向量难题附加解析

第5页（共11页）2016年02月12日高中数学组卷一．选择题（共4小题）1．（2015•天津校级一模）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为（）A．﹣1 B．1 C． D．2．（2015•哈尔滨校级三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（）A． B．1 C．2 D．33．（2014•安庆三模）如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（）A． B． C． D．4．（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二．填空题（共6小题）5．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．6．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．7．（2014•余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是．8．（2014•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．9．（2010•武昌区模拟）△ABC的面积为1，，P为△ABC内一点，且，则△BCP的面积为．10．（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．

【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比．4．（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二．填空题（共6小题）5．（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．6．（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，解题的关键在于发现规律：AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP．7．（2014•余杭区校级模拟）如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是[0，16]．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C（2，4），D（﹣2，4），P（2cosα，2sinα），得到、坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得=16﹣16sinα，再结合α∈[0，π]，不难得到的取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，（y≥0），C（2，4），D（﹣2，4）因此设P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]∴=（2﹣2cosα，4﹣2sinα），=（﹣2﹣2cosα，4﹣2sinα），由此可得=（2﹣2cosα）（﹣2﹣2cosα）+（4﹣2sinα）（4﹣2sinα）=4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα化简得=16﹣16sinα∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]∴当α=0或π时，取最大值为16；当α=时，取最小值为0．由此可得的取值范围是[0，16]故答案为：[0，16]【点评】本题给出正方形内半圆上一个动点，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识，属于中档题．8．（2014•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴||||=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵=（+），∴||2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（2010•武昌区模拟）△ABC的面积为1，，P为△ABC内一点，且，则△BCP的面积为．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】在△ABC中，作出向量，由向量的几何意义，三角形的面积公式，且△ABC的面积为1，可以求出△BCP的面积．【解答】解：如图，在△ABC中，作出，平移，其中，△ABC的面积为：S==sinA=1，而△ADE，△CEP，平行四边形BDEP的面积和为：=||•sinA++==，所以△BCP的面积为：1﹣=．本题也可以通过左移点P：个单位，下移个单位，到点A．知△BCP边BC上的高h2是△ABC边BC上的高h1的，即△BCP的面积是△ABC的．故答案为：．【点评】本题通过作图得出向量的关系，从而求出三角形的面积．10．（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析