“量”源于“度”“感”源于“悟”-谈小学数学“量感”的培养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》相较于2011年版，新增了一个数学核心概念——“量感”。那什么是量感呢？新课标对此进行了说明：主要是指对事物的可测量属性以及大小关系的直观感知。知道度量的意义，能够理解统一度量单位的必要性；会对真实的情境选择合适的度量单位进行度量，会在同一度量方法下进行不同单位的换算；初步感受度量工具和方法引起的误差，能合理得到或估计度量的结果。量感可以从两个不同的角度进行解释：一是从心理学角度来看，量感是人类对于物体的一种心理感受，并没有具体的标准；二是从数学角度来看，量感是多感官接触物体后所形成的一种感性认知，具有直观化的特征。一、培养量感的作用课标中既然已经有了核心概念“数感”，为什么又需要新增“量感”呢？它们有什么联系？又有什么区别呢？史宁中教授说：“数是对数量的抽象，数量是度量的结果，数学的本质在于度量。”“数感”可以去掉后缀名词，然后抽象出数；而“量感”是不可以去掉后缀名词的，如，1米、1厘米、1小时、1秒、1千克、1平方米等这样的后缀名词是不可以去掉的，如果去掉了，就让人不明白所表达的意思，这就是量感对精准表达的重要性。在观察现实世界时知道度量的意义，理解统一度量单位的必要性，并针对真实情境选择合适的度量单位进行度量，能用度量单位表达出事物的可测量属性，会用数学的眼光观察现实世界。在感知事物大小关系时，学会不同单位之间的换算，感知度量工具和方法引起的误差，能合理估计度量结果。所以，“量感”培养的重要载体是“度量单位”。“量感”一直贯穿于数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践活动的教学之中。而小学生对“量”的生活经验比较欠缺，对于“量”的感知更是个抽象的概念存在。“量感”归根结底是一种心理感受，教师的“教”无法替代学生自己的“感”。因此，量感的培养，首要任务是让学生在多层次的体验中深度感知实实在在的“量”，这样才能有效地促进他们数学核心素养的提升。在小学阶段的数学学习中，培养量感的最终目标是让学生能够用定量的方法审视和思考世界，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学应用能力。比如在面对一栋建筑物时，有很好的语文素养的人会认为建筑十分宏伟；有很好的艺术素养的人会体会到建筑就是凝固的音乐；而对于一个数学素养较好的人而言，会从建筑的高度、占地面积等方面用定量的方式来认识建筑物，这就是量化思维。尤其是在小学阶段，是孩子们接触数学的起点，这个时候孩子们的数学基础正在逐渐形成。通过培养量感，孩子们可以更好地理解数学概念，提升对数量和空间关系的敏感度和判断力、应用数学知识的能力，这能够帮助他们培养观察力和思维能力，对于他们的整个学习过程都是非常有益的。“量感”有助于提高学生的估测能力，有助于拓展和锻炼学生的思维能力。在教学中，教师要将“量感”的培养贯穿教学活动的始终，丰富数学与生活的联系，引导学生多估测、多对比，在实践活动中沟通数学知识和质量单位的关联，把培养学生量感落到实处。二、小学数学教学中“量感”的培养策略（一）知识建构，让量感内化量感是数学学习中至关重要的一部分，它是指人们对数量和空间关系的敏感度和判断力。在小学阶段，学生“量感”的建立，需要通过多种感官的协同活动，在具体的“量”的多维感知中，形成清晰的“量”的表象，即需要通过知识建构来逐步内化数学量感。又如，在学习“体积单位”时，以常用的“立方厘米”和“立方米”为例，我们可以先通过度量小正方体的棱长，再寻找大约1立方厘米的物体，最后通过数找到的几何体中有几个1立方厘米进行体积单位的深度体验，以此来增强对“立方厘米”的感知。而在探究立方米时，可以先让学生思考“什么样的正方体体积是1立方米”，再通过感知经验搭一个1立方米的正方体，最后估测教室有多少立方米。通过这样一系列多维度的渐进式活动，帮助学生深化对计量单位的理解与内化。在课堂教学中，教师应该通过各种教学方法来引导孩子们逐渐建立对数量和空间关系的敏感度和判断力。如教师可以通过教具、模型、图表等方式来让孩子们更加直观地理解数学知识。