2023年初中学业水平考试模拟摸底卷山西卷（含答案）

2023年度初中学业水平考试模拟摸底卷（山西卷）

数学

注意事项：

1.本试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟.

2.本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成，试卷上答

题无效.

3.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应

的位置里.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四

个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列各数中，是负数的是（）

2.下列运算正确的是（

A.a3-cr=2da3+.a3=c2a,

3.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（

主视图左视图俯视图

A.正方体B.圆锥C.圆柱D.球

4.从1,2,3这三个数中任取两数，分别记为机，n,那么点（根,〃）在反比例函数y=B图

象上的概率为（）

1-1八4「2

A.—B.—C.—D.一

2399

5.如图，AB为。。的直径，A5=10cm,C、D为。上两点，若N3CD=60°,则8。

的长为（）

A.5cmB.5百cmC.-cmD.cm

22

6.如图，的顶点。与坐标原点重合，顶点/,8分别在第二、三象限，且A3,x轴,

若AB=2，OA=OB=M,则点/的坐标为（）

B.（2,-1）

C.（-2,-1）D.（2,1）

7.在_A8C中，NA5c=90。，45=1,ACf，过点A作直线m〃8C,将一ABC

绕点B顺时针旋转到如图所示位置,此时点C的对应点C恰好落在直线m上,则NCBC'的

度数为（）

C.60°D.75°

8.夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高

气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（）

D.37。。

9.如图，在ABC中，AB^AC,以点C为圆心，C3长为半径画弧，交AB于点8和。

分别以点8,。为圆心，大于1劭长为半径画弧，两弧交于点M,作射线CM交力8于点

2

E,若AE=5,8E=1,则EC的长度为（)

A.3B.710c.V1TD.2V3

10.如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，AB的长为半径作AC，

再以点Z为圆心，A3的长为半径作BP交AC于点P，则图中阴影部分的面积为（）

D.26

第□卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.分解因式：ab2-a=□

12.如图，在平面直角坐标系中，08在x轴上，口/四二四。，点N的坐标为（2,4）,将A/OB

k

绕点/逆时针旋转90。，点。的对应点C恰好落在反比例函数y=£的图象上，则上的值为

13.某校七年级篮球联赛，每个班分别要比赛36场，积分规则是：胜1场计2分，负1场计

1分.七（1）班和七（2）班为争夺一个出线名额，展开激烈竞争.目前七（1）班的战绩是17

胜13负积47分，七（2）班的战绩是15胜16负积46分.则七（1）班在剩下的比赛中至少

需胜场可确保出线.

14.如图，在平行四边形ABC。中，AE:EB=1:3,若则_C0F的面积为

15.如图，在等边中，AB=4,。为的中点，连接AO,将八绕着点A逆

时针旋转60°得到△ACO,连接BD'交A£＞于点E，则BE的长为

BDC

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程和

演算步骤）

16.（每小题5分，共10分）

（1）计算：

（6）2_（乃一3）°x（g）T+|l_0|

（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

2x—1x—\2

3x4-6x+2

2x—1x—1

解：诉5=3-2第一步,

2x-l=3（x-1）-2第二步，

2x—l=3x—3—2第三步，

一%=一4第四步，

x=4第五步,

经检验x=4是原方程的根第六步，

任务一：以上解方程步骤中，第是;

任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项

给其他同学提一条建议.

17.（7分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知ZM4N<45。，点5是射线AA/上

的一个定点，在射线AN上求作点C（C在A和N之间），使/BCN=2NA.

下面是小路设计的尺规作图过程.

作法：作线段4B的垂直平分线/,直线/交射线AN于点C,则点C即为所求.

根据小路设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：连接BC,

□直线/为线段AB的垂直平分线,

CA=,（）（填推理的依据）

□ZA=Z/WC,

□ZBCW=Z4+ZABC（）（填推理的依据）

NBCN=2/A

（3）能否在射线AN上再求作点力，使=若能简要说明作法，并使用直尺和圆

规画出图形.

