2023年高考数学一轮复习（学生版）：第八单元数列

第八单元

数列

位曾

翳翳看普

氧

§8.1数列的概念

(对应答案分册第24页)

学基础知识少夯实基础巩固提升

«知识清单一

L数列的有关概念

(1)数列的概念

的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.

(2)数列的简单表示方法：、、

2.数列的分类

(1)根据数列的项数可以将数列分为：、

(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类为：、、、^

3.数列的通项公式

如果数列｛*的第〃项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫作

这个数列的通项公式.

3拓展知识

1.数列的递推公式

如果已知数列｛a｝的第一项(或前几项)，且任一项

a,,(G2)与它的前一项4-(或前几项)间的关系可

以用一个式子来表示，那么这个式子就叫作数列

｛a｝的递推公式.

2.数列㈤的前0项和S与通项公式包的关

系

(1)S“=a、+a^+a”(neN).

=1,

⑵aqSn-Snwn>2.

夯实基础

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.（对的打“J”，错的打“X”）

⑴一个数列中的数是不可以重复的.（）

（2）数列的通项公式的表达式是唯一的.（）

⑶数列｛言二｝的第4项为£+2.（）

⑷任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（）

【对接教材】

在数列｛a｝中，已知为二1,生之且为也=则32是数列的第（）项.

A.4B.5C.6D.7

已知aw）七〃我8,则从第（）项起,这个数列是递增的.

A.1B.2C.3D.4

【易错自纠】

已知数列｛4｝的前〃项和S,之〃2*3,贝I]a,=

已知数列｛4｝中，国⑹斑4瞑测/021

讲考点考向7精研考向锤炼技能

C1点委由数列的前几项求数列的通项公式【题组过关】

根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式:

(1)4,6,8,10,-;

1371531

(9'——-------••••

“248工6,32，’

115132961

/Q\-----------------

‘，2'4'816'32,64*'

⑷9,99,999,9999,….

根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，注意以下几个方面:(1)分式中分子、分

母的各自特点;⑵相邻项之间的联系;⑶拆项后各部分的特点;⑷符号的变化规律.解决涉及这些方面的问题

时，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、猜想.

CS点委由s与a的关系求通项公式【典例迁移】

剑’3已知数列｛&｝的前〃项和S="2-2c,那么它的通项公式a.=.

【变式设问】已知数列｛a,｝的前〃项和为&引-2,则ay.

,已知S求2的三个步骤：

⑴当n=1时，利用a尸S求出a；

(2)当时,%=&-5«；

⑶对时的结果进行检验，看是否符合时&的表达式，如果符合，就把数列的通项公式合写，如果

不符合，就写成分段形式.

【追踪训练1】设数列｛a.｝满足a+3ai«2〃T)a〃=2",则a.=.

由递推公式求数列的通项公式【考向变换】

考向1形如"=%+/(〃),求«„

剑0已知在数列｛a。｝中,a之0向“=&+2〃-1,"6；则数列匕｝的通项公式为=.

形如4“=a„虫力的递推关系,可采用累加法，然后结合等差或等比数列的求和公式求解通项公式.

【追踪训练2】在数列｛a.｝中,a产1,为4"+%」(〃》2),则a产..

考向2形如a=",/[〃),求4

硼短ft数列｛$｝中，已知则a产

ann+l-------

』形如冬.产@“/(〃)的递推关系，可采用累积法求解通项公式.

【追踪训练3]已知数列⑸满足&=1，竺纪也把则数列㈤的通项公式是____________.

Q”+l

数列的性质【考向变换】

考向1数列的单调性

剑❹已知数列｛a,｝的通项公式&喧;厕数歹羽4｝是().

A.递减数列B.递增数列

C.常数列D.摆动数列

』解决数列的单调性问题可用以下三种方法:Q溯作差上徽法根据的符号判断数列｛4｝是递

增数列、递减数列还是常数列;②用作商匕徽法,根据如或/<0）与1的大小关系进行判断;婀以将数

an

列看成定义域为正整数集上的函数，结合相应函数的图象直观判断.

【追踪训练4】已知数列｛a.｝的通项公式为-学,若数列｛&｝为递减数列,则实数4的取值范围为（）.

A.（3产8）B.（2产8）

C.（1,+8）D.（0,+8）

考向2求最大（小）项

倒豺已知数列侬｝的通项公式a.则数列｛a.｝中的最大项是（）.