此外，教师还应该让孩子们通过实践、思考、探究等方式来不断积累数学知识，内化数学量感，使之成为他们数学思维的自然体现。总之，知识建构是培养孩子们数学量感的重要方法之一。通过课堂教学和个人实践两个方面的知识建构，孩子们可以逐步建立对数量和空间关系的敏感度和判断力，从而使自己的数学量感得到内化和升华。（二）活动体验，促量感外显小学阶段，学生对量感的建立，更多的是依赖于经验积累。心理学研究表明：学生感知的素材越丰富，活动的体验越充分，建立的知识表象就越清晰、越深刻。形式多样的活动体验可以让学生对“量”的认知更深刻，也比较容易理解“量”的意义，积累自己对“量”的感知，使“量感”由抽象到形象。新课标倡导经历、体验、探索的过程性目标，强调动手实践、自主探索、合作交流的活动理念。在实际教学中，教师可以通过创设丰富的数学活动，引导学生通过“看、摸、量、画、比、说”等活动环节，引导学生多维度亲身体验，有层次、有梯度、循序渐进地调动多感官参与、亲历“量”的形成过程，从而促使数学量感得以外显。例如，“面积的认识”一课的教学，教师可设计如下活动环节：首先引导学生用眼观察、动手摸一摸、动口说一说身边熟悉的素材，感知“面”及其大小，初步感知面积；其次基于学生已有知识经验，对物体“表面”、不规则图形进行充分观察、比较，突出面积本质；然后基于图形变化的观察、操作和比较，体会面积的运动不变性；最后环节基于学生对长度和面积两个概念的边界混淆，引导学生“描一描图形的一周”，“涂一涂图形的面积”，再次在操作和对比中加深对面积的理解。小学数学课程中的长度、面积、体积、质量等度量，因其本质结构是一致的，都具有可测性，则“量感”的外显也具有一致性。如人教版五年级上册“多边形的面积”大单元结构教学时，教师立足单元整合，以面积的概念理解为基础，以度量的本质感悟为核心，引导学生通过以下多环节的学习活动，体会度量意义，发展度量意识。教师可以组织孩子们进行几何图形的剪、拼、转化等活动，让他们亲身体验几何图形的特征和本质，从而提高他们对几何图形的敏感度和判断力，顺利实现“平行四边形的面积——三角形的面积——梯形的面积——多边形的面积”的单元多维结构化有机融合，让孩子们更好地体验数学知识，提高他们的数学量感，使之得以外显。因此，在小学数学教育中，教师应该注重活动体验的作用，组织丰富的数学活动，让孩子们在实践中多维度感受数学知识，提高他们的数学量感，使之更好地服务于他们的数学学习和生活。白酒作为中国传统产业的重要组成部分，在中国扩大对外开放的进程中，一定会大有作为。茅台的国际市场，也必将迎来一个新的发展机遇期。（三）精准训练，使量感丰富“量感是在长时间使用量的过程中形成的”，正如俞正强教授所说的：“稳定的、精确的关于量的把握能力，如同一个相马者，看见一匹马时能估计到这匹马的奔跑速度。因此量感的培养是学生们在数学思考中从无到有，再到熟练的成果。”因此，精准训练是培养小学生数学量感的另一个重要策略。通过精准的训练，可以持续性地帮助学生掌握数学知识的特点和规律，提升对量感的认知，从而使他们的数学量感得以丰富。首先，精准训练应该针对孩子们的数学水平和能力进行。在小学阶段，孩子们的数学水平和能力不同，因此，教师在设计精准训练时应该根据孩子们的实际情况，针对性地进行训练，让他们逐渐掌握数学知识的规律和特点。例如，在认识1克和1千克两个标准量后，再进一步学习1吨有多重，显然再用称的活动已经不太方便，那么可以借助对标准量的运算来实现。在认识“吨”时，学生可以先体验100千克，再根据倍数关系运算推想到1吨，即100个100千克物体的叠加，从而有效把握计量大物体的质量单位“吨”。这样我们将标准量和运算知识相结合，沟通了知识之间的联系，有助于学生对“量”的内化。在训练数学计算能力时，还应该根据孩子们的实际水平进行分层教学，让他们在适当的难度下进行训练，从而提高他们的计算速度和准确度，培养他们的数学量感。其次，精准训练应该注重细节和反馈。在进行精准训练时，教师应该注重训练过程中的细节和反馈，及时纠正孩子们的错误，让他们逐渐掌握正确的数学知识和方法。例如，在训练数学思维能力时，教师应该及时给予孩子们反馈和指导，让他们逐渐掌握解题的方法和技巧，从而提高他们的数学量感。