空间向量与空间距离

空间向量与空间距离（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分) 1.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为()A.6 B.6 C.3 D.32.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.66a B.36a C.343.(2013·开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为()A.1 B.22 C.324.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为()A.6 B.3 C.2 D.15.(2013·石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为()A.1 B.33 C.63二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为.7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点,如果∠MB'E=∠MB'C',MB'和平面B'C'FE所成的角的正切值为12,求点M到直线EF的距离.10.(2013·济南高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求|BF(2)求点C到平面AEC1F的距离.11.(能力挑战题)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD.(2)求证:平面EGF∥平面ABD.(3)求平面EGF与平面ABD的距离.答案解析1.【解析】选A.易知D(0,1,3),∴AD→=(1,1,2),∴|AD2.【解析】选A.如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),M(a,0,a2),B(a,a,0),D(0,0,0)∴MA1→=(0,0,a2),DM→=(a,0,QUOTEn·DM→=ax+a2z=0,n·∴点A1到平面MBD的距离为QUOTE|n·MA1→||n|【一题多解】由于M是AA1的中点,故A1与A到平面MBD的距离相等.又VA-MBD=VB-AMD,即13×12×2a×32a×h=13×12×a2×a3.【解析】选D.建系如图,即P(0,0,2),E(1,0,1),F(0,1,1),∴EP→=(-1,0,1),∴EP→在EF→上的投影为|EP∴点P到直线EF的距离为|EP→|4.【解题指南】先求平面AEC1的法向量,代入点面距公式求解.【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系,则A(3,0,0),D1(0,0,3),E(0,32,0),C1AE→=(-3,AC1→设n=(x,y,z)为平面AEC1的法向量,则令x=1,得y=2,z=-1,∴n=(1,2,-1).∴D1到平面AEC1的距离为QUOTE|D1C1→·n||n|=|(5.【解析】选B.易知A1C1∥平面ACD1,则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图,易知AA1平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1),故所求的距离为QUOTE|AA1→·n||n|=6.【解析】AC1→=AB→∴|AC1→|2=(AB→+=|AB→|2+|AD→|2+|AA1→|2+2AB→·=1+22+32+2|AB→|·|AD→|·cos<AB→,AD→>+2|AB→|2|AD→|·|AA1→|·cos<AD→,AA1→>=14+2×1×2cos90°+2×1∴|AC1→|=23,即AC1答案:237.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,23,0),E(0,3,1),A1(1,0,2),∴AB→=(0,23,0),BE设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则解得x=zy=0取z=1,则n=(1,0,1).又易证A1B1∥平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,又AA∴点A1到平面ABE的距离为QUOTE|AA1→·n||n|=22答案:28.【解析】由AD1∥BC1,A1B∥D1C可证得平面A1BC1∥平面ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AB=4,BC=3,CC1=2,则A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2),A(3,0,0).∴A1B→=(0,4,-2),BC1→=(-3,0,2).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥解得x=2取z=6,则n=(4,3,6),又AB则平面A1BC1与平面ACD1的距离为QUOTE|AB→·n||n|=1242+答案:129.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,作MN⊥EF,垂足为N,则MN⊥平面B'C'FE,连接B'N,则∠MB'N即为MB'与平面B'C'FE所成的角,∴tan∠MB'N=12设M(0,y,z),0<y<2,0<z<1,则由题意可知N(0,y,0),而E(0,0,0),B'(1,0,0),C'(1,2,0),∴B'E→=(-1,0,0),B'C'→=(0,2,0),B'M∴cos∠MB'E=B'M→·cos∠MB'C'=B'M→·B'C'→|B'M→||B'C'→|=∵∠MB'E=∠MB'C',∴y=1,z=22因此点M到直线EF的距离为2210.【解析】以D为原点,DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设F(0,0,a),由AF→=E∴a=2.∴F(0,0,2),BF∴|BF→|=2(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,由QUOTEn·AE→=0,n·AF→取z=1,则n=(1,-14,1),又C∴C到平面AEC1F的距离d=QUOTE|CC1→·n||n|=11.【解题指南】寻找条件中的三线两两垂直建立空间直角坐标系,正确地求出图中各点坐标,然后利用向量的坐标运算证明、求解.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G(a2(1)B1D→=(0,2,2),A∴B1D→·AB→∴B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.(2)∵AB→=(-a,0,0),GF→=(-a2∴GF→=12AB→,EF→=1又GF∩EF=F,AB∩BD=B,∴平面EGF∥平面ABD.(3)方法一:由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段.设B1H→=λB1D→=(0,2λ,2λ),则EH∵EH→与EF→共线,∴2λ1=∴B1H→=(0,12,12),