A.3-710B.19

1Vio

C访C出

数列的最值问题可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.

【追踪训练5］若数列｛a.｝满足a=13.”-4=〃现片的最小值为（）.

2314

A-TB,T

C，V26-^D.13

考向3数列的周期性

圆@殳S,是数列｛a,,｝的前"项和，若团弓,厕52021）.

2Q?i

2017

A.---B.1009

2

2019

C.-^—D.1010

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期,进而求出有关项的值或者前〃

项的和.

【追踪训练6】若数列｛a｝中,4］3,132学,品，1二&-2］（77£2）,则4021）:::（）.

A.1B.-2

C.3D.-3

的方法技巧上方法探究分类突破

（5造突破Q函数的单调性在数列中的应用

因为数列可以看作一类特殊的函数，所以数列也具备函数的性质，可以借助函数的性质研究数列的性质,

但一定要注意自变量的特殊性.

倒U已知函数4X）/（:'数列｛&｝满足为=/S）（〃eN）且对于任意的正整数〃"7,都有

（产。,x>7,

氏生X）,则实数a的取值范围是

。方法总结,

在利用函数单调性求解数列相关问题时，需

要注意定义域的取整问题.

【突破训练1】已知数列｛a,｝的通项公式为4当则该数列中最大项是第项.

2n-V2016--------

（包衣突破⑥函数的周期性在数列中的应用

由函数的周期性或根据已知推理得出数列的周期，进行求解运算.

O包已知数列｛&,｝满足xex.,x*[Xn.「xJ（nGN\若乂=1,=*足1且aWO）,则数列｛x.｝的前2020项的

和^2020为（）.

A.673B.670

C.1342D.1347

0方法总结

求函数的周期有列举法,图象法，定义法等，在

求解数列周期时，常用列举法计算前几项,然后计

算到重复项为止，即可得到数列的周期.

【突破训练2】已知数列｛&｝中a=1,品=1一二（〃）1）,则au»=（）.

an-X

1

A.5B.

4

44

D.~5

请完成爆后作业

链接《精练案》分册P47

§8.2等差数列

（对应答案分册第2425页）

....................因基础知识,…＞夯实基础巩固提升

«＜知识清单.

1.等差数列的有关概念

⑴定义:一般地,如果一个数列，每一项与它的前一项的，那么这个数列就叫

作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母"表示，定义的表达式为

⑵等差中项:若a,A,b成等差数列，则A叫作a、b的

（3）等差数列的通项公式及其变形

通项公式：，其中囱是首项/是公差.

通项公式的变形：（力

（4）等差数列的前〃项和公式:=〃四尸（41）.

2.等差数列的性质

设等差数列｛4｝的公差为&前〃项和为S,则有如下的性质：

⑴若小□=p+q（m,n,p,q£N）网

（2）在等差数列中下标成等差的项组成的新数列仍为等差数列.

⑶｛a｝,｛〃｝都为等差数列则｛〃礴+柩｝也为等差数列（其中而均为常数）.

⑷££6,SA-%,…也成等差数列.

o拓展知识

1.已知数列｛a｝的通项公式是a,w，0（其中

PM为常数）,则数列■｝一定是等差数列，且公差为

P-

2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项

起"，如:证明国」应主，后、/—国

是否等于a若生-awa则数列｛a｝不为等差数列.

3.若｛&｝与｛〃｝为等差数列，且前〃项和分别为s

与S1则鲁普工

bmb2m-l

««夯实基础》»

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.（对的打“J”，错的打“X”）

⑴若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（）

⑵“数列｛品｝为等差数列”的充要条件是“对任意"CN：都有2a*a“+a“J.（）

（3）若数列3｝满足为“=为/,则数列a.｝为等差数列.

⑷“数列｛&｝为等差数列”的充要条件是“数列｛4｝的通项公式是关于〃的一次函数”.)

【对接教材】

在等差数列｛4｝中,a之,热力金，则a；等于（）.

A.-2B.0C.3D.6

在等差数列｛吗中同=1,且数列｛4｝的前5项和W=15,则a,=.

【易错自纠】

已知等差数列｛&｝的通项公式为a,H"-ll,则数列｛/a4的前〃项和T„=.

