完整高等数学考试题库(附答案)

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高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。A）∫π/4^π/2sinxdxB）∫0^π/2xarcsinxdxC）∫-2^1(4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π(x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。1.设函数f(x)=e^(-2x-1)，x≠0，x在x=0处连续，则a=1.2.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为π/4，则f'(2)=1.3.y=x^2/(x+1)的垂直渐近线有1条。4.∫(x^3+2x)/(x^2+1)dx=∫(x-1)dx+∫(x^2+1)/(x^2+1)dx。5.设y=f(x)是由y=x^3-x^2+x-1旋转一周所得到的曲线，则∫f(x)dx=∫(x^3-x^2+x-1)dx/2π。1.B2.C3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.D10.C二。填空题1.1/22.1/33.2ln|x+1|-2ln|x-1|4.arctan(x+1)+C5.2/3三。计算题1.(1)e^2(2)1/62.y'=1/(x+y-1)3.(1)1/2ln|x+1|-1/2ln|x-3|+C(2)ln|x^2-a^2|+ln|x+a|+C(3)-e^-x(x+2)+C四。应用题1.略2.S=5/2一.改错题6.以下结论正确的是(B)函数y=f(x)导数不存在的点，一定不是函数y=f(x)的极值点。7.设函数y=f(x)的一个原函数为xe，则f(x)=(B)2x-e。8.若∫f(x)dx=F(x)+c，则∫sinxf(cosx)dx=(B)-F(sinx)+c。9.设F(x)为连续函数，则∫(f(1)-f(x))/xdx=(C)2(f(2)-f(1))。10.定积分∫badx(a<b)在几何上的表示为(C)矩形面积(a-b)×1.二.填空题1.设f(x)=(1-cosx)/(x^2),在x=0处连续，则a=2.2.设y=sinx，则dy/dx=cosx。3.函数y=x/(x^2-1)的水平和垂直渐近线共有2条。4.不定积分xlnxdx=xlnx-x+C。5.定积分∫(-1)^1dx/(x^2sinx+1)=π/2.三.计算题1.求下列极限：①lim(1+2x)π/2lim(1+2x)(π/4)/(xπ/4)2π/π=2②limx→+∞(1/x-arctanx)limx→+∞(1-xarctanx)/(x^2(1+arctan^2x))limx→+∞(1-arctanx/x)/(x(1+arctan^2x))0/∞=02.由y=1-xe得e=1-y/x，对两边求导可得：de/dx=-y/x^2代入e=1-y/x，得y'=-x/(x-y)。3.求下列不定积分：①tanxsec^3xdx=-1/2secx+C②∫ydx=1/2ln(x^2+a^2)+C③∫x^2exdx=x^2ex-2xex+2ex+C四.应用题1.已知f(x)在[0,2π]上连续，且∫0^2πf(x)dx=π，则∫0^πf(x)dx=π/2.证明：由于f(x)在[0,2π]上连续，故f(x)在[0,π]和[π,2π]上也连续。则有：0^2πf(x)dx=∫0^πf(x)dx+∫π^2πf(x)dx由于∫0^2πf(x)dx=π，故有：0^πf(x)dx=π/2-∫π^2πf(x)dx又因为f(x)在[π,2π]上连续，故存在c∈[π,2π]，使得∫π^2πf(x)dx=2πf(c)。代入上式可得：0^πf(x)dx=π/2-2πf(c)由于f(x)在[0,2π]上连续，故f(c)也存在，故∫0^πf(x)dx存在。因此，证毕。1.作出函数y=(2/3)x-x的图像（表格如下）。x|y3|22|11|00|01|-12|-23|-32.计算由两条抛物线：y=x²和y=-x²所围成的图形的面积。解：两条抛物线的交点为(0,0)和(0,1)，对称轴为y轴。因此，所求面积为：int_{-1}^{0}(-x^2-x^2)dx+\int_{0}^{1}(x^2-x^2)dx=\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}$$1.满足初始条件y(1)=e的特解。2.原式=lim(x->3)(x+3)/(x^2-9)=1/3.3.原式=lim(x->∞)(1+1/x)^(2x)=e^2.4.y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，dy=-sin(x)e^cos(x)dx，y=ex+y(1+y'-y/x)。5.原式=lim(x->2)(x-2)cos(x)+C/x^2=2C/4+1=1/2+C。6.原式=S=(1/3)x^(3)+(1/2)x^(2)+C。7.特征方程r^2+6r+13=0，解得r=-3±2i，所以y=e^(-3x)(C1cos2x+C2sin2x)。8.原式=∫(e^x)/(x-1)dx=ln|x-1|e^x+C，由y(1)=0可得C=-e，所以y=(x-1)/(xe)+1/e。一、选择题1.