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文档简介

第5章留数

本章学习目标1.了解孤立奇点的概念;2.会求可去奇点,本性奇点;3.熟练掌握极点的求法;4.会求留数;5.熟练掌握留数定理;6.会用留数定理计算积分;7.了解留数的一些应用;5.1孤立奇点5.1.1孤立奇点的概念5.1.2孤立奇点的分类根据展开的罗伦级数的不同情况将孤立奇点作如下分类:1.可去奇点2.极点3.本性奇点5.1孤立奇点5.1.1孤立奇点的概念定义1如果函数在处不解析,但在的某个去心邻域内处处解析,那末称为的孤立奇点.1可去奇点定义2如果罗伦级数中不含的负幂项,那么孤立奇点称为的可去奇点.这时在它的孤立奇点的去心邻域内的罗伦级数实际上就是一个普通的幂级数例如是的可去奇点因为在的去心邻域内的罗伦级数为2极点定义3如果的罗伦级数中只有有限多个的负幂项,且其中关于的最高幂为,即那么孤立奇点称为的级极点.3本性奇点定义4如果罗伦级数中含有无穷多个的负幂项,那么孤立奇点称为的本性奇点.5.1.3函数的零点与极点的关系定理(1)如果是的级零点,则是的级零点;(2)如果是的级极点,则是的级零点,反过来也成立.例1试求的孤立奇点解因为其中在解析,并且似乎是函数的二级极点,其实是一级极点.由此可见,我们在求函数孤立奇点时,不能一看函数的表面形式就急于做出结论.例2试求的孤立奇点解:因为其中在解析,并且似乎是函数的三级极点,其实是二级极点.由此可见,我们在求函数孤立奇点时,不能一看函数的表面形式就急于做出结论.5.2留数5.2.1留数概念5.2.2留数定理定理一(留数定理)设函数在区域内除有限个孤立奇点处处解析.是内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线,则

(5.2.2)一、如果是的可去奇点,那末因为此时在的展开式是泰勒展开式,所以.二、如果是的本性奇点,那末那就往往只能用在展开成罗伦级数的方法求三、如果是的极点我们有以下三个计算留数的规则.规则1如果是的一级极点，那末

（5.2.3）三、如果是的极点规则2如果是的级极点，那末

（5.2.4）规则3设及在都解析,如果

那么是的一级极点，而

(5.2.5)例3计算积分为正向圆周:解:根据规则1,有同理因此例3我们也可用规则3来求留数:因此例4求在处的留数.解:应用规则3*5.3.1在无穷远点的留数关于在无穷远点的留数的计算,我们有以下的规则:规则4(5.3.3)*5.4.1留数在定积分计算上的应用复变函数是一门工程数学，在工程技术上有许多应用,复变函数在稳定平面流场和静电场以及在工程技术上都有许多用,由于涉及到许多专业知识,因此我们在此只简述一点留数在定积分计算上的应用.在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分

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