已知｛%｝为等差数列,S为其前〃项和.若a45=&,则a=,S"=.

讲考点考向7精研考向锤炼技能

C5点血等差数列基本量的计算【题组过关】

已知｛a｝为等差数列,囱+a1々5=105,及+当+京印9,则a决二..

已知递增的等差数列｛4｝满足d=l,a也名",则a尸.

/（1）等差数列运算问题的T殳求法是设出首项4和公差4然后由通项公式或前〃项和公式转化为

方程（组）求解.

⑵等差数列的通项公式及前〃项和公式，共涉及五个量为,a“4〃,S“知其中三个就能求另外两个，体现了用

方程的思想解决问题.

⑶根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式Sa=na、△啜4若已知通项

公式，则使用公式&史竽立,同时注意与性质“囱+an=&2-+%-2=*'"的结合使用.

语点®等差数列的判定与证明【典例迁移】

阅圆记S为数列｛a｝的前〃项和，已知a“X）圆名科且数列｛质J是等差数列,证明:｛a,,｝是等差数列.

对于任意自然数区n72),a「a“，(心2,〃dN)为同一常数=｛a｝是等差数列.用定义证明等差数列时,

容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解.

比如，对于满足】=1(〃23)的数列｛a,｝而言并不能判定其为等差数列因为不能确定起始项a>-a是否

等于1.

【追踪训练】记S为数列⑸的前〃项和也为数列⑸的前〃项积，已知g4-=2.

3rlbn

⑴证明:数列｛〃｝是等差数列.

(2)求｛&｝的通项公式.

C5点@等差数列的性质与应用【题组过关】

若等差数列｛a.｝的前17项和％石1,则&-ai均9-an+ai3-.

已知等差数列｛*与｛/>,｝的前〃项和分别为S,和加若如辛马，则詈等于（）.

1nZn-rlby

（一题多解）在等差数列⑸中5为其前〃项和，且aM5,S3=S,求数列｛*的前多少项和最大.

」应用等差数列的性质解题的两个注意点：

⑴如果｛4｝为等差数列,加〃招飞那么烝+a产出加（见因此,若出现为e国一等项时可以利用此

性质将已知条件转化为与国（或其他项）有关的条件;若求&项，可由T&f）转化为求3叫或—E

的值.

⑵要注意等差数列通项公式及前〃项和公式的灵活运用，如

,i\九（Qi+Q?i）九（。2+的1-1）

a,=a^n-nijd,d?coc42刀-1）&,£----------（-〃,-/-〃-£-N-）等.

n-m

....................宿方法技巧........》方法探究分类突破

C包突破O求等差数列前〃项和s最值的两种方法

⑴运用配方法将S,转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解.

⑵通项公式法:求使a20（aW0）成立时最大的〃值即可.一般地，在等差数列｛a｝中，若@>0,且5；二良（7工0）,

则谓“g为偶数，则当〃哼时,S最大;彝p+q为奇数，则当〃号。或〃上*■时5最大.

初已知在等差数列｛%中⑶=31,S是它的前〃项和,S产位.

⑴求&;

（2）这个数列的前多少项和最大？并求出这个最大值.

到回殳等差数列｛a“｝的前〃项和为S,,已知a=12国刀,5。

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出S,S,…，5中，哪一个最大？并说明理由.

方法总结]

(1)函数法:利用等差数列前"项和的函数表

达式S尸ad外〃,通过配方或借助图象求二次函数

最值的方法求解.

⑵邻项变号法

四纨过火)时满足『2么的项数0使得

Um+1W0

S取得最大值S；

谓a,@力0时，满足-八的项数/〃使得

lam+l三U

S取得最小值S.

【突破训练】在数列｛a｝中,2a产为一1+见.](〃22),且a=10,注=£

(1)求｛品｝的通项公式；

(2)求｛“,｝的前〃项和S,的最大值.

请完成弹后作亚

链接《精练案》分册P48

§8.3等比数列

(对应答案分册第2526页)

学基础知识•卜夯实基础巩固提升

＜«知识清单＞»

1.等比数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列，每一项与它的前一项的，那么这个数列

就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母＜?表示，定义的表达式为皿

⑵等比中项:若况46成等比数歹II厕A叫作为6的

(3)等比数列的通项公式及其变形

通项公式：，其中@是首项,q是公比.