函数y=ln(1-x)+(1/(x+2))的定义域是(-2,1)。2.极限lim(e^x/x)的值是+∞。3.极限lim(x->1)(sin(x-1)/(1-x)^2)的值是1/3.二、填空题1.满足初始条件y(1)=e的特解为y=e^(x-1)/(x-1)。2.原式=lim(x->3)(x+3)/(x^2-9)=1/3.3.原式=lim(x->∞)(1+1/x)^(2x)=e^2.4.y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，dy=-sin(x)e^cos(x)dx，y=ex+y(1+y'-y/x)。5.原式=∫(e^(2x))/(2x)dx=1/(e^2-1)。三、XXX1.y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，求y的解析式。解：y'=(x+2)^2/2，y'(0)=1/2，所以y=(1/3)x^3+(1/2)x^2+C。代入y'(0)=1/2可得C=1/2，所以y=(1/3)x^3+(1/2)x^2+1/2.2.求lim(x->1)(sin(x-1)/(1-x)^2)的值。解：将sin(x-1)/(1-x)^2化简为-sin(x-1)/[(x-1)^2*(1+x-1)]，再将x-1替换为t，原式变为-lim(t->0)(sin(t)/t^2)，这是一个标准的极限形式，解得值为1/3.3.求y'=-(y/x)sin(x)+cos(x)，y(π/2)=1的特解。解：将y'=-(y/x)sin(x)+cos(x)改写为y'+(1/x)sin(x)y=cos(x)，然后乘以e^(∫(1/x)sin(x)dx)=e^ln|x|=x，得到xy'+sin(x)y=xcos(x)。解这个一阶线性微分方程得到y=(1/x)e^(-∫sin(x)/xdx)[∫x*cos(x)e^(∫sin(x)/xdx)dx+C]。由y(π/2)=1可得C=0，代入得到y=(x/π)e^(-∫sin(x)/xdx)[∫π/2^x*cos(x)e^(∫sin(x)/xdx)dx]。高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分）1、函数y=2+x+1/lg(x+1)的定义域是（）.A、(-2,-1)∪(,-∞)B、(-1,)∪(,-∞)C、(-1,)∩(,-∞)D、(-1,+∞)2、下列各式中，极限存在的是（）.A、limcosxB、limarctanxC、limsinxx→∞x→∞x→∞D、xlim→+∞(2-1/e)3、limx→∞(1+x)x=（）.A、eB、e2C、1D、1/e4、曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程是（）.A、y=xB、y=(lnx-1)(x-1)C、y=x-1D、y=-(x+1)5、已知y=xsin3x，则dy=（）.A、(-cos3x+3sin3x)dxB、(sin3x+3xcos3x)dxC、(cos3x+sin3x)dxD、(sin3x+xcos3x)dx6、下列等式成立的是（）.A、∫xαdx=1/xα-1+CB、∫axα+1dx=axlnx+CC、y2+21-x2=CD、cosxdx=sinx+C∫1/(1+x2)7、计算esinxsinxcosxdx的结果中正确的是（）.A、esinx+CB、esinxcosx+CC、esinxsinx+CD、esinx(sinx-1)+C8、曲线y=x2，x=0，x=1，y=1所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体体积V=（）.A、π/6B、π/12C、π/20D、π/309、设a>0，则∫a2-x2dx=（）.A、aB、π/2C、a2D、πa2/410、方程（）是一阶线性微分方程.A、xy'+ln2y=0B、y'+exy=x2C、(1+x)y'-ysin(y)=0D、xy'dx+(y-6x)dy=0二、填空题（每小题4分）1、设f(x)={ex+1.x≤0.ax+b。x>0}，则有limf(x)=____，limf(x)=____；答案：-1.a+b+12、设y=xe，则y''=____；答案：03、函数f(x)=ln(1+x)在区间[-1,2]的最大值是____，最小值是____；答案：ln3.04、∫x-11/(1+x2)dx=____。答案：-ln23cos(x)dx=3sin(x)+C；5、微分方程y''-3y'+2y=的通解是y=C1e^2x+C2e^x；计算题：1、求极限lim(x->1)[(13-2)/(x-1)+(x-2)]=11；2、求y=1-x^2arccosx的导数，利用链式法则和反三角函数的导数公式，得到y'=-2xarccosx；3、求函数y=2x^3+3x^2+4x的微分，得到dy=(6x^2+6x+4)dx；4、求不定积分∫(2+lnx)/xdx，利用分部积分法，得到∫(2+lnx)/xdx=2lnx+x+C；5、求定积分∫e^(lnx)dx，由于e^(lnx)=x，所以∫e^(lnx)dx=∫xdx=x^2/2+C，其中C为积分常数；6、求方程xy'+xy=y满足初始条件y(0)=4的特解，将方程改写为(y/x)'=-y/x+1，然后利用分离变量法，得到ln|y/x-1|=-x+C，带入初始条件y(0)=4，解得C=ln5，所以特解为y=x(1+ln5)。应用题：1、求由曲