18.（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为

了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）

（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

19.（8分）晋剧（山西梆子）是我国北方的一个重要戏剧剧种，也叫中路戏，是国家级非物

质文化遗产.今年我省推出文化下乡活动。某校在传统文化活动周期间拟向同学们推介晋剧,

并就“你想要听哪部晋剧曲目''调查了部分学生，选择曲目有：A.《打金枝》，B.《战宛城》,

C.《杀宫》，D《火焰驹》，E,《双锁山》，每个学生只能选择一部，根据统计结果绘制了如

下不完整的统计图.

请根据以上信息，解答下列问题:

（1）请补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，扇形A的圆心角是多少度？

（3）若该校共有2000名学生，请你估计想听《战宛城》的学生有多少人？

（4）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到想听《火焰驹》的学

生的概率是多少？

20.（8分）阅读下列材料，完成相应任务：

弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家.第一个有意识地和系统地使用字母来表示己知数、未知

数及其乘哥，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父他还发现

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切

割线定理）.

如图1,P是外一点，PC是。的切线，出是。的一条割线，与〉°的另一个交点

为B,则PC=PAPB.

证明：如图2,连接AC、BC,过点c作°的直径C。，连接AO.

□PC是。的切线，口户。，。。，

NPCD=90°,即ZPCB+NBCD=90°.

任务:

（1）请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分.

（2）如图3,PA与。相切于点4连接尸。并延长与O交于点、B、C,NP=NBAD,BC=8,

AP=3BP,连接CO.

□CD与AP的位置关系是

」求8。的长.

21.（本题9分）如图是小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为

30°,£点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家

的窗户8点的仰角为45。，居民楼与山坡的剖面在同一平面内.

AC□

B□

□

□

□

□

（1）求的高度；（结果精确到个位，参考数据：V3«1.73）

（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在

平地的速度为6m/s,上坡速度为4m/s,电梯速度为1.25m/s,等候电梯及上、下乘客

所耽误的时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？

22.（12分）综合与实践

问题情境

如图1,已知线段AB=6,射线4W_LA6,射线5N_LA3,点。在射线AM上沿着AM

的方向运动，过点。作。交BN于点C,点E是AO的中点，连接BE,将ABE

沿着8E折叠，点/的对应点为点尸，连接Ab,CF.

MNMN

ABAB

图1图2

探究展示：

CF2

(1)当NA8E=30°时，求匕y的值；

AF2

(2)如图2,延长Ab交QC于点G,当点G恰好是。。中点时，求证：四边形A8C0是

正方形；

拓展探究：

(3)在图2中，若AB=A。，直接写出°尸的长度.

23.(13分)如图1,已知抛物线了=-/+法+。与直线8。交于3(3,0),。(0,3)两点，与x

轴的另一个交点为a点〃是直线3c上方抛物线的一动点,过点河作儿〃)，尤轴，交BC

于点E.

r

图1图2

(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

(2)当点E是“。的三等分点时，求此时点“的坐标：

(3)如图2,直线AF与抛物线交于4尸两点，F|,若点。是)，轴上一点，且

^AFQ=450,请直接写出点。的坐标.

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四

个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列各数中，是负数的是（）

A.|-5|B.0C,-1D

【答案】C

【解析】

1-51=5是正数，A错误，0既不是正数也不是负数，B错误。CT是负数，

一（一|）.=1正数。所以选C。

3.下列运算正确的是（）

A.a3-a3=2a6B.a3=2a。

626

C.a^a^aD.=-Sa

【答案】D

【解析】

【分析】根据基的运算法则，合并同类型法则即可判断.

【详解】人././=。6,故此选项不符合题意.

B.a3+/=2a3,故此选项不符合题意.

C./+/=故此选项不符合题意.

D.（—2/丫=（-2）3（6）3=一8冷,正确，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了幕的运算法则，合并同类型法则，熟练掌握慕的运算法则，合并同

类型法则是解此题的关键.

3.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）

主视图左视图俯视图

A.正方体B,圆锥C.圆柱D.球

【答案】C

【解析】

【分析】根据简单几何体的三视图即可判断.

【详解】解：•••几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，

，该几何体是一个柱体，

•.•俯视图是一个圆，

，该几何体是一个圆柱体；

故选C.

【点睛】此题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟知简单几何体的三视图.