通项公式的变形：(见心)

nalfq=1,

(4)等比数列的前〃项和公式5二q]

2.等比数列的性质

设等比数列｛d｝的公比为g,前〃项和为S,则有如下的性质：

⑴若m+n=p+q(m,5p,q£N),则烝•an=ap•a,).

(2)在等比数列中下标成等差的项组成的新数列仍为等比数列.

⑶｛&｝,他｝都为等比数列则｛&幼也为等比数列.

(4)显£「&品-瓯尻-£小-(其中各项均不为0)也成等比数列.

1“地蜜幽

1.由4产晒后0,并不能立即断言｛4｝为等

比数列，还要验证aiXO.

2.在运用等比数列的前"项和公式时，要注意对

(7=1与q/l分类讨论，防止因忽略＜7=1这一特殊

情形而导致解题出错.

夯实基础

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打“J”，错的打“X”)

(1)满足a”\=qa，SGN.,q为常数)的数列｛4｝为等比数列.

(2)G为a,。的等比中项

(3)若｛叫为等比数列,4=初“也”，则数列｛3也是等比数列.

(4)数列｛a.｝的通项公式是a产/则其前"项和为$,上吧

f1-Q

【对接教材］

已知正项等比数列｛&｝的前〃项和为则a^+a+ai+4+的+a\o=..

已知等比数列｛a｝的前n项和为S,若SN83剂)，则SH).

A.83B.108C.75D.63

【易错自纠】

若a是2与8的等比中项,是-1与1-2历的等差中项，则a切的值为.

....................因考点考向，精研考向锤炼技能

C5SO等比数列的判定与证明【典例迁移】

剑・1已知数列｛4｝的首项a2，前〃项和为S,且35,Y,4,2-岩特12)总是成等差数列.

⑴证明:数列｛a｝为等比数列.

(2)求满足不等式a"«Y)"’的正整数n的最小值.

【变式设问】若团=|自电=力,设c产&T,求证:｛端是等比数列.

:一等比数列判定与证明的两个注意点：

(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法,通项公式法、前〃项和公式法在选择题、填空题中用

来判断数列是否为等比数列.

(2)证明一个数列｛a｝不是等比数列，只需要说明前三项满足•a”或者是存在一个正整数网使得

1*&,4以即可.

【追踪训练1】已知｛a｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛4｝是公比大于0的等

比数列力iN,A也=48.

(1)求｛叫和｛6｝的通项公式.

1

⑵记C0%1-,/7WN*.

⑦iff明:｛C*-Q｝是等比数列.

劭I明:y竽垠＜2^②f).

k=ljck'c2k

C3S®等比数列基本量的计算【题组过关】

已知｛&｝为等比数列，&9之，念戊=~8厕a+a产.

已知等比数列⑸为递增数列，且硝=外,2（%域2）=54“则数列值,｝的通项公式为=.

设｛a0｝是由正数组成的等比数列5为其前"项和.已知则.

二产⑴等比数列运算问题的T殳求法是设出首项冷和公比为然后由通项公式或前〃项和公式转化为

方程（组）求解.

（2）等比数列的通项公式及前〃项和公式,共涉及五个量a,a,知其中三个就能求另外两个，体现了用

方程的思想解决问题.

nax,q=1,

（3）根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公比，则使用公式S产ai（l-q"）1

,1-q，q

（考点一O等比数列的性质与应用【考向变换】

考向1等比数列通项的性质

L'J在等比数列｛4｝中，若及4ak1,413al向5Hl63,则含1国2出.

__⑴通项公式的推广：&=&•gk（〃/疟N）

⑵若勿加招廿2凤〃7,〃血0左3：）则产

⑶若数列｛喻⑷（项数相同）是等比数列则｛44｝,｛^｝,｛欣｝,｛9｝,｛强｝（久W0）仍然是等比数列.

【追踪训练2】⑴已知等比数列｛2｝满足囱我全刃（a「l）,则&=（）.

4

11

A.2B.1C-D-

28

⑵已知数列｛a｝是递增的等比数列闭炀4，及a=5,则a-=.

考向2等比数列前〃项和的性质

初图已知数列｛a｝为等比数列5为其前〃项和,〃CN•，若份依/书，团为+a6s则.

