数学必修五同步课件第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式数理化网

2.2等差数列第一课时/等差数列的概念与通项公式

课标要求学法指导1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.1.要善于通过观察、分析、归纳、提炼来理解等差数列的概念,同时,还应准确理解等差数列的关键词“从第2项起”,“差是同一个常数”等;要善于用归纳或叠加法探求等差数列的通项公式.2.利用an+1-an=d(n∈N*

)可以帮助我们判断一个数列是否为等差数列.新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领思维激活实例:(1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为:16,32,48,64,80,96,112,128,…,320.(2)某次比赛女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg)分别为:48,53,58,63.(3)某公司技术员的工资有5种级别(单位:千元)8,7,6,5,4.想一想1:观察实例中三个数列,每个数列从第2项起,每一项与前一项的差有什么特点?(等于同一常数)知识探究——自主梳理思考辨析1.等差数列的定义如果一个数列从第

项起,每一项与它的前一项的差等于

,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.思考1:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于常数,该数列是等差数列吗?请举例说明.(2)等差数列的定义用数学符号怎样表示?提示:

(1)不一定是.如数列1,3,7,15,…不是等差数列.(2)在数列{an}中,若an-an-1=d(d为常数,n≥2,n∈N*),则数列{an}是等差数列.同一个常数23.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式an=

,通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量n的一次函数.思考2:等差数列{an}的公差为d,第n项an与第m项am(n>m)有何关系?提示:an=am+(n-m)d.a1+(n-1)d题型探究——典例剖析举一反三名师导引:

(1)要证{bn}是等差数列,只需证bn+1-bn=常数或bn-bn-1=常数(n≥2且n∈N*).(2)利用(1)的结论先求bn,再求an.题后反思

判断或证明一个数列为等差数列的常用方法:(1)定义法:an-an-1=d(d是常数,n≥2且n∈N*),数列{an}是等差数列.(2)等差中项法:在数列{an}中,2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N*),数列{an}是等差数列.解:∵c2-c1=-1-1=-2,n≥2时,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2,∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义,∴数列{cn}不是等差数列.题型二等差数列的通项公式【例2】

已知数列{an}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式.(1)a3=5,a7=13;(2)前三项为a,2a-1,3-a.名师导引:要求得通项公式,需要求哪几个量?(先确定数列的首项a1与公差d,然后代入an=a1+(n-1)d即可)题后反思

在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解,以减少计算量.跟踪训练2-1:(2013兰州一中高二期中)已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于(

)(A)30 (B)45 (C)90 (D)186题型三等差中项的应用【例3】(12分)已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式.名师导引:怎样利用等差中项使已知等式用两个未知量表示?(利用等差中项先求出a3或用a3和公差d的代数式表示a2和a4)题后反思若三个数成等差数列且和为定值时,常利用等差中项求出中间项.跟踪训练3-1:已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为

,

,

.

解析:因为数列8,a,2,b,c是等差数列,所以2a=8+2,所以a=5,因为公差d=5-8=-3,所以b=2+(-3)=-1,c=-1+(-3)=-4.答案:5

-1

-4备选例题【例题】(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.解:

(1)法一设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d.依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,故三个数为-2,2,6或6,2,-2.法二设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)法一设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,∴d>0.∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.达标检测——反馈矫正及时总结B2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,则B=

.

解析:由三角形内角和定理知A+B+C=π.∵A、B、C成等差数列,3.在等差数列{an}中,(1)已知a1=2,d=3,n=10,则an=

;

(2)已知a1=3,d=2,an=21,则n=

;

(3)已知a1=12,a6=27,则d=

;

解析:(1)an=a1+(n-1)d=2+(10-1)×3=29;(2)由an=a1+(n-1)d⇒21=3+(n-1)×2⇒n=10;答案:

(1)29

(2)10

(3)3

(4)10课堂小结1.