4.从1,2,3这三个数中任取两数，分别记为加，n,那么点（根,〃）在反比例函数y=［图

象上的概率为（）

Ic1c4「2

A.-B.-C.—D.—

2399

【答案】B

【解析】

【分析】根据反比例函数图象上点坐标特征可得出加〃=6,列表或画树状图找出所有〃2〃

的值，然后根据概率公式分析求解.

【详解】解：•.•点（加,〃）在反比例函数＞图象上，

mn=6.

画树状图如下:

开始

m

共6种等可能结果，其中符合题意的有2利J

点（加,〃）在反比例函数y='图象上的概率为|=

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，掌握反比例函

数图像上点的坐标特征及概率的概念是解题的关键.

5.如图，为O。的直径，AB=10cm,c、D为。上两点，若488=60°,则

的长为（）

A

A.5cmB.5百cmC.-cmD.cm

22

【答案】B

【解析】

【分析】如图：连接A。，根据直径所对的圆周角为90。可得NAD8=90°,再根据同弧

所对的圆周角相等可得N84）=N」BC£>=60。，最后根据正弦的定义列式求解即可.

【详解】解：如图：连接AD

：A3为「。的直径，

ZADB=9Q°

./BCD=60°，BD=BD

；・ZBAD=ZBCD=600

•••$缶/。48=些=立,殷=立,解得：BD=5yf3.

AB2102

故选B.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、正弦的定义等知识点，掌握“直径所对的圆周角为90°”

和“同弧所对的圆周角相等”是解答本题的关键.

6.如图，一。45的顶点。与坐标原点重合，顶点4B分别在第二、三象限，且A3,x轴，

若A6=2,OA=OB=赤,则点4的坐标为()

C.(-2,-1)D,(2,1)

【答案】A

【解析】

【分析】设AB与x轴交于点C,利用勾股定理求出。。长，根据点所在象限写出坐标.

详解】解：设A5与x轴交于点C,

VOA=OB,轴，

AC=BC=l,

OC=V(9A2-AC2=J(V5)2-!2=2.

:点/在第二象限,

.••点”的坐标为（一2,1）

故选A.

【点睛】本题考查勾股定理，点的坐标，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键.

8.在一ABC中，ZABC=90°,AB=\,ACf，过点A作直线机〃8C,将一A8C

绕点B顺时针旋转到如图所示位置,此时点C的对应点C恰好落在直线m上，则NCBC'的

度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【解析】

【分析】由勾股定理可求出BC=2,再根据旋转的性质可求出8C'=BC=2.由平行线

4R1

的性质可知/B4C'=90。，ZCBC'=ZAC'B.又可求出一；=一,由特殊角的三角函数

BC2

值得出ZACB=30°,从而得出ZCBC'=30°.

【详解】由题意可求出在RtAABC中，BC=JAC?_斗4=_俨=2.

由旋转的性质可知BC'=BC=2,

m//BC.

NBA。'=180°—ZABC=90°,NCBC'=ZACB.

又AB=\，

sinZAC'B=^-=-,

BC'2

ZACB=30°,

ZCBC'=30°.

故选A.

【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值.熟练掌握

上述知识点并利用数形结合的思想是解题关键.

8.夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高

气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（)

C.33℃D.37℃

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得.

【详解】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多,

则这组数据的众数是33。（2,

故选：C.

【点睛】本题考查了众数，熟记定义是解题关键.

9.如图，在工ABC中，AB=AC,以点C为圆心，C8长为半径画弧，交A6于点8和。,

分别以点8,。为圆心，大于,6〃长为半径画弧，两弧交于点作射线CM交N8于点

2

E,若AE=5,BE=1,则EC的长度为（）

A

A.3B.V10C.VTlD.2g

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本作图可知CE1AB,根据等腰三角形的性质得到AC=6,然后利用勾

股定理求解即可.

【详解】解：由作法得CE1AB,

/.ZA£C=90°.

•：AE=5,BE=1

AC=AB=BE+AE=5+1=6,

在RtACE中，CE=\l6-52=d,

故选：c.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，作图-作垂线，以及勾股定理，得出NAEC=90°是

解答本题的关键.

