2024届新疆昌吉市高三下学期数学试题开学考试卷

2024届新疆昌吉市高三下学期数学试题开学考试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（）A． B． C． D．2．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）A． B． C． D．3．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是()A． B． C． D．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．5．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米6．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．7．已知函数，若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．8．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A． B． C． D．9．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④10．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则=()A． B．1 C． D．211．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．12．若，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.14．若，则的展开式中含的项的系数为_______.15．在平面直角坐标系中，已知点，，若圆上有且仅有一对点，使得的面积是的面积的2倍，则的值为_______.16．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆：的离心率为，点为椭圆上的一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.18．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件，求事件发生的概率；（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望．20．（12分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求的值．22．（10分）已知，.（1）求函数的单调递增区间；（2）的三个内角、、所对边分别为、、，若且，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．【题目详解】由题意，，或，，不妨取或，若，则函数为，四个选项都不合题意，若，则函数为，只有时，，即是对称轴．故选：B．【题目点拨】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．2、C【解题分析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.【题目详解】根据循环程序框图可知，则，，，，，此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，故选：C.【题目点拨】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.3、C【解题分析】

先求得的渐近线方程，根据没有公共点，判断出渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，由于双曲线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，所以双曲线的离心率.故选：C【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.4、C【解题分析】

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【题目详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积，高，故体积，故选：．【题目点拨】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5、B【解题分析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【题目详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为63(厘米).故选：B.【题目点拨】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.6、D【解题分析】

先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【题目详解】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.7、C【解题分析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【题目详解】由得，在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，∴由得，解得．故选：C.【题目点拨】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．8、B【解题分析】

求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9、A【解题分析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【题目详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【题目点拨】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.10、B【解题分析】由题意或4，则，故选B．11、D【解题分析】

利用与的关系，求得的值.【题目详解】依题意，所以故选：D【题目点拨】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.12、D【解题分析】因为，所以，因为，，所以,.综上；故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【题目详解】因为，所以，又故切线方程为，整理为，故答案为：【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.14、【解题分析】

首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【题目详解】，根据二项式展开式通项：，令，解得，所以含的项的系数.故答案为：【题目点拨】本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.15、【解题分析】

写出所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于的等式，求解得答案．【题目详解】解：直线的方程为，即．圆的圆心到直线的距离，由的面积是的面积的2倍的点，有且仅有一对，可得点到的距离是点到直线的距离的2倍，可得过圆的圆心，如图：由，解得．故答案为：．【题目点拨】本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．16、【解题分析】

先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．【题目详解】解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2，平均数为：，该组数据的方差为：，该组数据的标准差为1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．【题目详解】（1）因为，所以，①又椭圆过点，所以②由①②，解得所以椭圆的标准方程为.（2）证明设直线：，联立得，设，则易知故所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.【题目点拨】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.【题目详解】（1）①当时,不等式可化为,得，无解；②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故0<x≤1;③当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x<2.综上，不等式的解集为（2）由题意知在R上恒成立，所以令，则当时，又当时，取得最小值，且又所以当时，与同时取得最小值.所以所以，即实数的取值范围为【题目点拨】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.19、（1）（2）分布列见解析，期望为20【解题分析】

利用相互独立事件概率公式求解即可;由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.【题目详解】（1）由相互独立事件概率公式可得,（2）由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30.，，，,所以，的概率分布列为0102030所以数学期望.【题目点拨】本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20、，；当时，栈道总长度最短.【解题分析】

连，，由切线长定理知：，，，，即，，则，，进而确定的取值范围；根据求导得，利用增减性算出，进而求得取值.【题目详解】解：连，，由切线长定理知：，，，又，，故，则劣弧的长为，因此，优弧的长为，又，故，，即，，所以，，，则；，，其中，，-0+单调递减极小值单调递增故时，所以当时，栈道总长度最短.【题目点拨】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.21、（1），（2）【解题分析】

(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;(2)由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可.【题目详解】（1）直线的普通方程为，即，根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，，，而，则，即，故直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程（2）点在直线l上，且直线的倾斜角为，可设直线的参数方程为：（t为参数），代入到曲线C的方程得，，，由参数的几何意义知．【题目点拨】熟练掌握极坐标与直角坐标