2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（上）期末数学试卷一、单项选择（共8题，每小题5分；满分40分）1．（5分）空间两点A，B的坐标分别为（1，2，3），（﹣1，﹣2，3），则A，B两点的位置关系是（）A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称2．（5分）若把数据x1，x2，x3，⋯，x2022，改变为x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，⋯，x2022﹣2，则它们的（）A．平均数与方差均不改变 B．平均数改变，方差保持不变 C．平均数不变，方差改变 D．平均数与方差均改变3．（5分）若直线l的一个方向向量为v→=(-2，-2，-4)，平面α的一个法向量为A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．平行或线在面内4．（5分）已知椭圆x2a2+y225=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦A．10 B．20 C．241 D．4415．（5分）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a6＝（）A．103 B．107 C．109 D．1056．（5分）抛物线C1：y2＝4x和圆C2：（x﹣1）2+y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB→A．34 B．1 C．2 D．7．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M为BC中点，N为平面DCC1D上的动点，若MN⊥A1C，则三棱锥N﹣AA1D的体积最小值为（）A．110 B．112 C．114 8．（5分）设F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A．2 B．3 C．2 D．5二、多项选择（共4题，每小题5分满分20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知椭圆C1：x216+y29=1与双曲线C2：x2A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等（多选）10．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知SnA．{an}是递增数列 B．a10＝﹣14 C．当n＞4时，an＜0 D．当n＝3或4时，Sn取得最大值（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92D．点A1和点D到平面AEF的距离相等（多选）12．（5分）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F（1，0），直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A．点P的轨迹方程是x24B．直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线” C．平面上有一点A（﹣1，1），则|PA|+2|PF|的最小值为5 D．点P的轨迹与圆C：x2+y2﹣2x＝0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）三、填空题（共4题，每小题5分；满分20分）13．（5分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．14．（5分）甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为15．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=3，沿对角线AC将△ABC折起，若二面角B﹣AC﹣D的余弦值为-13，则B与D之间距离为16．（5分）如图，已知抛物线的方程x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于点M，N．如果直线BQ与BP的斜率之积为﹣2，则cos∠MBN＝．四、解答题（共6题，满分70分）17．（10分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5）、[0.5，1）、…、[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在[1，1.5）、[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．18．（12分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥BD，∠C1CD＝45°，∠CC1B＝60°，CC1＝CB＝BD＝1．（1）求对角线CA1的长度；（2）求异面直线CA1与DA所成角的余弦值．19．（12分）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O、A、B三点．（1）求C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？20．（12分）已知等比数列{an}(n∈N*)满足a2a3＝a4，2a1+a（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”，证明：数列{an}是“M﹣数列”；（2）记等差数列{bn}的前n项和记为Sn，已知b5＝9，S8＝64，求数列{b2n﹣1an}的前n项的和Tn．21．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=12AD，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）若M为PD上一点，且三棱锥D﹣ACM的体积是三棱锥P﹣ACM体积的2倍，求平面PAC与平面ACM夹角的余弦值．22．（12分）已知抛物线y2＝43x的准线过椭圆E的左焦点，且椭圆E的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形：（1）求椭圆E的方程；（2）直线y=12交椭圆E于A，B两点，点P在线段AB上移动，连接OP交椭圆于M，N两点，过P作MN的垂线交x轴于Q，求△