10.如图，在边长为4的正六边形A5CZJE中，先以点8为圆心，AB的长为半径作AC，

再以点”为圆心，A8的长为半径作BP交AC于点P，则图中阴影部分的面积为（）

AC

B

C.46T

A.473+—B.46D.273

3

【答案】B

【解析】

【详解】解：如图，连接AP、PB,过点P作PGLA8,上任取一点M,

由题意可知：PA=PB=AB=4<

.—245是等边三角形，ZPBA=60°,

PG1AB,

pQ

.•在RtPGB中,sin60°=——

PB

・•.PG=PBsin60。=4x走=26,

2

SPAB=gx4x,

NPBA=ZPAB=60°,

60°a228万

S扇形PA8=S扇形A8P=----------X7VX4=—

360°3

S弓形8Mp=S扇形户AB-S-AB普~-4日

•••六边形ABCDEF是正六边形,

ZABC=120°,

c120°916万

崩形ABC360。3

S阴影=S扇形ABC-S扇形MP-S弓形BMP>

_16万8%8万

・“阴影n40,

二阴影部分的面积为4AQ,

故选：B.

E

【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、三角函数值和正多边形的内角

和，熟练运用扇形的面积公式是解题的关键.

第1卷非选择题（共90分）

三、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.分解因式：ab2-a=______□

【答案】a（6+1）（/）-1）

【解析】

【详解】解：原式（/>+1）（/,-1）,

故答案为a（6+1）（b-1）

【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关

键.

14.如图，在平面直角坐标系中，。8在x轴上，口/80=90。，点力的坐标为（2,4）,将

绕点4逆时针旋转90。，点。的对应点C恰好落在反比例函数y='的图象上，则左的值为

X

【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数产七k

中，即可求出k的值.

【详解】DOB在x轴上，ABO=90。，点A的坐标为（2,4）,□OB=2,AB=4

□WDAOB绕点A逆时针旋转90°,□AD=4,CD=2,KAD//x轴

□点C的坐标为（6,2）,

k

□点O的对应点c恰好落在反比例函数尸一的图象上，

x

□k=2x6=12,

故答案为12.

【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

15.某校七年级篮球联赛，每个班分别要比赛36场，积分规则是：胜1场计2分，负1场计

1分.七（1）班和七（2）班为争夺一个出线名额，展开激烈竞争.目前七（1）班的战绩是17

胜13负积47分,七（2）班的战绩是15胜16负积46分.则七（1）班在剩下的比赛中至少

需胜场可确保出线.

【答案】4

【分析】由题意可知，七（1）班还剩6场比赛，七（2）班还剩5场比赛，七（2）班最多

能够得56分，七（1）班要想出线，得分必须超过56分，设七（1）班在剩下的比赛中需胜

x场，由此列出不等式，解不等式即可求解.

【详解】由题意可知，七（1）班还剩6场比赛，七（2）班还剩5场比赛，七（2）班最多

能够得：46+2x5=56（分），七（1）班要想出线，得分必须超过56分，设七（1）班在剩下

的比赛中需胜x场，则七（1）班的总得分为：［47+2x+（6-x）］分，

□47+2x+（6-x）>56,

解得，x>3,

■x取整数，

□x最小为4,

即七（1）班在剩下的比赛中至少需胜4场可确保出线.

故答案为4.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意得到七（1）班要想出线得分必须超

过56分是解决问题的关键.

14.如图，在平行四边形A8C。中，AE:EB=l:3,若S^EF=1,则C"的面积为

【答案】16

【解析】

【分析】根据题意可得：AAFESACFD,根据相似的性质可得：SMFE:Sw=l：16,

且=1,即可求得一CDf的面积为16.

【详解】□在YABCD中，AE:EB=1:3,

□A£:CD=1:4,ABCD

：.4FAE=NFCD,

,/ZAFE=NCFD,

□AAFESACFD,

:.AF:CF=AE:CD=1:4,

LIS&AFE：S^CFO=1：16,且S&AEF=1，

口S.CFD=16，

故答案为：16.

【点睛】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键.

15.如图，在等边中,AB=4.。为BC的中点，连接AO,将...ABD绕着点A逆

时针旋转60°得到△ACD,连接BD,交A。于点E,则BE的长为_______.

