运筹学第四章作业的参考答案

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第四章作业的参考答案5、判断下列函数是否为凸函数.（3）注：在获得Hesse矩阵时，要特别注意对角线上的元素。解：的Hesse矩阵为注：在获得Hesse矩阵时，要特别注意对角线上的元素。.的各阶主子式分别为因而为半正定矩阵，所以是凸函数。9、用0.618法求以下问题的近似解已知函数的单谷区间,要求最后区间精度。解：迭代过程用下表给出：01230.51.6461.6461.6461.6462.3542.0842.3542.7922.3542.0843.53.52.7922.354否否否是换换换换换第三轮迭代开始时有。所以近似最优解为。14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.（1）解：化简目标函数，得注：对无约束的最优化问题，若目标函数是凸函数，则它的驻点就是它最优解。所以，的Hesse矩阵为注：对无约束的最优化问题，若目标函数是凸函数，则它的驻点就是它最优解。.因为是正定矩阵，所以是凸函数。另一方面，目标函数的梯度向量为令，即，求得目标函数的驻点为.所以，原问题的最优解为.16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。（1），取初始点解：由题意知第一轮迭代：。则。所以。令，解得。所以，。第二轮迭代：。则。所以。令，解得。所以，。第三轮迭代：。则。所以。令，解得。所以，。23（1）、写出下列问题的K-T条件，并求出它们的K-T点.注：先把问题化成要求的形式。即，把目标函数化成求最小值的形式，把所有不等式（包括非负约束）化成小于等于零的形式，把所有等式化成等于注：先把问题化成要求的形式。即，把目标函数化成求最小值的形式，把所有不等式（包括非负约束）化成小于等于零的形式，把所有等式化成等于零的形式。解：将问题（1）变形为所以，其Lagrange函数为所以有因此，问题（1）的K-T条件是注：不等式约束函数的Lagrange乘子要大于等于零，而等式约束函数的Lagrange乘子为自由变量。每个不等式约束函数对应一个互补松紧条件，而等式约束函数则没有。注：不等式约束函数的Lagrange乘子要大于等于零，而等式约束函数的Lagrange乘子为自由变量。每个不等式约束函数对应一个互补松紧条件，而等式约束函数则没有。作为K-T点还应满足可行性条件注：K-T点应满足可行性条件。求解时，利用互补松紧条件进行分类讨论。利用互补松紧条件进行讨论注：K-T点应满足可行性条件。求解时，利用互补松紧条件进行分类讨论。（I）若，则由互补松紧条件知再加上可行性条件中的一个方程以及，可解得。再由互补松紧条件知。将这些值代入K-T条件的前两个方程有解得.经检验，均满足（1）的K-T条件和可行性条件，因而为其K-T点.（II）若则由互补松紧条件知由可行性条件知。再由互补松紧条件知。将这些值代入K-T条件的前两个方程有解得与矛盾。（III）若则由互补松紧条件知由可行性条件知。与矛盾。（IV）若将这些值代入K-T条件的前两个方程有注：若是寻找问题的K-T点注：若是寻找问题的K-T点，则需要将所有可能的分类都进行讨论