5.3.1函数的单调性

函数的单调性【考点梳理】考点一：函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减考点二：利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．考点三：函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)【题型归纳】题型一：利用导数求函数的单调性（不含参）1．（2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数​的单调递增区间是（

）A．​B．​和​C．​D．​【答案】D【分析】求导后，根据的正负可确定单调递增区间.【详解】的定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为.故选：D.2．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）函数的单调增区间（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】的定义域为，，令，解得，故的单调递增区间为.故选：A3．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的单调区间：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)单调递减区间为(2)单调递增区间为和，单调递减区间为(3)单调递增区间为，单调递减区间为和(4)单调递增区间为，单调递减区间为【分析】求导，根据导数的正负确定函数的单调区间即可.【详解】（1），则，∴函数的单调递减区间为.（2），则，由，得或，当或时，；当时，，∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为（3），则，由，得，当时，；当或时，，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.（4），则，由，得，当时，；当时，，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.题型二：由函数的单调性求参数4．（2023下·河南平顶山·高二统考期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】关键函数在区间上单调递增，由在上恒成立求解.【详解】解：因为函数，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；所以，故选：C5．（2023下·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可知导函数在上恒大于等于零.再参变分离求解函数最值即可.【详解】函数在上单调递增，即在恒成立.故，即在恒成立，因为在上单调递减，所以在处取得的最大值0，所以.故选：A6．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．【分析】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.题型三：由函数在区间的单调性求参数7．（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将已知转化为在区间上恒成立，解出即可．【详解】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，又函数在区间上单调递减，∴．所以的取值范围是．故选：C8．（2023下·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中）若在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由单调性可知在上恒成立，结合二次函数性质可得，由此可得的取值范围.【详解】在上单调递增，在上恒成立，在上单调递增，，解得：，的取值范围为.故选：D.9．（2023下·江西九江·高二统考期末）已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得在区间上单调递减，进而得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，只需，进而求解即可.【详解】当时，恒有，可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.因为，所以在区间上恒成立，而函数在区间上单调递减，所以当时，，所以，即，所以的取值范围是.故选：B.题型四：函数与导函数图像的关系10．（2023上·陕西西安·高二统考期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，只有选项C符合，故选：C11．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（

