2023年高考第三次模拟考试卷-数学（全国甲卷理）（全解全析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要

求的。

1.已知集合A={x[0<x<4,xeN},B={x|-3<x42,xe/?},贝i]A-B=()

A.{x|0<x<2}B.{x|-3<x<4}C.{1,2)D.{0,1}

【答案】C

【分析】根据交集的概念和运算直接得出结果.

【详解】由题意得，

A={1,2,3},

所以AcB={l,2},

故选：C.

2.设复数z满足出=i,则|z|=

Z

A.1B.5/5C.3D.5

【答案】B

【解析】由出=，•可得z=%=l-2i,再利用复数模的公式可得结果.

ZI

【详解】,

Z

2+i2।

z=­；—=—+1

=4+1=1-2八

I

：.|z|=V1+4=75,故选B.

3.某单位职工参加某4Pp推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答

20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况

如图：

根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是()

A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致

B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

【答案】D

【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断.

【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：

1号员2号员3号员4号员5号员6号员7号员8号员9号员10号员

工工r.工工工I工工工

第一次

65808580909090859090

作答

第二次

80859090959095909595

作答

第三次

8590959510010010095100100

作答

对于A：第一次作答的平均分为：—x(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,

第二次作答的平均分：：x(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,

第三次作答的平均分：—x(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,

故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；

QASX10—5

对于B：第一次作答的正确率：20x10~X1Q0%"84-5%，

905x10-5

第二次作答的正确率：工二,°X1OO%=90.5%,

20x10

第三次作答的正确率：20x10X100%=96%，

故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；

对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：100-85=15,

该单位职工一天中第二次作答得分的极差：95-80=15,

故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；

对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：

,=白*1(85-96'+(90-96)2+(95-96)2x3+(100-96)2x5]=2^6,

该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：

Mx[(65-84.5)2+(80-84.5)2x2+(85-84.5)2x2+(90-84.5)2x5]=J57.25＞序=2限,

故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，故选：D.

4.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为

△k

_______I一「一

17^1-

A.16B.8C.4D.20

【答案】A

【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高

为4,由棱锥的体积公式可得结果.

【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，

一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4,

二该几何体体积为:x2x6x4=16,故选A.

5.将函数/(x)=sin(2x+0)的图象沿x轴向左平移J个单位后，得到一个偶函数的图象，则。的一个可能取值

O

为()

n3万-713几

A.一B.—C.——D.—

4844

【答案】A

【分析】根据平移解析式之间的关系可以求出/*)=sin(2x+0)平移后的解析式,再根据图象的性质可以求出

关于。的等式,根据所给的选项选出一个正确的答案.

【详解】因为函数/（x）=Sin（2x+。）的图象沿“轴向左平移!个单位，所以平移后函数的解析式为:

O

冗JT

g(x)=sin[2(x+w)+°]=sin(2x+w+。),该函数是偶函数,所以有

生+。=左左+2（左€2）=。="1+工伙62）,结合四个选项,当女=0时，</>=-.

4244

故选：A

6.张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和

大于5的概率是（）

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】B

【分析】列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】从这5张卡片中随机取出2张，

则（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,

共10个基本事件，

其中卡片上的数字之和大于5有（2,4）,（3,4）.

21

所以取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是益=；

故选：B

7.函数的部分图像大致为（）

【解析】计算特殊值/（。）=。，川=七1>°,利用排除法可得是正确选项•

【详解】"。）=°,排除人D；削=*＞。，排除所

故选：c.

8.电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景.某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用

一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机尸绷紧绳索，为地球提供动力.若绳索

比地球赤道长2cm,则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6400km；当9很小时，一二-小熊）

cos。2

tan。一()

3

B.11cmC.9mD.11m

【答案】c

【分析】为方便计算，可记地球半径为凡绳索比地球赤道长2x,再根据图形关系列式表达绳索比地球赤

道长和发动机距地面的高度的表达式，再联立求解即可

Rtan6-R8=x=0.01,

【详解】如右图.记地球半径为凡绳索比地球赤道长2x=0.02,则《

---R=h.

