

64dxdy3xdy

65.

设曲线y=/Q)上任一点(z，»)处的切线斜率为三+/,且该曲线经过点(1，)，求

函数y=/(①).

四、证明题(10题)

证明：当0Vi<1时.a-2)ln(l-彳)>2z.

66.

67.

设函数八］)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(1)=1,证明，在(0,1)内至少存在

一点二使得f(&+§/'(»一2£=0成立.

、nub-atbb-a

当b>a>0,证明-----<ln—<------,

68.baa

69.

求抛物线y=1一.产及其在点(1.0)处的切线和y轴所围成图形的面积,并计算该图

形绕3,轴旋转一周所成旋转体的体积.

70.

设函数/（2在闭区间［0,1］上可导,且八0）・/（D<0.证明在开区间（0,1）内至少存在

一点£使得2/（$）+=0.

71.

已知/（X）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且y（o）=/（l）=o,试证，在（0,1）内至

少存在一点&,使得/'⑶cos€=/（g）sinf成立.

72.

证明方程In.r=-----11—cos2idi在区间（e,F）内仅有一个实根.

eJo

证明；当/>0时，有（1+/）ln（1十二）〉arctanj".

73.

74.

设/（.r）在［-a,a］上连续（a>0.为常数）.证明jf（.r）cLr=I［/（.r）+/（—x）］dz,

J-aJ0

并计算。f答di.

J-f1+ex

75.

设八工）在［0.1］上连续.在（0.1）内可导.且2,/G）dr=/（0）.证明：存在《e（0.1）.

使/'⑷=0.

五、应用题（10题）

76.

曲线》=£3（］?0）.直线.r+.y=2以及y轴围成一平面图形D.试求平面图形D绕

了轴旋转一周所得旋转体的体积.

77.

扩音器杆头为圆柱形.截面半径r=0.15cm,长度/=4cm,为了提高它的导电性能.

要在这上柱体的侧面上镀一层厚度为0.001cm的纯铜，问大约需要多少克纯铜?（已知铜的比

重为8.9g/cm3）

78.

求由直线］=3=e,_y=0及曲线,v=Y所围成平面图形的面积.

79.

用薄铁板做一体积为。的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能

使所用材料最省.

80.

平面图形由抛物线.y?=2a•与该曲线在点（9,1）处的法线围成.试求：

（1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕1轴旋转一周形成的旋转体体积.

81.

某工厂生产x件商品的总成本C（x）=1000+10x,当销售价格为10（百元/件）时,

销售量为600件，销售价格每提升1（•百元/件），则销售量将会减少60件,

问：当每件的销售价格定为多少时，利润最大？最大利润是多少？

82.

已知函数f（z）=J求由y==0,.r=l,y=0所围成图形绕/轴旋

yrn7

转一周的旋转体的体积.

83.

用G表示由曲线_y=ln.r及直线/十=1,1y=1围成的平面图形.

(1)求G的面积；

(2)求6绕》轴旋转一周而成的旋转体的体积.

84.

要建造一个无盖长方形水池，其底和壁的总面积为192m2,问水池的尺寸如何设计

时，水池的容积最大？

85.

求曲线y=In］在区间(2,6)内的一点，使该点的切线与直线x=2.1=6以及

y=In］所围成的平面图形面积最小.

六、综合题(2题)

设函数/(x)=x1+or*4-2x:+b(x£R),其中a"WR.

(1)当a=一当时，讨论函数JS的单调性；

(2)若函数f(工)仅在1=0处有极值，求a的取值范围.

86.

已知函数/Xz)=X3-31+1.试求：

(1)函数/(公的单调区间与极值；

(2)曲线y=/(X)的凹凸区间与拐点；

(3)函数/(.r)在闭区间［2,3］上的最大值与最小值.

87.

参考答案

D

.1

-»sin-

【评注】原式+东

+lim-^=6-*+1.

l.DX

2.D

D

【评注】关于极值点，我们有如下结论：极值点只是局部范围内的最大值点或最小值

点；极值点可能在驻点或者不可导点处取得：如果函数可导，则极值点一定为驻点；

驻点、不可导点都不一定是极值点，我们需要根据驻点（或者是不可导点）左右两侧

导数的符号来进一步判断驻点（不可导点）是否是极值点，所以，只能选D.

D

3口【评注】2-%>0且x>0.