2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（共8题，每小题5分；满分40分）1．（5分）空间两点A，B的坐标分别为（1，2，3），（﹣1，﹣2，3），则A，B两点的位置关系是（）A．关于x轴对称 B．关于xOy平面对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称【解答】解：A，B的横纵坐标互为相反数，它们的竖坐标相同，所以点A，B关于z轴对称．故选：C．2．（5分）若把数据x1，x2，x3，⋯，x2022，改变为x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，⋯，x2022﹣2，则它们的（）A．平均数与方差均不改变 B．平均数改变，方差保持不变 C．平均数不变，方差改变 D．平均数与方差均改变【解答】解：数据x1，x2，x3，⋯，x2022的平均数x=数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，⋯，x2022﹣2的平均数为x=x1数据x1，x2，x3，⋯，x2022的方差为：S2=(数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，⋯，x2022﹣2的方差为：(x1-2-故选：B．3．（5分）若直线l的一个方向向量为v→=(-2，-2，-4)，平面α的一个法向量为A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．平行或线在面内【解答】解：因为v→所以v→与n→共线，直线l与平面故选：A．4．（5分）已知椭圆x2a2+y225=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦A．10 B．20 C．241 D．441【解答】解：由题意可得椭圆x2a2+y225=1的a=b由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝441．故选：D．5．（5分）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a6＝（）A．103 B．107 C．109 D．105【解答】解：由题意，被3除余2且被7除余2的数即为被21除余2的数，故an则a6＝21×6﹣19＝107．故选：B．6．（5分）抛物线C1：y2＝4x和圆C2：（x﹣1）2+y2＝1，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB→A．34 B．1 C．2 D．【解答】解：由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|＝2p＝4，|BC|＝2r＝2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|＝|CD|＝1，所以AB→⋅CD→=|AB|•|故选：B．7．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M为BC中点，N为平面DCC1D上的动点，若MN⊥A1C，则三棱锥N﹣AA1D的体积最小值为（）A．110 B．112 C．114 【解答】解：以D为原点，分别以DA，DC，DD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C(0，1，0)，M(12，1，0)，设∴A1又MN⊥A1C，∴12+a-1-b=0，即∴b=a-12，0≤b≤1故选：B．8．（5分）设F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A．2 B．3 C．2 D．5【解答】解：依题意得，以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，双曲线C的一条渐近线的方程为y=b由y=baxx2+y2=c2解得x=ay=b或x=不妨取M（a，b），则N（﹣a，﹣b）．因为A（﹣a，0），∠MAN＝135°，所以∠MAO＝45°，又tan∠所以b2a所以b2＝4a2，所以（c2﹣a2）＝4a2，所以c2＝5a2，所以该双曲线的离心率e=5故选：D．二、多项选择（共4题，每小题5分满分20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知椭圆C1：x216+y29=1与双曲线C2：x2A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等【解答】解：椭圆C1：x216+y29=1则c1双曲线C2：x216-k+y29-k=1（9焦点在x轴上，a22=16-k则c2∴C1与C2的焦距相等，而C1的长轴长与C2的实轴长不相等，则离心率不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等．故选：CD．（多选）10．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知SnA．{an}是递增数列 B．a10＝﹣14 C．当n＞4时，an＜0 D．当n＝3或4时，Sn取得最大值【解答】解：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+8，又a1＝S1＝6＝﹣2×1+8，所以an＝﹣2n+8，则{an}是递减数列，故A错误；a10＝﹣12，故B错误；当n＞4时，an＝8﹣2n＜0，故C正确；因为Sn=-n而n是正整数，且n＝3或4距离对称轴一样远，所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，故D正确．故选：CD．（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92D．点A1和点D到平面AEF的距离相等【解答】解：假设D1D⊥AF，∵D1D⊥AE，且AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴D1D⊥AEF，∴DD1⊥EF，∴CC1⊥EF，显然不成立，故A错误，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，如图所示：由已知条件可得，GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，∴平面A1GQ∥平面AEF，∵A1G⊂平面A1GQ，∴A1G∥平面AEF，连接D1F，D1A，如图所示：∵E，F分别为BC，C1C的中点，∴EF∥AD1，EF=1∴A，E，F，D1四点共面，∴截面即为梯形AEFD1，延长DC，D1F，AE交于点S，易知D1S＝AS=42+22∴S△A∴S梯形AEFD建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面AEF的法向量为n→∴点A1到平面AEF的距离为d1=|AA1→∴点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F（1，0），直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A．点P的轨迹方程是x24B．直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线” C．平面上有一点A（﹣1，1），则|PA|+2|PF|的最小值为5 D．