』在等比数列｛a,J中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a*a）i0为a“.3&j*•为等比数列，公比

为q.

【追踪训练3］设等比数列｛a,,｝的前n项和为S,若So/S=1；2,则S,5/&=（）.

3211

A-JB-3D-3

...............................E3方法技巧.....＞方法探究分类突破

（5比突破◎等比数列性质的灵活应用

在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不

求思想的运用.

£3侵）在等比数列｛&｝中，如果句9为。,国上四寸0,那么出+生气）.

A.135B.100C.95D.80

方法总结

在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘

隐含条件利用性质，特别是性质“若〃吐〃学场则

a.a.=a,a,"，可以减少运算量，提高解题速度.

【突破训练】已知等比数列｛4｝的前〃项和为S,且兽搭厕卫工二（心2,且"GN）

S&9an-an，i—

--------请完成瞟后作业--------.

链接《精练案》分册P49

§8.4数列求和

(对应答案分册第2621页)

因基础知识……＞夯实基础巩固提升

««知识清单毋

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

(1)等差数列的前〃项和公式：

cn(ai+an)^(n-l)

S-------2-------〃句~2-&

(2)等比数列的前〃项和公式：

'叫(q=1),

产口

Sl(l-qn)_ai-anq(八

2.几种数列求和的常用方法

⑴分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，因此求和时可用分

组求和法，分别求和后再相加减.

(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时使中间的一些项可以相互抵消，从而求得前〃项

和.

(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这

个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法与并项求和法：

①倒序相加法

如果一个数列｛4｝的前〃项中首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前〃项和可用倒

序相加法，如等差数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

②并项求和法

在一个数列的前"项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如43-1)”«力的数列，可考虑采用两项

合并求解.

R拓展知识

]

1.

n(n+k)追去)

2,而+VHTT"11+1而

,2n(n+l)(2n+l)

3.lz/22*•••+/?———y---.

6

4.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对

称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.

出夯实基础》＞

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打“J”，错的打“X”)

⑴若数列｛叫为等比数列,且公比不等于1,则其前"项和S,驾组士()

i-q

(2)当心2时佳书一左)()

⑶求$七+2，+3才*・+〃目'时,只要把等式等号两边同时乘以a,即可根据错位相减法求得.()

3n-l

(4)若数列a„a2-a,-,a-a,,是首项为1,公比为3的等比数列,则数列｛4｝的通项公式是a,—.()

【对接教材】

在等差数列｛&｝中，已知公差@[+«)+虎*“*如.=80厕a1+az+&+-"+am=().

A.175B.180C.185D.190

在数列｛&｝中,(九;1)，若｛&｝的前〃项和为则项数〃气).

A.2017B.2018C.2019I).2020

【易错自纠】

」1473n-2

求和：5宗宗人---------

《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠

也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大

老鼠第一天进一尺,以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”.如果墙厚20尺，则这两只老鼠相

逢所需天数至少为().

A.4B.5C.6D.7

讲考点考向…邛精研考向锤炼技能

得点基利用公式分组求和【典例迁移】

包初已知数列｛4｝的前〃项和S,£^,〃GN,.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

⑵设&,=2°飞-1)”,津数列｛4｝的前2〃项和.

【变式设问】在例1的条件下，求(2)中数列｛4｝的前〃项和T:

♦一(1)分组转化求和的通法

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求

数列的前"项和的数列求和.

⑵分组转化法求和的常见类型

-

J4斗田/bj,｛c“｝为等差或等比数利分

组

求

-T：；：需要｛-为等差或和

n一

项

和等比数列

【追踪训练1］设数列｛4｝的前"项和为S,满足S,=l-〃a"GN)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列'上的前〃项和为力,求应的表达式.

拷息⑥错位相减法求和【题组过关】

设｛4｝是公比不为1的等比数列固为曲a,的等差中项.

⑴求®｝的公比；

⑵若&=1,求数列｛〃&》的前"项和.

设数列｛&｝满足

⑴计算题a,猜想｛为｝的通项公式并加以证明；

⑵求数列｛23｝的前〃项和S.

利用错位相减法求和的策略：(1)若数列｛a｝是等差数列,｛/>｝是等比数列,求数列｛为•4｝的前n项和,

则可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛4｝的公比，然后作差求解;⑵在写“S”与“gS”的

表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S"S,”的表达式;⑶在应用错位相减法

求和时，若等比数列的公比为参数，则应分公比等于1和不等于I两种情况求解.