COS。

i

-ROX,

由题述近似可得;3

-R02=h,

12

9.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S-S2,体积分别为匕、匕.若它们的侧面积相等，且今=:,则*的值

是（）

A.2B-13D-7

【答案】B

【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为彳，4和九，4，然后根据圆柱的面积公式和体积公式列式计算

求解即可.

【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为小弓和4,h，

由今=；，得父=7,则:=T

力44岑4r22

由圆柱的侧面积相等,得2g4=24哂,即哂=四,

所以)=巴萼=2='

V27cr2h,r22

故选：B.

。2

10-已知椭圆E：》%—>0）的上顶点为8,右焦点为尸，延长即交椭圆E于点C,

BF=2FC（Z>1）,则椭圆E的离心率0=（）

DIA2-1D・篇

A.B.----C.

A+1A2+I

【答案】A

（1+2）。

【解析】设C（x。,%），由8尸=可得，「，然后代入椭圆方程化简即可.

h

%=-I

(l+2)c

/=

c=2(x()-c)2

【详解】设。（内）,%），则由8/=4尸C=<=«

一〃二2%b

%=一I

代入椭圆E的方程，整理得：0等"+5=1

-14—1

所以e?=

(1+4)214-Z

所以e

故选：A

11.设函数〃x）=sin（ox+T在区间（0,无）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是（

)

5B5191381319

A.，-B.C.D.

36~3'~666

【答案】C

【分析】由X的取值范围得到。x+TqT的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：依题意可得0>0,因为X€(0,打)，所以3%+5€(?,。万+?

要使函数在区间(0,7)恰有三个极值点、两个零点，又丫=$皿孙xe[?,3〃J的图象如下所示:

12.设a=1.251nl.25力=0.2e02,c=0.25,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

【答案】B

【分析】将。也c表示为分式形式，构造函数〃x)=(l-x)e，-l,求导求单调性，将(代入，变形即可得b,c之

间的大小关系，根据f(x)与/(0)大小关系，变形后可得x<ln」一，将!代入变形即可得。之间关系，进

1一X5

而可得选项.

【详解】解：设函数f(x)=(l-x)e-l,xe[0,l),

所以则ra)=-xe'<0,所以〃x)在[0,1)上单调递减,

55II

因为a=1.251nl.25=」n3,/,=0,2ea2=-e5,c=O.25=-,

4454

£1111

因此一e5-l</(0)=0,则即…,

5

当xe(O,l)时，由/⑺=(1户_1<〃0)=0,W0<ex<—,

1-X

因此x<In---,所以一<In—,即1<5In—,

1-x544

故;4吟即…，故"cm

故选：B

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。

13.已知向量。=(1,2),向量6=(3/),若(a+A)_La,则/=.

【答案】-4

【分析】先求得a+〃的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示，列方程，解方程求得/的值.

【详解】依题意a+b=(4,2+f),由于(。+匕)，“，故(a+6)-(l,2)=(4,2+f)-(l,2)=8+2f=0,解得f=-4.

14.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是.

【答案】(x+2[+(>-■!)=今

【分析】结合已知条件分别求出A、B的坐标，然后分别求出圆心和半径即可求解.

【详解】不妨设直线3x-4y+12=0与X轴和y轴的交点分别为4,B,

令尸0,得x=-4,即4-4,0)：再令x=0,得y=3,即8(0,3),

3

从而线段AB的中点为(-2,1),且为所求圆的圆心，

又因为|A3|=J(Y_0)2+(O_3)2=5,所以所求圆的半径为g,

故答案为：(x+2)-+(y-g)=~4'

15.从5个男生，4个女生中任意选两个，则至少有一个女生的概率是.

【答案】

【分析】求出所有的基本事件的个数，求出对应事件包含的基本事件的个数，再求出事件“至少有一个女生”

的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求出事件的概率.

【详解】从5个男生，4个女生中任意选两人所有取法：C；=36,

取的两人中不含女生的取法有=10,

至少有个女生的取法有36-10=26,

至少有一个女生的概率是第=”.

36IX

故答案为：

1O

16.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若也4=3垩0=]巨，则该三角形周长的

ab2

最大值为.

【答案】域

2

【分析】利用正弦定理化简式子，求出tanB的值，进而求出8的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求

出a+c4#，即可求出三角形周长的最大值.