点P的轨迹与圆C：x2+y2﹣2x＝0是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）【解答】解：对于A，设P（x，y），因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，所以2(x-1)2故选项A正确；对于B，联立方程组x+2y-4=0x24故存在点P（1，32所以直线l1：x+2y﹣4＝0是“最远距离直线”，故选项B正确；对于C，过点P作PB垂直直线l：x＝4，垂足为B，由题意可得，|PB|＝2|PF|，则|PA|+2|PF|＝|PA|+|PB|，由图象可知，|PA|+|PB|的最小值即为点A到直线l：x＝4的距离5，故选项C正确；对于D，由x2+y2﹣2x＝0可得（x﹣1）2+y2＝1，故圆心为（1，0），半径为1，所以点P的轨迹与圆C交于点（2，0），故选项D错误．故选：ABC．三、填空题（共4题，每小题5分；满分20分）13．（5分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝-14【解答】解：双曲线mx2+y2＝1的标准方程为y2-x21-m=1，虚轴的长是由题意知，21-m=4，∴m故答案为-114．（5分）甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为2【解答】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是12，1则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率P1＝（1-12）×（1-1故该密码被成功破译的概率P2＝1﹣P1＝1-1故答案为：2315．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=3，沿对角线AC将△ABC折起，若二面角B﹣AC﹣D的余弦值为-13，则B与D之间距离为【解答】解：过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，由AB=1，BC=3，则AC由等面积法知：12故BE=DF=3则AE=CF=12，即EF＝∵二面角B﹣AC﹣D的余弦值为-13，即cos＜∴BD→则|BD→|=3，即B与故答案为：3．16．（5分）如图，已知抛物线的方程x2＝2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于点M，N．如果直线BQ与BP的斜率之积为﹣2，则cos∠MBN＝13【解答】解：设直线PQ的方程为y＝kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=kx-1x2=2py，得x2﹣2pkx+2p＝0，Δ＝4p2k2﹣又x1+x2＝2pk，x1⋅x2＝2p，因为kBP=y故kBP+kBQ=2kx1x故解得kBP所以tan∠BNO=2所以|BN|=|BM|=1由余弦定理得cos∠故答案为：13四、解答题（共6题，满分70分）17．（10分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5）、[0.5，1）、…、[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在[1，1.5）、[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04．同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）＝0.5×a+0.5×a．解得a＝0.30．（2）设中位数为m小时．因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25＝0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．由0.50×（m﹣2）＝0.5﹣0.47，解得m＝2.06．故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．（3）由题意得平均户外活动时间在[1，1.5），[1.5，2）中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有21种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），同时在同一组的有：（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）．共9种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率P=918．（12分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，CB⊥BD，∠C1CD＝45°，∠CC1B＝60°，CC1＝CB＝BD＝1．（1）求对角线CA1的长度；（2）求异面直线CA1与DA所成角的余弦值．【解答】解：（1）因为CB＝BD＝1，CB⊥BD，所以三角形BCD为等腰直角三角形，所以CD=1+1又因为CC1＝CB＝1，∠CC1B＝60°，所以三角形CC1B为边长为1的等边三角形，又CA则CA1所以|C所以对角线CA1的长度为3；（2）因为CA1→=CB→+所以CA所以cos＜即异面直线CA1与DA所成角的余弦值为5619．（12分）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O、A、B三点．（1）求C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【解答】解：（1）由题意可求A（40，40），B（20，0），设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，可得402+402+40D+40E+F=0F=0202+20D+F=0，解得D故圆C的方程为x2+y2﹣20x﹣60y＝0，圆心为C（10，30），半径r＝1010．（2）设船初始位置为点D，则D（﹣20，﹣203），且该船航线所在直线l的斜率为1，故该船航行方向为直线l：y﹣x﹣20+203=0由于圆心C到直线l的距离d=|30-10-20+203|12故该船有触礁的危险．20．（12分）已知等比数列{an}(n∈N*)满足a2a3＝a4，2a1+a（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”，证明：数列{an}是“M﹣数列”；（2）记等差数列{bn}的前n项和记为Sn，已知b5＝9，S8＝64，求数列{b2n﹣1an}的前n项的和Tn．【解答】（1）证明：由题意可设公比为q，则a12q3=a2a1+a1q2=3a∴数列{an}是“M﹣数列”；（2）设数列{bn}的公差为d，易得4（b4+b5）＝S8＝64，得b4＝7，∴d＝b5﹣b4＝2，得bn＝2n﹣1，若q＝1，则b2n﹣1an＝4n﹣3，∴Tn若q＝2，则an∴b∴Tn=1×∴2Tn①﹣