河南省周口市扶沟高中2024届高三数学试题综合试卷（15）数学试题

河南省周口市扶沟高中2024届高三数学试题综合试卷（15）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．B．C．D．2．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）A． B． C． D．3．设，则复数的模等于()A． B． C． D．4．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A． B． C． D．5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A． B．C． D．7．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．8．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④10．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（）A． B． C． D．11．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（）A． B． C． D．12．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则________.14．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．15．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.16．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列是等比数列，，已知,(1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．18．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的周长.19．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20．（12分）的内角、、所对的边长分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，点是线段的中点，，求的面积.21．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程；②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，22．（10分）等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【题目详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【题目点拨】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.2、D【解题分析】

由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.【题目详解】由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，，所以是函数的一条对称轴，故选：D【题目点拨】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.3、C【解题分析】

利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【题目详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【题目点拨】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.4、B【解题分析】

分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．【题目详解】如下图所示，分别取、的中点、，连接、、，由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，，则，且，所以，，，是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，由图形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故选：B.【题目点拨】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．5、D【解题分析】

先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数图象的上方，再利用数形结合即可解决.【题目详解】由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切线斜率为，所以，解得.故选：D.【题目点拨】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.6、D【解题分析】试题分析：由已知可得有两个不等实根.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.7、B【解题分析】

利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【题目详解】依题意，函数与函数关于直线对称，则，即，又，所以，.故选：B.【题目点拨】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.8、B【解题分析】

变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.【题目详解】解：依题：，又三点共线，，解得．故选：．【题目点拨】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程：三点共线⇔(为平面内任一点,)9、D【解题分析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④.【题目详解】对于①，若，，，，两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若，，则，故②正确；对于③，若，，，当，则与不平行，故③错误；对于④，若，，，则，故④正确；故选：D【题目点拨】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.10、C【解题分析】

需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，，结合比值与正切二倍角公式化简即可【题目详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，，，，所以.故选：C【题目点拨】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题11、B【解题分析】

，将,代入化简即可.【题目详解】.故选：B.【题目点拨】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.12、B【解题分析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、13【解题分析】

由导函数的应用得：设，，所以，，又，所以，即，由二项式定理：令得：，再由，求出，从而得到的值；【题目详解】解：设，，所以，，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案为：13【题目点拨】本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题14、【解题分析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，则：，，且，，据此可知在方向上的投影为.【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、5【解题分析】

执行循环结构流程图，即得结果.【题目详解】执行循环结构流程图得,结束循环，输出.【题目点拨】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.16、【解题分析】

由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)（2）【解题分析】

本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．（1）设等比数列{an}的公比为q，则q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和解：（1）（2），两式相减：18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.【题目详解】（1）由题设得.由正弦定理得∵∴，所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【题目点拨】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由题意可知为正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，设平面的法向量为，则令，则，∴由（1）知平面的法向量可取为∴∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【题目点拨】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出的值；（2）由题意得出，两边平方，化简得出，根据三角形面积公式，即可得出结论.【题目详解】（1）由正弦定理得即即在中，，所以（2）因为点是线段的中点，所以两边平方得由得整理得，解得或（舍）所以的面积【题目点拨】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题.21、（1）见解析，12.5（2）①②20【解题分析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.【题目详解】解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列为期望为（2）因为所以，，；②，设，所以当递增，当递减所以约惠值最大值时的值为20【题目点拨】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.22、（1），；（2）.【解题分析】