）A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是增函数【答案】A【分析】根据导函数的正负决定了原函数的单调性，，原函数单调递增，，原函数单调递减，逐项分析判断即可.【详解】对于选项A：当时，，则在上单调递减，故A正确；对于选项B：当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，故B错误；对于选项C：当时，，则在上单调递增，故C错误；对于选项D：当时，，则在上单调递减，故D错误；故选：A.12．（2023下·四川乐山·高二校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.【详解】由函数的图象可知当或时，；当时，，等价于或，故不等式的解集为，故选：A题型五：含参分类讨论函数的单调性13．（2023下·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)单调递减为，单调递增区间为(2)答案见解析【分析】（1）代入后，利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）对求导，分类讨论与，得到的单调情况，从而得解.【详解】（1）由题意得，定义域为，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，上单调递增（2）由题可知函数的定义域为，则，（i）当时，则在定义域上恒成立，此时函数在上单调递增；（ii）当时，令，即，解得；令，即，解得；所以在上单调递减，上单调递增综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上单调递增.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．（2023下·广东江门·高二校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)当时，讨论函数的单调性．【答案】(1)单调递增区间有和(2)答案见解析【分析】（1）当时，对相应求导（此时不含参），即可研究的单调增区间；（2）直接对求导（此时含参），再结合即可进一步讨论的单调性．【详解】（1）当时，，对其求导得，令，注意到的定义域为，由此可以列出以下表格：因此由以上表格可知：函数的单调增区间为和.（2）对函数求导，得，令，接下来对分两种情形来讨论：情形一：当时，有，即在上单调递增.情形二：当时，有，结合以上分析可列出以下表格：由以上表格可知：在单调递增，在单调递减，在单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，而第二问的关键是要对进行分类讨论.15．（2023下·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数，.(1)当时，讨论的单调性；(2)若时，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出导函数，分和两种情况讨论，分析的正负即可确定函数的单调性；（2）分离参数，构造新函数，利用导数求得的最小值，即可得出的取值范围.【详解】（1）因为，定义域为，.①当时，令，解得.即当时，，单调递增，当时，，单调递减；②当时，在单调递增；综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增.（2）若时，都有，即，即恒成立.令，则，，令，所以，当时，，单调递增，，即，所以在单调递减，所以=，所以.【双基达标】一、单选题16．（2024·四川成都·成都七中校考一模）已知函数在其定义域上的导函数为，当时，“”是“单调递增”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数在其定义域上的导函数为，若当时，，则单调递增，故充分性成立；若在上单调递增，则，如，显然函数在上单调递增，但是，故必要性不成立；故“”是“单调递增”的充分不必要条件.故选：D17．（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可.【详解】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减.故选：D.18．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解.【详解】因为，由题意可知：存在，使得，整理得，且在上单调递减，则，可得，所以实数的取值范围是.故选：A.19．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用求导逆运算构造函数，由已知可得在上是增函数，根据函数单调性即可求解.【详解】解：设，则，由，可知，所以在上是增函数，又，所以，即，故选：B.20．（2023下·福建龙岩·高二校联考期中）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，构造函数，利用导数说明函数的单调性，结合单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得解.【详解】不等式，依题意令，，，，函数在上是增函数，又，不等式，即，即，由函数单调性可知，所以不等式的解集为．故选：A．21．（2023下·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．【答案】(1)；(2)，.【详解】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．（1），则则，又，则曲线在点处的切线方程为，即（2），则，由可得或，则函数的单调增区间为，.22．（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知函数在点处切线斜率为，且．(1)求和；(2)试确定函数的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合，进行求解即可；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.【详解】（1）函数，求导，由，得解得：．（2）由（1）得，求导，令，得，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；的单调递增区间为，单调递减区间为．23．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围；（2）已知函数.讨论的单调性.【答案】（1）；（2）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【分析】（1）求导后利用分离参数法即可求出的取值范围；（2）对函数求导，分类讨论不同情况时的导函数情况，即可得出的单调性.【详解】（1）由题意，，在中，，函数在区间内是减函数,∴当时,恒成立,即当时,恒成立,故当时,恒成立，设，根据对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增，且，，则，∴当时,，解得：.∴的取值范围是.（2）由题意，在中，当时,则,在上单调递减.当时,由，解得.当时,；当时,.∴在上单调递减,在上单调递增，综上，当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【高分突破】一、单选题24．（2023下·河南郑州·高二校联考期中）设，比较的大小关系（

）A． B．bC． D．【答案】C【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系.【详解】由，令且，则，所以递减，则，故，则，令且，则，所以递减，则，故，则，综上，.故选：C25．（2023下·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨单调性，求解不等式作答.【详解】定义在上的函数的导函数为，，令函数，求导得，即函数在上单调递减，由，得，不等式等价于，解得，所以不等式的解集是.故选：D【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.26．（2023下·四川绵阳·高二统考期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】探讨函数的奇偶性，再利用导数探讨其单调性即可求解不等式作答.【详解】函数定义域为R，，即函数是奇函数，又，因此函数在R上单调递增，不等式，即，于是，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：D27．（2023下·四川眉山·高二校考阶段练习）设函数是定义在上的偶函数，为其导函数．当时，，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造，得到在上单调递增，结合函数奇偶性得到在上单调递增，且，分与，根据函数单调性解不等式，得到解集.【详解】令，因为是定义在上的偶函数，则在R上为奇函数，在上恒成立，故在上单调递增，又在R上为奇函数，故在上单调递增，又，则，故，当时，不等式等价于，即，解得，当时，不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A28．（2023下·安徽安庆·高二校考阶段练习）定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，进而得到在上单调递减，由为奇函数得到在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.【详解】因为为奇函数，所以，对任意正数恒有，即，故在上恒成立，故在恒成立，故在上单调递减，定义域为R，又，故为奇函数，所以在上单调递减，又的图象连续不断，故在R上单调递减，变形得到，所以，解得，解得.故选：D二、多选题29．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）函数满足，则正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】构造函数，求导得到递减，然后根据单调性比较大小即可.【详解】令，则，从而递减，则，即，，，.故选：AC.30．（2023下·山东淄博·高二校考阶段练习）已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为【答案】BC【分析】对于AC，利用导数的几何意义求解即可，对于BD，求导后由导数的正负可求出函数的单调区间【详解】对于AC，，由，得，所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，对于BD，函数的定义域为，，由，得，解得，由，得，解得，所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，故选：BC31．（2023下·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）设函数，都是单调函数，其导函数分别为，，令，则下列说法中一定正确的是（