【详解】由正弦定理变形有：也4=半，又因为包工=叵上0=立，所以gcosB=sin8,则

abab2

tanB=6,;.B=9,又因为6cos8=也,所以26cosB26义;卮

3b

b2-^—JT-^：

乂因为It2-a2+c2-2accosB-(a+cf-3ac>(a+c)2=；(a+c)?,

所以(a+c)24402=4x：=6=“+c4",当且仅当“a=c•”时取等.

则该三角形周长的最大值为a+/;+c="+如=娅.

22

故答案为：巫.

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共6()分

17.羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球.设

在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6,各回合发球的胜负结果相互独立.若在一局

比赛中，甲先发球.

(1)求比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为2:1的概率；

(2)4表示3个回合后乙的得分，求4的分布列与数学期望.

【答案】(D0.336(2)见解析

【分析】(I)记"第i回合发球，甲胜”为事件A,,i=l,2,3,且事件4相互独立，设“3个回合后，甲与乙

比分为2比I”为事件A,由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求出比赛进行3个回合后，甲

与乙的比分为2比1的概率；

(2)J的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率，由此求出4的分布列和数学期望风自).

【详解】解：记“第i回合发球，甲胜”为事件A,，i=l,2,3,且事件可相互独立.

(1)记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件A,

则事件A发生表示事件AA2无或AWX或A,发生，

且2A3,A44，A4A互斥.

又尸(Aa可)=0.6X0.6X0.4=0.144,

尸(A耳A3)=0.6x0.4x0.4=0.096,

p(44%)=0.4X0.4X0,6=0.096.

由互斥事件概率加法公式可得

P（A）=尸（444+a9+*43）

=P（A4无）+p（+尸（]44）

=0.144+0.096+0.096=0.336.

答：3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336.

（2）因J表示3个回合后乙的得分，则4=0,1,2,3.

PC=0）=p（AAA）=0.6X0.6X0.6=0.216,P（《=1）=0.336,

尸e=2）=p（A4%+

=aA4%）+P（IA2无）+P（AM3）

=0.6x0.4x0.6+0.4x0.4x0.4+0.4x0.6x0.4=0.304.

P（4=3）=P（AHA）=0.4X0.6X0.6=0.144.

所以，随机变量g的概率分布列为

0123

P0.2160.3360.3040.144

故随机变量J的数学期望为E（J）=0x0.216+1x0.336+2x0.304+3x0.144=1.376.

答：自的数学期望为1.376.

一4

18.已知数列｛。〃｝满足an+i=f，且a/=3（〃£N*）.

an+」

(1)证明：数列是等差数歹(l;

U-2J

(2)求数列｛〃〃｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

2/?+10

（2）4〃=

〃+3

111

【分析】⑴由已知条件转化可得————7=:，底“，进而结合等差数列的定义即可得出结论;

%-2an-24

(2)利用等差数列的定义可求出数列-二的通项公式，进而求出结果.

(A-2J

1_1q+2y-2+4_l]

【解析】（1）证明由2=瓦-42=4a.-8=4（a.-2）=l-li

4,+2

即——Z故数列是等差数列.

4+1.2

iI.、1"+3

⑵由⑴知U=二+(〃fy=h

19.在四棱锥中，PD1JgjgfABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y/3.

（1）证明：BDYPA-,

（2）求PD与平面R4B所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）骼.

【分析】（1）作FE,CF1ABTF,利用勾股定理证明AO2用＞根据线面垂直的性质可得

PD1BD,从而可得平面皿＞，再根据线面垂宜的性质即可得证；

（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【详解】（1）证明：在四边形A8C。中，作。于E,CFJ.AB于F,

因为CD//A民AD=C£）=C8=1,A3=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以AE=B尸=],

2

松DE=,BD=VDE2+BE2=6，

所以心+5。2=452，

所以AOJBD,

因为PD_L平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以叨J_B£＞，

又PDcAD=D，

所以8£）工平面PAD,

又因为P4u平面PA。，

所以8D_LK4；

（2）解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

BD=6

则A（1,O,O）,B（O,0,0）,尸（0,0,,

则”=卜1,0,6）,3P=（0,-"石）,£>P=（0,0,g）,

设平面R48的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=-x+石z=0

则有｛可取

n-BP=-百y+\/3z=0

则8S（〃E=摘邛，

所以PO与平面R钻所成角的正弦值为害.