(5豆⑥裂项相消法求和【考向变换】

]

考向

n(n+k)

初❷已知等差数列｛a,｝满足备乂,全9=14,｛aj的前〃项和为S,.

⑴求a0及总

1

⑵令若对于任意数列｛4｝的前〃项和。⑦恒成立，求实数/〃的取值范围.

』禾IJ用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后

面也剩两项，另外，将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等,

如:若卜｝是等差数列，则」一片（--二一），」—J

aa

nn+ld\an0n+i，anan^-22d\cin0n+2，

【追踪训练2】已知等差数列｛&,｝的公差为2,前〃项和为S.且S,S,S成等比数列.

⑴求数列｛叫的通项公式；

4n

⑵令MH）------，求数列｛4｝的前〃项和Tn.

anan4-1

1

剑❸已知等差数列｛&｝的前"项和为S,公差为〃其中为函数qx)=(x-2)(x~99)的两个零点且d<S>.

⑴求数列｛a,｝的通项公式;

1

(2)若b,尸:(力6),求数列低｝的前〃项和北.

Van+l+>/«n

1

形如4幅方赤型的数列采用裂项相消求和时，本质为分母有理化过程.

【追踪训练3】已知数列｛%｝的通项公式为44工+行,其前〃项和为S”若SR,则仁

n+1

'r”2

n2(n+2)z

剑正项数列｛4｝的前〃项和s满足S：(/+〃T)SN〃2+〃)=O.

(1)求数列｛4｝的通项公式.

数列｛4｝的前〃项和为7；.证明:对于任意的"WN：都有

n+1

形如诉百2的数列采用裂项相消求和时，可以将平方项看成一个整体,然后调整系数求解.

【追踪训练4】已知数列｛*的前n项和S,满足2SNa/l)(&+2),且a„^O(neN").

(1)求数列｛a｝的通项公式；

⑵若c/(2n-D(〃wN)求数列⑷的前〃项和T”.

......宿方法技巧....................，方法探究分类突破

（方比一—❶利用模型法求解数列的实际问题

模型法就是在实际问题中,构造数列模型（如通项公式、前〃项和公式或递推关系式）或构造其他模型，进

而构造数学模型,通过构造模型，使问题得到顺利解决.

人们津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例:一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔,再过一

年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素,按此规律繁殖，则每年的兔子总对

数可构成一奇妙的数列.兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列.它最初

记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列｛用:a书=1,£=&产儿（">2）,

若将数歹也身的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列｛a,｝,则数歹的前2021项和

为

10方法总结

在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该

问题所具备的数列模型,或等差数列、等比数列，

或根据条件列出递推关系,然后根据数列相关知

识分析处理.

【突破训练1】中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮

三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大

意是，现有俸粮305石,分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这

些俸粮，问:每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（）.

A.74石B.61石

C.48石D.35石

oils®倒序相加法求和

先观察数列前后是否具有“对称性”，即与首末两端等“距离”的两项的和是否相等，若是则采用倒序

相加法（先把数列求和的式子倒过来写，然后两个求和式子相加）求和.

倒■对于三次函数4*）=aN班『4"戊4羊0）,给出定义:设/“（X）是函数尸/（x）的导数（x）是函数

「出的导数，若方程/'”（x）加有实数解科则称点（痢4%）为函数尸/（x）的“拐点”.某同学经过探究发现:任

何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数

*力字亭*3x磊，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：

115

⑦函数/犬3y+3x方的对称中心坐标为；

②讨算（短）"（短）"（短（黑〉------

0方法总结】

倒序相加是根据对称性，将一定顺序的某些

项相加，它们的和相等，或具有某些固定的特征，然

后根据这些和的特征得到所求结论的和.

【突破训练2】设右）诰才若$=/（六）*/（嘉）"（嘉）一〃（篇），则S=-------

--------请完成骤后作业--------.

链接《精练案》分册P51

解答题题型突破三数列

（对应答案分册第2728页）

（突破点，与数列有关的比较大小问题

OfligS为等差数列｛a.｝的前〃项和,闻是等比数列向=&,4=备八=9,公=243.是否存在实数4使得

:我本题考查等差数列和等比数列的综合应用