A

平,

BDC

【答案】"

【解析】

【分析】过点作DEJ_AD于点/，过点W作D'G_L5C交8C的延长线于点G,根

据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质得出8。'=2近，证明

BZ)£S：Q£E，根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点M作。4)于点尸，过点£>C作。'GL5C交的延

长线于点G,

在等边2ABe中，A6=4,。为BC的中点，

AD1BC,BD^-BC^-AB^l,

22

AD=6BD=20，

□将t.ABD绕着点A逆时针旋转60°得到^ACD',

；.NDAD'=60。,AD=AD'-NACD=NABO=60。,

/.是等边三角形，

D'F=—AD=3,

2

•:ZD'CG=180-ZACB-ZACD'=60°,

NCD'G=30。，

：.CG=-CD'=-BD=\,

22

D，G=£CG=6,

在RtAQ'G中，3G=Z?C+CG=4+1=5,

BD'=^BG2+D'G2=收+（可=2百，

VBDLAD,DT±AD,

，BD//D'F，

，LBDESAFE，

.BEBD2

,,赤一同-5'

/.BE=^B»=毡~，

55

故答案为：巫.

5

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾

股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程和

演算步骤)

16.(每小题5分，共10分)

(1)计算：

(V3)2-(^--3)°x(1)-'+11-^1

【答案】⑴0

【分析】(1)根据零次幕，负整数指数累，实数的混合运算进行计算即可求解；

【详解】解：(1)—+I1-V2I

=3-1x2+72-1

=V2;

(2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

2x—1x—12

3x4-6x+2

2x—1x—1

解：许厂排一2第一步,

2x-l=3(x-1)-2第二步，

2x-l=3x-3-2第三步，

—x=~4第四步，

x=4第五步，

经检验x=4是原方程的根第六步，

任务一：以上解方程步骤中，第是;

任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项

给其他同学提一条建议.

【答案】

（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了3（x+2）；任务二：x=-y；任务三：答

案不唯一，如：括号前面是"一"，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方

程的区别等.

（2）根据分式方程的解法来进行计算求解.

【详解】解：（1）原式=26-3-2X6+1=-2

（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了3（x+2）

2x—1x—1

任务二:将2变形得

3x+6x+2

2x—1x—1

3（x+2）x+2

去分母得

2x-l=3（x-l）-2x3x（%+2）,

去括号得

2x-1=3%—3—6x—12r

移项并合并同类项得

5x=-14,

14

解得工=-1,

14

经检验x=-是原分式方程的根,

14

」原分式方程的解是x二-三；

任务三：答案不唯一，如：括号前面是"一"，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简

与解分式方程的区别等.

【点睛】本题考查了实数的混合运算运算、分式方程的解法.理解负整数指数幕、零指数幕、

最简二次根式，特殊角的三角函数值和分式方程的解题步骤是解答关

18.(7分)数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知WW<45。，点8是射线AM上

的一个定点，在射线AN上求作点C(C在A和N之间)，使/3CN=2/A.

下面是小路设计的尺规作图过程.

作法：作线段A8的垂直平分线/,直线/交射线AN于点C,则点C即为所求.

根据小路设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形：(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明：

证明：连接8C,

□直线/为线段AB的垂直平分线，

□。=,()(填推理的依据)

□ZA=ZABC,

□ZBCN=ZA+^ABC()(填推理的依据)

NBCN=2/A

(3)能否在射线AN上再求作点。，使=若能简要说明作法，并使用直尺和圆

规画出图形.

【答案】(1)见解析

(2)C8；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和

(3)能，作法与图形见解析

【分析】(1)根据线段垂直平分线的作法：分别以点A、点5为圆心，以大于;AB长为半

径，在线段48两侧画弧，交线段A8两侧于两点，连接两交点，交AN于点C,据此作图

即可;

(2)根据线段垂直平分线的性质，得出C4=CB,再根据等边对等角，得出NA=NABC,

再根据三角形外角的性质，得出ZBaV=N4+N4BC,再根据等量代换，即可得出结论；

(3)以点5为圆心，BC长为半径作弧，交射线AN于另一点。，则点。即为所求：根据

等边对等角，得出/BCD=N5£)C=2ZA,进而即可得出NAE)8=2/A.

