2022年人教A版高中数学 第四章 指数函数与对数函数 单元检测卷（基础卷）（学生版+解析版）

第四章指数函数与对数函数单元检测卷（基础卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.（2019・长沙市明德中学高二期中）设a=log。；，，c=2°b=（；J贝小、b、c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

2.（2021.全国高一专题练习）函数y=log0（x-l）的图象必过的点是（）

A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,0)D.(2,0)

3.（2021•湖南高一期末）已知Q=3°3,,c=ln2,则。，b,c的大小关系为（)

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<h<aD.b<c<a

4.（2021•全国高一课时练习）设/（x）=3'+3x—8,用二分法求方程3'+3x—8=0在（1/$）内的近似

解的过程中，有了⑴<0,/（1.5）>0,/（1.25）<0,则该方程的根所在的区间为（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）D.不能确定

5.（2018•天津河东•高一期中）函数y=/（x）的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如下表所示，则

该函数的零点个数至少为（）

X123456

y126.115.15-3.9216.78-45.6-232.64

A.2B.3C.4D.5-

6.（2021.宁波市北仑中学高三开学考试）函数丫=2用-1的图象大致为（）

7.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三月考（理））函数y=a'-'（a>0,的图象可能是（）

C.④D.①

-x2-2x,x<0

8.（2021・湖南邵阳市•高一期末）已知函数/（力=，若函数g（%）=/（x）+2-〃2有4个零点，

10g।X,X>U

2

则机的取值范围为（）

A.（0,1）B.（-1,0）C.（1,3）D.（2,3）

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.（2021•全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

_1111

A.[00=]与lg]=0B.273与log当=_§

C.log；=2与；D.log；=1与5=5

9乙=3

10.（2020•衡阳市田家炳实验中学高一月考）函数/（幻=2,-3/的零点所在的区间是（）.

A.（-2,-1）B.（—1,0）

C.（0,1）D.（1,2）

11.（2021•广东）若函数=f-奴+"的两个零点是2和3,则函数g（x）=bf-奴-1的零点是（）

A.1B.士C.--D.--

236

12.（2020•江苏省平潮高级中学高一月考）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并构成

一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹・布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数

/«­,存在一个点%，使得/（无。）=%,那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点'’函数的是（）

A.f（x）=2x+xB.^（x）=x2-x-3

c./（x）=/+[D./（x）=|log2^-l

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）

13.（2022•全国高三专题练习）已知x+x-=3,则%+J3的值为_

14.（2021•广东）用二分法研究函数/*）=1+38一1的零点时，第一次经计算/（0）＜0J⑴＞0,可得

其中一个零点X。6（0,1）,那么经过下一次计算可得X。€（填区间）.

16.（2021•沙坪坝区•重庆八中高三开学考试）函数y=log3（-Y+5X+6）的单调递增区间是

2"-16,比N4

13.（2020•大连市第一中学高一期中）已知/leR,函数/"）=当4=2时，不等式/（x）＜0

x2-4x+3,x<2

的解集是;若函数,f（x）恰有2个零点，则2的取值范围是.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。）

17.（2020•福建三明一中高一期中）不用计算器求下列各式的值

+/x正+(次X扬6_

(1)1.53X

(2)lg25+lg4+7喻2+21og3G.

⑻（2021•江苏吴江中学高一期中）已知函数小）=1-"

（1）证明：函数/㈤是（-8,+8）上的增函数;

（2）xe[-1,2]时，求函数“X）的值域.

19.（2021•河北高三月考）（1）求/（x）=＞丁：32的定义域;

lgx

（2）若/（2x-l）=/+4x-l,求f（x）的解析式.

20.（2021.合肥百花中学高一期末）设。＞0且"1,函数/（幻=1幅,（1+幻+1唱,（3-为的图像过点（1,2）.

（1）求。的值及Ax）的定义域；

（2）求Ax）在区间0,|上的最大值.

21.（2021•宁夏银川市•银川一中高三月考（理））已知定义域为R的函数，〃x）=a'-（"l）aT（a＞0且

awl）是奇函数.

（1）求实数上的值：

（2）若判断函数单调性，并求不等式/，+可+〃4-x）＜0恒成立时f的取值范围；

22.（2021•长丰县凤麟中学高二期中（理））某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券

等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知

投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.