4.D

【精析】lim—=lim——・-!-=^-=2,故a=《.

一。sinar—osinaz'aaL

5.C

（44->0,

要使函数有意义，则J解得工2一4且①云。.应选C.

.rW0,

6.D

［答案］D

【精析】lim吗才―J=limsimQ二】).lim-J—=1xJ=).故应选D.

LlX-1x-1X—1z-1.z+1ZZ

7.D

L答案」D

【精析】平"vS<l.r虫d.rIn|vI-,r!<'iv==Ce*.故应选D.

d.r'yv

8.D

I—：----dx=2——-----dx=2-7-^-d->/x=2arctanV^H-C.

J6(l+.z)J277(1+J：)JI-

9.D

【精析】因为当/f。时sin2H〜2x,ln(l+2］)〜2aT,

10.D所以当xf。时ln(1+2.r)〜sin2.r.故应选D.

ll.A

L答案」A

【精析】因为直线平行于二m号三:•所以所求直线的方向向量为小一22.又

4—ZZ

该直线过点(•1・2舟).故所求直线为—二。:一.

4—ZZ

12.B

设「J(Z＞"=I,对题中等式两边取[1,口上的定积分，

得1=「21,

J-111X

则1=^4竽d力=Y/i二心+]j=4-arctanzI+0=专・

3J-i1+x3J-i1-x3J-i1+x3I-i6

故=lim/-=-F故选B・

,1-，-»8\1十]，0)6

13.A

【精析】p=lim3=lim・/：、Li=1,故收敛半径R=1.即Iz—1IVI，

|nt1(—

8eo

0＜工＜2.当工=0时.级数为£(-1)1匕z叱=Z-2，发散;当7=2时,级数为

H-]“»-|

£(一1)1!，由莱布尼茨审敛法知其收敛，故募级数的收敛区间为(0,21.

14.B

B解析：考查一阶线性微分方程求通解.整理方程x?=y+7,得一阶线性微分方

dx

程的标准形式V-」y=x2,代入通解公式即得.

X

15.B

[答案:]B

【精析】g(—x)—f(—.r)—/(j)=-"(H)—/(—x)]=—g])，所以g(z)为奇函

数.本题选B.

_,2zJ

16C/(.r)=([(c+z)d/)=e~+f,故应选C.

17.C

C

【评注】本题考查的是可分离变量的微分方程的通解，对微分方程分离变量，然后两

边同时积分，可知了-92=工的通解为arctany-1=C,所以选C.

18.B

［答案］B

【精析】由£&收敛于S•则lim&=0,且前〃项和S|(n)=,则有limS(")=S.

―1，=i

3

令V(%+〃卡—。—2)的前〃项和为S?(〃)，即1(〃)=。|一生一+5+4—+…

M

+«w-i+u„-a1rH-a0+a1rH-a〜2=g《+生-a—2，

»-i

w

故limS2(力)=lim(Ea,-4-a—\=S-a—0=S十a.

•-I222

[答案]B

【精析】由d[e—"(w)]=eJd.r得e-x/(.r)=ex+C,

2x

即/(j)=e+CeL把/(0)=0代入得C=-1.

19.B/(&')=e"—e"故应选B.

20.B

【精析】四个选项中只有B项满足拉格朗日值定理的两个条件•故应选B.

【精析】两边微分，得①d3+ydx=—(Zdy+_ydi).

即(}一»了7=(r----尸了,所以会=—故应选A.

【精析】e-Td;r=—(TT=1—e-】，故应选A.

22.AJ。0

23.C

【精析】f6)dz=2[/(6)d(石)=2出用+C.故应选C.

JvxJvx

24.C

【精析】_y=log42+log4G=log《22G=4,•

两边平方.得4.r=42、所以i=421,

互换w与3得反函数为.y=/I(—8v/V+8).故应选C.

25.C

22

【精析】(「f(t)dtV=24(/).即「/(力山是21・/(/)的一个原函数.

\Ja'Ju

26.B

［答案］B

【精析】因为"=1+eL)，’=l+e0=2.

.r=0

所以切线方程为y一1=2Q•-0),即y=21+1.应选B.

27D【精析】两边同时求导，得八］)=(l+l)e"故选D.

28.D

［答案］D

【精析】因为limfix)=limIn.r=0.lim/(.r)=lim(jr—1)=0,/(1)=Ini=0.