最后，精准训练应该有计划和系统。在进行精准训练时，教师应该制定合理的训练计划和系统，让孩子们逐步掌握数学知识的规律和特点，从而提高他们的数学量感。例如，在训练数学思维能力时，教师可以采用游戏的形式来进行训练，让孩子们在愉悦的氛围中学习数学，从而提高他们的数学量感。此外，教师还可以让孩子们参加数学竞赛和奥数培训等活动，通过比赛和交流的形式来提高孩子们的数学水平和数学量感。（四）反思辨析，助量感沉淀在数学学习中，反思辨析是指学生在学习过程中对已经学习的内容进行反思和总结，从而形成自己的思维方式和认识方式。通过反思辨析，可以帮助小学生深入了解数学知识的内涵和特点，提高他们的理解和运用能力，同时也可以帮助他们将所学的知识内化为自己的量感，让量感沉淀。例如，“面积单位”一课在导入环节呈现了两幅形状不同的山水画，它们不仅能用于欣赏，还有一定的价值，借助“我们有时会用版面的大小来衡量画的价值，什么是版面的大小？哪一幅画的价值更高？”等系列问题，引导学生比较两个图形面积的大小。除了重叠、剪拼等方法，度量也是重要的比较方法，同时进一步感受这里的度量不再是对一维长度的度量，而是对二维面积的度量，用任务驱动的形式感受度量的意义，树立度量意识，培养学生的抽象能力、应用意识和几何直观。培养学生的“量感”是一个长期的过程，需要经过长时间的积累和沉淀，而学生在完成长度单位有关的练习时，仍旧会出现一些错误，甚至会反复出错。这时，教师应当充分利用这些学生生成的错题资源，通过辨析帮助学生联系不同的度量单位，进一步沉淀对度量单位的感知。如，在学习了长度单位“毫米、厘米、米”之后，对于练习“一块橡皮的长度是5（）”，有学生填写了分米。此时，教师可以让学生先动手比划1分米的长度，学生会发现1分米非常长，5分米与橡皮的长度不符，便会意识到自己的错误并进行改正。在这一过程中，充分容纳学生的错误并将其转化为教学资源，引导学生进行反思辨析，比较联系不同长度单位间的关系，沉淀学生的量感。小学阶段的“毫米、厘米、米”是学生“长度单位”知识建立的基础，教师应当注重学生对长度单位的感官认知，结合实际，体验感知长度单位的表象，经过对错题的辨析沉淀，强化对长度单位的认知，最终从抽象转化为具象，提高学习效率，发展核心素养，为以后的量感学习奠定基础。（五）探寻本质，助量感多维量感不是与生俱来的，也不是教出来的，而是一个需要学生不断“悟”的过程。在小学阶段，学生对量的生活经验还比较薄弱，对于“量”的感知还比较抽象。因此对于量感的培养，首要任务是让学生在多层次、多维度的体验中，去深度感知、探求本质。可感、可触、可视、可估到实实在在的“量”，从而提升学生的数学素养。正如曹培英教授所说：“数感是数出来的，同样的，量感应该是量出来的。”在量的概念教学中，教师应注重引导学生亲历过程，通过估测、对比、想象、推理等数学活动，深化体感，建立表象，提升量感的层次，拓宽量感的边界。在教学实践中，我们教师要做有心人，充分考虑学生的年龄心理特征，多层面开展数学活动发展量感，多方位帮助学生建立概念表象，在长期的、反复体验、不断修正的过程中发展量化思维，提升数学素养。例如主题项目活动课《1千米有多长》，教师有机整合了众多素材，有层次、有梯度的从四个维度展开，让学生从不同角度去思考、探求和感受1千米到底有多长。维度一：学校操场1圈是200米，5圈，5个200米就是1千米；一位小朋友展开双臂长1米，1000个小朋友手拉手，1000个1米就是1千米；一辆大巴车长10米，100辆大巴排队，100个10米就是1千米；一幢楼房高度是100米，10幢楼房的高度和，10个100米就是1千米……先建立一个长度标准，再利用长度单位进行叠加来感受1千米的长。维度二：课前操场上活动体验，走100米用时约80秒，跑100米用时约22秒，走或跑1千米需要多久，利用时间来帮助学生感受1千米的长。维度三：课前操场上活动体验,走100米步数为80步，那么走1千米需要多少步数？用步数的多少来感受1千米的实际距离。维度四：展示电梯、电动车、汽车、动车等其他方式来感受1千米。基于量感培养，借助这种“多维度素材、多路径体验”的主题项目活动，从单位进率的角度出发，梳理长度单位的关系，借助“以小推大”为核心