（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大

收益为多少万元?

第四章指数函数与对数函数单元检测卷（基础卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（2019・长沙市明德中学高二期中）设a=,c=202匕=,则。、b、c的

大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<h

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

计算”，再利用指数函数的性质比较b,c,即可判断选项.

【详解】

1

a-log2-^=-2<0,6=（3）=2°>1.

c=2n2>1.且2°,<2%即a<b<c.

故选：A

2.（2021•全国高一专题练习）函数y=log〃（x-l）的图象必过的点是（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（0,0）D.（2,0）

【答案】D

【分析】

根据对数函数的性质，考察x取何值时y的值是与。无关的定值可求得定点.

【详解】

y=logo（x-l）.则当x-1=1,即x=2时，y=0是与。的值无关的定值，

故函数y=logu（x-1）的图形必过的点是（2,0）.

故选：D.

3.（2021・湖南高一期末）己知a=3°3,b=,c=ln2,则a,6,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

【分析】

利用指数函数单调性、对数的知识确定正确选项.

【详解】

依题意c=ln2＜lne=l＜b=3°2＜3M=a,

所以c＜6＜a.

故选：C

4.（2021•全国高一课时练习）设/（x）=3'+3x-8,用二分法求方程3*+3x—8=0在

（1,1.5）内的近似解的过程中，有/（1）＜0,/（1.5）＞0,/（1.25）＜0,则该方程的根所在

的区间为（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）D.不能确定

【答案】B

【分析】

根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.

【详解】

7/1.25）^1.5）＜0,且"）是单调增函数，...该方程的根所在的区间为（1.25,1.5）.

故选：B.

5.（2018•天津河东•高一期中）函数y=/（x）的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系

如下表所示，则该函数的零点个数至少为（）

X123456

y126.115.15-3.9216.78-45.6-232.64

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根据零点的存在性定理结合表中数据即可得出答案.

【详解】

解：由表可知，

/（2）./（3）＜0,

/（3）/（4）＜0,

/（4）./（5）＜0,

••・函数〃x）在区间［1,6］上至少有3个零点.

故选：B.

6.（2021•宁波市北仑中学高三开学考试）函数），=2凶-1的图象大致为（）

【分析】

根据绝对值的性质，结合函数的奇偶性、指数型函数的性质进行判断即可.

【详解】

设y=f(x)=2.一1,因为/(-%)=2'-v|-l=2w-l=f(x),

所以函数y=2凶-1是偶函数，图象关于y轴对称，

当X20时，/(x)=2f-l,此时函数单调递增,所以有/(x)＞/(0)=0,

所以选项B符合，

故选：B

7.(2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三月考(理))函数＞=优-」(。＞0,axl)的图

yy

A.①③B.②①

C.(4)D.①

【答案】C

【分析】

根据指数函数图像的性质，函数过定点(7,0),结合讨论。>1两种情况，从而判

断对应的图像即可.

【详解】

根据指数函数图像的性质知，函数过定点(7,0),故①②③均错误，

且过点(0,1-3,对于④，此时0<”1,函数单减，且4>1,故满足条件,

aaa

故选：C

-x2-2x,x<0

8.(2021・湖南邵阳市.高一期末)已知函数=h，若函数g(x)=/(x)+2-相

logjx,x>0

2

有4个零点，则用的取值范围为()

A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,3)D.(2,3)

【答案】D

【分析】

山g(x)=/(x)+2=0,得/(x)=m-2,所以问题转化为函数/(x)的图象与直线y=a-2

有4个不同的交点，所以画出函数图象，利用图象求解即可

【详解】

山g(x)=/(x)+2—w=0,得/(x)=w-2,所以问题转化为函数f(x)的图象与立线y=m-2

有4个不同的交点，

函数“X)的图象如图所示，

所以0<，”一2<1,得2<，w<3,

所以m的取值范围为（2,3）,

故选：D

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2021•全国高一专题练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

111।

A.10°=1与lgl=。B.27'=g与log：7=一§

C.log；=2与！D.log；=1与5：5

=3

【答案】ABD

【分析】

根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案.

【详解】

对于A,10<>=lolgl=0,A正确；

-1I11

对于B,273=2=log上=一士，B正确；

3,33

2

对于C,log39=2^3=9,C不正确：

1

对于D,log55=1<=>5=5,D正确.