【详解】(1)解：补全的图形如图所示；

(2)证明：连接BC,

□直线/为线段AB的垂直平分线，

CA=CB(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)，

□ZA=ZABC,

□ZBC7V=ZA+ZABC(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，

□NBCN=2NA.

故答案为：C3；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和

(3)解：能.以点8为圆心，8c长为半径作弧，交射线AN于另一点。，则点。即为所

求.

口NBCN=2NA,

又［BC=BD,

NBCD=NBDC=2ZA,

即=

【点睛】本题考查了尺规作图能力以及线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的

性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键.

18.（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为

了让顾客得到实惠.现决定降价销售，己知这种菠萝蜜销售量近千克）与每千克降价x（元）

（0<X<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

【答案】（1）y=20x+60（0<x<20）

（2）12元

【解析】

【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式.

（2）根据总利润=每千克的利润x销量，列一元二次方程，解方程即可.

【小问1详解】

解：设y与x之间的函数关系式为〉=米+。（左。0）,

/、/、（2左+/?=100

由题意可知，将（2,100）和（5,160）代入尸质+人中得，15^+/7_160

k=20

解得:

b=60

■■-y与x之间的函数关系式为y=20x+60（0<x<20）

故答案为：y-20x+60（0<x<20）

【小问2详解】

解：根据题意得（60—x—40）x（20x+60）=2400

整理得：X2-17X+60=0-

解得：百=5口々=12

又要让顾客获得更大实惠，

答：这种干果每千克应降价12元.

【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用.解题的关键在于

是否能根据利润公式准确列出方程.

19.（8分）晋剧（山西梆子）是我国北方的一个重要戏剧剧种，也叫中路戏，是国家级非物

质文化遗产.今年我省推出文化下乡活动。某校在传统文化活动周期间拟向同学们推介晋剧,

并就“你想要听哪部晋剧曲目''调查了部分学生，选择曲目有：A.《打金枝》，氏《战宛城》,

C.《杀宫》，D《火焰驹》，E,《双锁山》，每个学生只能选择一部，根据统计结果绘制了如

下不完整的统计图.

调查结果条形统计图调查结果扇形统计图

图①图②

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）请补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，扇形A的圆心角是多少度？

（3）若该校共有2000名学生，请你估计想听《战宛城》的学生有多少人？

（4）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到想听《火焰驹》的学

生的概率是多少？

【答案】（1）补图见解析；（2）54°；（3）500人；（4）（

【分析】（1）根据E的特征，结合两种统计图求出总人数，进而求出B,D组对应的人数即可;

（2）先求出A组所占的百分比,再乘以360。即可；

（3）用2000乘以B组所占百分比即可；

（4）根据概率=口组人数+总人数即可解题.

【详解】解：（1）补全条形统计图如解图;

调查结果条形统计图

调查学生的总人数为24+30%=8（）（人），选择B的人数为80x25%=20（人），选择D的

人数为80-12-20-8-24=16（人），据此补全条形统计图.

（2）选择A的人数所占百分比为1卷2xl00%=15%,

o（）

二扇形A所对应扇形的圆心角度数为360°x15%=54°-

（3）2000x25%=500（人），

•••估计想听《战宛城》的学生有500人：

（4）共有80人，其中想听《火焰驹》的有16人，

：.p（正好抽到想听《火焰驹》的学生）=要=2，

8（）5

,随机抽取一人正好抽到想听《火焰驹》的学生的概率是g

【点睛】本题考查了统计与概率，用样本信息估计总体信息，属于简单题，找到两种统计图之间

的信息关联是解题关键，主要失分原因是：口找不到扇形统计图和条形统计图中的对应关系；

I补全条形统计时作图不规范；；在计算概率时发生错误.

20.（8分）阅读下列材料，完成相应任务：

弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家.第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知

数及其乘累，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父他还发现

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切

割线定理）.

如图1,尸是。外一点，PC是’。的切线，出是。的一条割线，与0的另一个交点

为B,则PC-PAPB.

证明：如图2,连接AC、BC,过点C作。的直径C。，连接A0.

□PC是，。的切线，□尸C_LC£),

ZPCD=90°,即NPCB+NBCD=90°.

(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分.

⑵如图3,上4与O相切于点/,连接尸。并延长与：。交于点8、C,ZP^ZBAD,BC=S,

AP=3BP,连接8.