1-*「

所以f(x)在①=1处连续.

又因为，；(1)=lim八①)一/⑴=］imJJH_=lim==1.

Ql)=lim盘［⑴=lim匕=L

T-l-彳-1I--L1

因为/(.r)在.r=1处可导且/(I)=1.故应选D.

A项中若““=’，结论不成立；

29.C〃

B项中若a”=(-1)n•结论不成立；

D项中若〃“=(-1)"上.结论不成立；

n

由绝对收敛的定义知.c项正确.

30.D

由f(j;)=—,］'J'(..T)|--~——=--~~-,f\.f［}(..］：)|}=------J------=.r.

I、T［IJC«।iJC

12r…I|

1'11：X：”

败选I).

31.

—4函数在x=3处可导,则/(3)—lim/(.r)=—4.

32.16

2a}2b}c1dy

【精析】A1It2.ci22b2t*24t/24(1A|1|B)=16

33.

【精析】如图所示•由被积函数及积分区域可知.该积分利用

极坐标计算较为简便•在极坐标系下•积分区域可表示为oW

2兀.0所以

\/R2—x2—v?1cLrdy-i10r\/R2—r2dr

Doo

2彳］sK

L....-（R一厂'）？J<10

o3o

2K19

o33

2cJ

因为/(ln.r)=2r+l=2d"+L所以/(.r)=2e+1,/<2018)(.r)=2c/.

35.

22018e2z—3sin.r

因为(*)⑺=2"c".(siru)=sin「+等).所以y',<2M=2刈8瞪-34M.

36.

1-ysin2

,iririri

(jrJ—jr+l)sin2^djr=sin,jrcLr=2sin°；rcLr=(1—COS2T)C!J?

-1J-iJo<o

=(x~ysin2jr\I=1—--sin2.

37.

【精析】画出题中二重积分的积分区域•如图所示,所以若

改变积分次序,则

X

JXx,yydy.

38.

dv=uscc/♦tan/

【精析】=­asee/•v+c*,

dr-tan/

=asect+c-lncox/=asee/+see/=(a+1)sect•

=3，+<?一‘得.一asee/=(a+1)scc/.(2a+1)scc/=。♦即2a+1=0•故a-....y.

39.3

J

【精析】1y=(—1)(Jr—3)=>j'(0)=(―1)•(—3)=3.

40.

In2

【精析】「岳心（，）

=lnl+e=ln2—limln(1+eA)=ln2—0=ln2.

<X?

41.

^(575-1)

【精析】由题意得，

［xds=1zI(2工尸dz=|xJlTdi?dz=七(1I4J-)T|=击(5代'-1).

42.

1

---1

2

--解析：考查某点连续的概念.由函数/(x)在x=0处连续得：

f(O)=l+k=lim过杏=lim蚂迎/I=1

xWsinx*句，sinx2

43.收敛

【精析】『limi*=limZ/Fl1=lim(2-2&)=2,所以该广义积分收敛.

J"祗“fo+J"y/jc“-o+1u“7，+

44.

［答案］yF(2.r)+C

；F(2r)+C【精析】j/(2j)d.r-j/(2.r)d(2,r)=yF(2,r)+(:

乙J乙

45.

匚答案：］e"+C

【精析】设Iru-=f,则①=c'J(f)=c',

I/(j?)clr=cdr=cr+C.

46.

8

9

—11

【精析】/(i)=ln(2-.r)—ln(2+i),/(T)=•则人)=曰+

2-JC2+1

1

?•所以,(D=-l+1=-1.

(2+.r)

47.

y=e*，(GcoszC2sinjr)(Cj,C2为任意常数)

［答案12

【精析】因为lim/Q)=lirn皿=2.

2

lim./(J)=lim(3.r-2；r+K)=k,f(0)=A.所以k=2.

48.2

3

49.3【评注】第级数在x=0处收敛，结合已知得R=3.

50.

e"cosy

【精析】由欧拉公式知e*=cosy十isinjs故eZr+iy=e2r(cosy十isi”)，因此实部

为e2jcosj>.

51.

/=fysin2,r(1—sin2)d.r

Jo

=|sin.r|•|COST|di

Jo

f1rt.

sinjcosjda--sinTCOSJ'd.r

oJf

-w_

1.71.2

=—sin2\r----sin\r

404y

=1.

52.