故选：ABD.

10.（2020.衡阳市田家炳实验中学高一月考）函数/*）=2*-3/的零点所在的区间是（）

A.（-2,-1）B.（—1,0）

C.（0,1）D.（1,2）

【答案】BC

【分析】

把函数f(x)=2'-31的零点问题转化为函数y=2"和y=3x2的图象的交点问题，数形结合

即可得解.

【详解】

如图，作出函数y=2，,y=3Y的图象，

观察交点可得交点在(-1,0)和(。,1)区间上.

故选：BC.

11.(2021•广东)若函数/(x)=f-以+匕的两个零点是2和3,则函数8(同=加-奴-1的

零点是()

A.IB.gC.—D,—

236

【答案】AD

【分析】

由一(X)的零点求参数“、b,写出g(x)的解析式，进而可求其零点.

【详解】

由题设知：2,3是f-6+6=0的两个根，

a=2+3=5,0=2x3=6,

.•.g(x)=61—5x-l,若g(x)=0,可得零点为》=1或x=-，.

6

故选：AD.

12.(2020•江苏省平潮高级中学高一月考)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限

维空间，并构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是

对于满足一定条件的连续函数/*),存在一个点％，使得f(X。)=X。,那么我们称该函数为“不

动点”函数，下列为“不动点'’函数的是()

A.f(x)=2X+xB.g(x)=x2-x-3

I

D./(x)=|logx|-l

c.f（x）=X2+12

【答案】BCD

【分析】

根据题中所给定义，只需判断/（m）=xo是否有解即可.

【详解】

解：对于A：2&+%=%无解，所以A不满足；

对于8：-x0-3=x0,解得：%=3或%=-1,所以8满足题意；

对于Cxj+l=x。，解得：々=等5>0,所以C满足题意；

对于。：|log2%|-l=不，在同一直角坐标系下画出函数Ax）以及y=x的图像，可确定两个

函数的图像有交点，即方程有解，所以。满足题意；

故选：BCD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分,

第二空3分。）

-13

13.（2022•全国高三专题练习）已知x+x'=3,则炉+/1的值为.

【答案】2y/5

【分析】

根据指数的嘉运算，先求出1+xT,再由立方和公式，将所求式子因式分解，进而可得出

结果.

【详解】

因为X+X」=3,

——II

22

所以x4-x=x+2+x=5,.,*x~2—，

\7

33/2_1\

‘户+”=x2+x2（x—i+/7）=石（3—i）=2遥,

\/

故答案为：20.

14.（2021・广东）用二分法研究函数/。）=/+3元一1的零点时，第一次经计算

/（0）<0,/（1）>0,可得其中一个零点后£（0,1）,那么经过下一次计算可得不£

___________（填区间）.

【答案】（0，；）

【分析】

根据零点存在性定理判断零点所在区间.

【详解】

吗H{!+吗-1*0,40）■吗）<0，

所以下一次计算可得七€（0，；）.

故答案为：

16.（2021.沙坪坝区.重庆八中高三开学考试）函数），=1嗝（-/+5》+6）的单调递增区间是

【答案】b1，|

【分析】

根据复合函数单调性的性质，结合对数函数的性质进行求解即可.

【详解】

由一X2+5犬+6>0得一l<x<6.设"（X）=-X2+5X+6=-（X-'1）+9（-1<x<6）,贝lj"（x）

在区间,号上单调递增，在区间|,6）上单调递减.又卜=11在（0,+8）上单调递增,

所以函数y=bg3（-f+5x+6）的单调递增区间是1-1,|.

故答案为：［-1，|

⑶（2。2。・大连市第一中学高一期中）已知&R,函数小）="；+h”当X

时，不等式/（司<0的解集是；若函数f（x）恰有2个零点，则2的取值范围是

【答案】｛x|l<x<4｝（1,3]U（4,4W）

【分析】

当;1=2时，可确定函数/（X）,再分X22和x<2解不等式〃x）<0：

先确定函数y=2、-16与函数y=f一4%+3的零点，再根据函数/（X）恰有2个零点分情况讨

论.

【详解】

v

当片时…‘〃，/x)、="2x-+136,,xx>2<2

当x22时，由〃%）=2'-16<0,得2、<24，

因为y=2,为R匕的增函数，所以24x<4.