□CO与”的位置关系是.

：3求8。的长.

【答案】(1)见解析

(2)口平行；口台。：三32

【分析1(1)先根据切线的性质和圆周角定理证得NPCB=NB4C,进而证明_PCB^PAC,

利用相似三角形的性质求解即可；

(2)根据圆周角定理证得"=根据平行线的判定即可得出结论；

(3)连接AC,根据已知和(1)中结论和△/VRsZipc4求得AP=3,AC=3AB,再利

用勾股定理求得A8=1Jid,然后证明一期BSdAQb,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：如图2,连接AC、BC,过点C作O的直径以＞,连接AO.

□PC是。的切线，□PC±CD,

□ZPCD=90°,即ZPCB+/BCD=90°.

□8是直径，

□ZC4D=90°,即ND4B+N84C=90°,

口/DAB=/BCD,

□/PCB=/BAC,

□ZP=ZP,

□▲PCBsPAC,

□PC:PA=PB:PC,

□PC?=PA,PB、

（2）解：□□ZDCB=ZZMB,ZP=ZDAB,

口NP=NDCB,

DCD//AP,

故答案为：平行；

□如图3,连接AC,

□R4与＜0相切，PC为割线，

□PA2=PBPC，

□AP=3BP,

口PC=9BP,

口BC=8BP=8,即肝=1,

□AP=3,

由（1）可知，APABS^PCA,

\JPA:PC=AB:AC=3:9,

口AC=3AB,

在町ABC中，ABAC=90°,

由勾股定理可知，AB2+AC2=BC2,

□AB2+（3AB）2=BC2,gp10AB2=82,

由（1）中证明过程可知NP3=NAZ汨，又NP=N84Q,

口”ABsADB,

\JAB:DB=PB:ABf即1质:BO=I：［M

32

□BD=—.

D

图3

【点睛】本题考查圆的切线和割线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的

判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质探究线段

间的数量关系是解答的关键.

21.（本题9分）如图是小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为

30°,E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家

的窗户B点的仰角为45°,居民楼与山坡的剖面在同一平面内.

□

□

□

□

□

□

（1）求3c的高度；（结果精确到个位，参考数据：V3«1.73）

（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在

平地的速度为6m/s,上坡速度为4m/s,电梯速度为1.25m/s,等候电梯及上、下乘客

所耽误的时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？

【解析】

（1）如图，作EFLBC于点F,作EGLCD,交CD的延长线于点G,

得矩形EFCG,

:.EF=CG,EG=FC,.......................................................................................................................2分

根据题意可知：C£>=30米，ZBEF=45°,£>E=40米，NEDG=30。,

，£6='。£=20米，.....................................................................3分

2

...DG=>5EG=200米,

...EF=GC=GD+CD=（20>/3+30）米，

BF=EF=（2（）6+30）米................................................................4分

BC=BF+FC=B尸+EG=200+30+20=20百+50,85（米）........................5分

答：BC的高度约为85米；.................................................................6分

（2）根据题意得：30+6+40+4+85+1.25+3x60=263（秒），............................8分

5分=300秒，V263<300,

小开能在闭馆前赶到图书馆.................................................................9分

22.（12分）综合与实践

问题情境

如图1,已知线段AB=6,射线40LA8,射线5N_LAB,点。在射线A"上沿着AM

的方向运动，过点。作。C交于点C,点E是A£＞的中点，连接BE,^.ABE

沿着2E折叠，点N的对应点为点凡连接Ab,CF.

探究展示：

(1)当NABE=30°时，求害的值;

AF2

(2)如图2,延长交。C于点G,当点G恰好是OC中点时，求证：四边形ABCQ是

正方形；

拓展探究：

（3）在图2中，若A5=AZ）,直接写出CF的长度.

【答案】（1）-

3

（2）见解析（3）9叵

5

【解析】

【分析】（1）根据题意可知£EBF&CBF,可得ZCFB=NEFB=90°,由NFBA=60°,

BF=BA，可得寺为等边三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半解题即可；

APAD

（2）先推导_A5ES_D4G,则有==，代入可求DA长，即可证明结论；

DGDA

（3）过尸点作PQ