__________(八+tanz。1)_____________

原式=

(\/1|tan.r--J\fx)(-/IItanj-\/t才)

2r

53.

【精析】如图所示，即为区域D,可表示为{(w,.y)I0(工41,

0<丁&*},

『(21+))dcr=dj：(27+y)d.y

J«?*00

D

r2)

=/2彳y+5)di

J0\£IQ

=.:乃+搭卢

=+=A

(2'10)Io5,

解：对增广矩阵（加）进行初等行变换

11005)1005、j1005

2120-112-9T019->

3223)、。-222一2400-4

11005rl1005’101()-8、

01-1-2901-101301-1013

00012)0120012

、°0J

西+丐=-8,

r（//）=心妆）=3<〃，方程组有无穷多解,同解方程组

X2-X3=13»

七=2,

$=-8-X3>

X2=13+X3,匕是自由未知量，取巧=0得特解〃=（-8,13,0,2『

乙=2,

&+Xj=0,

原方程的导出组为

x2-Xj=0,'

x,=0,

当是自由未知量，取。=1得基础解系4=方程组的通解X=〃+cJCc

为任意常数）.

55.

■larccoxx'darccosj'•,、'dr

【精析】0y1-.rJ"

>/l—x2

arccos.rd(y1—x2)

4,反

=­arccosx•M1一2+

o0

______K_।_7T___甚__OK_翼

56.

2

/,i、.sin/d/

../,i、・sin/dz

lim(e-1)sim.Jo______=lim+lim

八・

111-COS^'•JC4jr>01-cos.rz-oi

x•x.sinJ2•21、

=lim«,+lirm.%

/-o£2，・04w

V

,15

=92+7=r

57.

【精析】所求方程通解为

y=6*"(—e^~drdr+Cj

=e-lar(j"e-di+C)

=e-lnx/—•jd.r+Cj

=Le'+C),

其中C为任意常数.

58.

【精析】将区域Q转化为极坐标系下的区域D',区域D(如图所示)可以表示为

D'={(r.O)|O<0<2n.7t<r<2n},

「2",2K

所以Jsin+y2dldy=djsinr•rdr=—2TTrdcosr

0VJt«

D

=-2n(rcosr

X

59.

f+oo'+oo4-oo'+oo

【精析】jrde-r=一(^e-J

0000

4-oo+oo4-004-co

J+e~—e-J

=—(jre-)=—1尸

0000

=—(0—0)—(0—1)=1.

60.

y=[/(ln.r)T•e’s+/(Inj)«[e“")了

=/"(Inw)•:•e/<J>+/(ln.7)•e"，>•/"(i)

61.

.士dz.dyi•上.

【精析】由于丁=-sint,-f-=cost—cost十fsint=tsinf,

dtat

因此

dv

dv-dL

石

dz-sinr

dy

62.

1精析】因为Iarctan”|<所以^arctan”=〃，取口=搭.荒,

MtJ乙、乙口

因为p=lim=lim•^--lim•/I+—\=~<1.

厂--v„-93“a3\n)3

00

由比值审敛法得士>”收敛；

■二1

00

又Va且工>,收敛，故由比较审敛法可得原级数收敛.

・=I

63.

4e'二_f工d(e'+1)

(1+eO2=J(l+eJ)2

=-pd(TTT)=-4+JTZPdr

=-----------T+工一ln(1+d)+C

eT1

=-^^--Ind-f-eO+C.

e*+1

64.

，

【精析】!|=Zi•(X—+f'2*Cry)：=/t•1+A•y=f\+yfi♦

=Zi•(—D-/j•x=a—//•

a：；y=/'ll,(—1)十/；•H+/‘2十》♦,(-1)+ft?.•h]

=JJ2—fit+zy•f22-(x—y)•f'tz.

65.

【精析】曲线上任一点的切线斜率为丁，即J，'=之+/,这是一个一阶微分方

程，由公式法可知

y=(JJT"，djr+C)=JT(J./・Jd1+()=1(乎+C),

乂有该曲线过点(1，)•代入可得c=0,故函数V=仆)=y.

66.

【证明】令/(JI)=(x2)ln(1<r)=ln(lx)1---

x-1

/'(工)=—^+T~当0<工<1时，，(M)>0.

所以f'Cr)在。&才<1内单调递增.又/'(0)=0,所以/(J-)>0,

故f⑺单调递增,又因为/(0)=