20.设抛物线<7:丫2=2妙（0>0）的焦点为尸，过F的直线交C于M,N两点，|MN1mhi=4.

（1）求C的方程；

（2）设点。（2p,0）,直线M3ND与C的另一个交点分别为A,B,当直线MN,A8的斜率存在时，分别记为

《，内.则2是否为常数，请说明理由.

【答案】（l）y2=4x；（2）是常数，理由见解析.

【分析】（1）设直线MN:x=/ny+5,N（x2,y2）,求出|MN|=玉+占+p=2p（，/+1）,得当MN与x

轴垂直时弦长最短，即得解；

（2）设4,y],N俾,丫?],/?,%]〃？,%],直线MN:x=my+l，求出如小一二—,&=---

k,

%=4%，乂=4%，得黄=4,即得解.

【解析】（1）解：设直线MN:x=my+],〃（5,芦）”（马,%），

X=tTIV+■—■

由＜*2可得丁-2p/%y-/=0,A＞0,+y2=2pm,

y2=4x

所以|=玉+/+p=加（y+%）+2,=2p（r?i2+1）,

所以当机=0,即MNHx轴垂直时弦长最短，此时|MN|=2〃=4,所以p=2,所以抛物线。的方程为丫2=44

（2）解：设加鼠,乂）乂毛,％卜半为直线M*：x=wy+1

x=my+l,c八

由｛2:可得y-4/町，-4=0,A＞0,y]y2=-4,

y=4x

k二Xf=4二--以-4

由斜率公式可得.一片_及一y+必，,-货_反一为+乂，

4444

直线MO:x=土二土y+4,代入抛物线方程可得汗-4（*一4）.＞一]6=（）,

乂y

44kk

△＞0，%%=T6,所以为=4%,同理可得以=4乂，所以右＞=不不=4"+卜）=寸，所以7t=牝

21.已知函数”x）=21nx+f+l的图象在（2"（2））处切线与直线3x-4y+2=0平行.

（1）求实数。的值，并判断了（X）的单调性；

（2）若函数g（x）=/（x）—2机一1有两个零点内,巧，且占＜*2，证明为+工2＞1.

【答案】（1）a=\,函数〃x）在（0,；）上单调递减；在g,+8）上单调递增；（2）证明见解析.

【分析】（1）求得函数的导数r（x）,由题设条件，得出/'（2）=（,求得”=1,代入导数，结合r（x）＜o和

尸（x）＞0,即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）得g（x）,根据西，j是函数g（x）的两个零点，得到山王+—=〃?,111々+/-=胆，

两式相减整理得“1-；_，构造函数g)=r」-21n«0<f<l),

_t-\求得函数的单调性与最

Ai十X。一十—'t

"221nr21nr21nr

值，即可求解.

【详解】(1)由题意函数〃x)=21nx+2+l的定义域为(0,+8),且/(无)=专卫,

因为函数“X)的图象在(2,/(2))处切线与直线3x-4y+2=0平行，

可得/'(2)=号=?,解得a=l,

所以〃x)=21nx+、+l,则广(司=言」，

由r(x)<0,即三P<0,得0<x<g,故/(X)在(0,；)上单调递减：

由/'(x)>0,即婴>0,得x>；,故/(x)在g,+8)上单调递增.

(2)由g(x)=21nx+：-2m,因为斗七是函数g(x)的两个零点，

可得In%+—!—=机，lnx,+—!—=m,

2xj2X2

两式相减，可得In%-ln%2+q—=0,

=x,-x22-11-迤

整理得即"*=短石，所以％=三?，々=^^

2%2X,21n221n^L

x?x2

令f=土，由再<%，知0<f<1,

X2

1

1—

则3=

+——-

2\nt2\nt2\nt

构造函数/7(r)=f-；-21nr(0<r<l),则有/2，«)=1+"-m=^^>0,

所以函数恤)在(0,1)上单调递增，故人⑺<仪1)=0,即<21皿,

又In，v0,所以/〉］,即号+通>1.

2\nt

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。

［选修4-4：坐标系与参数方