）A．若，，则单调递增 B．若，，则单调递增C．若，，则单调递减 D．若，，则单调递减【答案】AD【分析】对于AD，根据导数与单调性的关系分析判断即可，对于BC，举例判断.【详解】，若，则单调递增，故A正确；若，则单调递减，故D正确；取，则满足，，显然是常函数，不单调递增，故B不一定正确；取，，则满足，显然是常函数，不单调递减，故C不一定正确．故选：AD．32．（2023下·江西新余·高二统考期末）设函数是函数的导函数，若，且当时，，令，则下列结论正确的是（

）A．为偶函数B．为奇函数C．在上为减函数D．不等式的解集为.【答案】ACD【分析】根据奇偶函数的定义判断选项A、B，根据导函数判断单调性及偶函数性质判断选项C，利用抽象函数的单调性及偶函数性质解不等式判断D.【详解】，定义域为，因为，所以函数为偶函数，故选项A正确，选项B错误；由得，当时，，所以，所以函数在上为增函数，根据偶函数的性质知，函数在上为减函数，故选项C正确；将不等式化为，即，又函数函数为偶函数，且在上为增函数，所以，所以，平方化简得，解得，所以不等式的解集为，故选项D正确.故选：ACD33．（2023下·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知函数，则（

）A．的图像关于对称 B．的图像关于对称C．在上单调递减 D．【答案】BD【分析】首先求出的定义域，利用与判断出A错误B正确，利用特殊值判断出C错误，分别在与时讨论可判断出，所以D正确.【详解】函数的定义域为；因为不恒为零，故A错误；因为，故B正确；令，，当时；当时，所以.因为，，所以，故C错误；因为关于对称，当时，，且，所以，当时，，且，所以，故D正确；故选：BD.三、填空题34．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，故，故实数的取值范围是.故答案为：35．（2023下·福建泉州·高二校考期中）已知函数满足，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，求得且，得到在区间上为单调递增函数，结合不等式，得出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，所以函数在区间上为单调递增函数，又由不等式，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.36．（2023下·陕西榆林·高二校联考期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是.【答案】【分析】令，求导分析单调性，由为偶函数，可得为奇函数，分两种情况：，分析不等式的解集，即可得出答案.【详解】令，所以，因为当时，，，单调递增，因为为偶函数，所以，所以，所以为奇函数，所以在，上单调递增，因为，所以，所以，若，则等价于，所以，若，则等价于，所以.综上所述，不等式的解集是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，利用导数判断单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力.37．（2023下·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是．【答案】【分析】构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用换元即可求解.【详解】令，，则由题意可得在上恒成立，所以在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，令，则，即的解集为，所以，解得，综上，故答案为：四、解答题38．（2023上·陕西西安·高二统考期末）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数在区间上的单调性．【答案】(1)(2)分类讨论，答案见解析.【分析】（1）求导代入得到斜率和切点，写出点斜式即可；（2）分和讨论即可.【详解】（1）的定义域为，．曲线在处的切线的斜率为．把代入中得，即切点坐标为．所以曲线在处的切线方程为．（2）令，得．①当时，在区间上，，函数为单调减函数．②当时，在区间上，，为单调减函数；在区间上，，为单调增函数．综上，当时，为单调减函数；当时，在区间上，为单调减函数，在区间上，为单调增函数．39．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可.（2）首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可.【详解】（1）由已知，则，当时，，，则曲线在处的切线方程为，即（2）由（1）知，，①当时，，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；②当时，由，得，（ⅰ）当时，，当时，，在，单调递增；当时，，在单调递减；（ⅱ）当时，，，在单调递增；（ⅲ）当时，，当时，，在，单调递增；当时，，在单调递减；综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；②当时，在，单调递增，在单调递减；③当时，在单调递增；④当时，在，单调递增，在单调递减.40．（2023下·河北石家庄·高二校考期末）已知函数，若曲线在处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)讨论函数在区间上的单调性．【答案】(1)；(2)在和上单调递增，在上单调递减【分析】（1）根据函数的