当x<2时，由/（力=£-4x+3<0,得1cx<2.

所以当;I=2时，不等式“X）<0的解集是k|1<x<4｝.

因为y=2*-16有唯一零点4；函数y=f-4x+3的零点为1和3.

若函数”X）恰有2个零点，

当这两个零点为1和3时，有力>4：当这两个零点为1和4时，Wl</L<3；

综上可知，2的取值范围是（1,3川（4,田>）.

故答案为：｛x[l<x<4｝；（1,3]U（4,-H»）.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（2020•福建三明一中高一期中）不用计算器求下列各式的值

⑴1.5旬（一£）+8、出+（必扬6_

10872

（2）lg25+lg4+7+21og3y/3.

【答案】（1）110（2）5

【分析】

（1）原式化简为分数指数累，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值.

【详解】

X板+(痒扬6一

=(|)3*1+2、2；+22、33-停)3

=(沪2+108一市

=110

log72

(2)Ig25+lg4+7+21og3^=lg(25x4)+2+2x1=2+3=5

2

18.(2021•江苏吴江中学高一期中)已知函数=

5+1

(1)证明：函数/(X)是(7O,+OO)上的增函数；

(2)XG|-1,2］时，求函数/(x)的值域.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】

(I)根据函数单调性的定义，令为＜三，结合函数解析式判断/但),/(七)的大小关系，即

可证结论.

(2)由(1)知/(T)4/(x)4/(2),即可得xe[-1,2]上的值域.

【详解】

222(5*'-5*2)

(1)令再〈电,/(X,)-/(X)1---(1--)=

M2=(512+1)(5"+1)

由(5*2+1)(53+1)>(),5*,-5丐<0,即/(5)-/(工2)<0，有f(x1)<f@2).

，函数/(X)是(TO,+8)上的增函数；

(2)由(1)知：xe"l,2］上有f(-l)4/(x)4/⑵，

.../3的值域为［-宗2白12.

19.(2021•河北高三月考)(1)求〃x)=+4的定义域;

(2)若/(2x—l)=d+4x—1,求/(x)的解析式.

【答案】⑴(0,1);(2)/(x)=lx2+|x+^.

【分析】

(1)根据函数的形式，列不等式，求函数的定义域；

(2)首先换元2x-l=f,转化为关于f的二次函数，即可求得函数的解析式.

【详解】

-X2-3X+4>0

解：(1)由,3中0

x>0

得xe(O,l),即/(x)的定义域为(0,1).

(2)令2x-l=f,则》=t-,

2

故〃x)=；V+gx+j

20.(2021•合肥百花中学高一期末)设a>0且a#l,函数/(如=现“(1+表+1咆,(3一期的

图像过点(1,2).

(1)求。的值及/*)的定义域；

(2)求〃x)在区间。,|上的最大值.

【答案】(1)a=2,定义域为(-L3)；(2)最大值为2.

【分析】

(1)根据函数的图像过点(L2)得到。的值，利用真数大于零得到函数的定义域;

(2)求出内层二次函数的最大值，即可得到所求函数的最大值.

【详解】

(1)•••函数F㈤=log”(1+x)+log,,(3-x)的图像过点(1,2),

•Jog”(1+1)+logq(3-1)=2,

：.logn4=2,即〃2=4,

又。>0且。工1,

；・a=2,

要使/(x)=Iog2(l+x)+log2(3-x)有意义，

fl+x>0

则上=-1<尢<3,

[3—x>0

・,."6的定义域为(7,3)；

(2)f(x)=log2(1+x)(3-x),

^/=(14-X)(3-X)=-(X-1)~+4

3

V0<x<-,

2

，r=-(x-l)2+4的最大时为4,此时x=l,

'3一

.•./(x)在区间。，5上的最大值为2.

21.(2021•宁夏银川市•银川一中高三月考(理))已知定义域为R的函数，

f[x}=ax-[k-\)ax(。>0且4/1)是奇函数.

(I)求实数k的值：

(2)若/⑴<0,判断函数单调性，并求不等式/卜2+枕)+/(4-0<0恒成立时/的取值

范围；

【答案】(I)k=2-.(2)在R上单调递减，(-3,5).

【分析】

(I)由题意利用,(0)=0求解即可；

(2)利用/