水利工程风险分析(第三章)(全)

第三章

水利工程风险估算2024/1/4风险分析第三章风险估算2水利工程中风险的定义：在规定的时间和规定的条件下，水利工程不可以完成估计功能的概率。水利工程中可靠度的定义：系统在规定的时间和规定的条件下，完成预定功能的概率。2024/1/4风险分析第三章风险估算3规定的时间：在设计运用期内规定的条件：规定的运转工况下预定功能：根据不同的工程，功能不同2024/1/4风险分析第三章风险估算4系统的极限形状整个系统或系统的某一部分超越某一特定形状时，系统就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定形状称为该系统的极限形状。2024/1/4风险分析第三章风险估算5功能函数系统的极限形状可经过功能函数定义设X1，X2，……，Xn为影响系统功能的n个随机变量，那么下面的随机函数

称为系统的功能函数

2024/1/4风险分析第三章风险估算6

当Z>0时，系统可以完成规定功能，处于可靠形状当Z<0时，系统丧失规定功能，处于失效形状当Z=0时，系统处于临界形状，或称为极限形状2024/1/4风险分析第三章风险估算7荷载和抗力荷载可以了解为使系统失去中规定功能的影响要素而抗力那么可了解为使系统坚持可靠形状的影响要素。2024/1/4风险分析第三章风险估算83.1抗洪才干为常值的风险分析抗洪才干为常值，即抗力为常值，非随机变量。而洪水的值〔荷载〕为随机变量。假设洪水设计值x0对应的超越概率p是已确定的值以上定义的在水文计算中叫重现期，含义为平均意义上的发生间隔。T被了解为初次发生时间的期望值更好。初次发生时间：从如今开场初次发生指定事件〔即)的时间间隔，是一个随机变量。2024/1/4风险分析第三章风险估算9显然，对于防洪系统〔水库、围堰、河堤等〕在运转过程中，要么发生超规范洪水，要么不发生，二者必居其一。因此可以用二项分布来表达。以施工导流工程为例：设备工全过程防洪年限N年中，实践遭遇超规范洪水I年，设计施工洪水频率为P，假设允许超越设计规范的洪水次数为z，那么有：设计施工洪水Xp的重现期为

即：随机平安度式中：R称为随机风险度当N，Z确定之后，那么S~P〔或S~T〕的关系可求得。对N>10，T<15时，上式可用泊松分布表达，近似可以写为：这里：因此在Z=0时，那么得到：或根据上两式，在给定风险度R及施工防洪年限N以后，那么可算出设计频率P或设计重现期T了。可以看出，工期愈长，那么遭遇超设计规范洪水的几率就愈大。例如：当围堰的运用期为N=1年或N=3年，假设风险度R同取为10%，那么有：围堰用一年，N=1年，围堰用三年，N=3年，由此可以看出，围堰只用一年和用三年相比，假设要接受同样的风险，那么设计的重现期后者比前者更长。重现期为T年，围堰运用期为N年内都不出现重现期为T的洪水的概率那么为〔1-1/T)N，风险度R那么为：或的T>10年，R<50%的情况下，那么可简化为：或在风险度R和施工年限N已给定的条件下，设计施工洪水频率P〔或重现期T〕立刻可以求得。这样可以在施工年限和设计洪水组合上思索经济与平安的一致。参考文献：论施工导流规范，肖焕雄，水力发电学报，1987年第3期。2024/1/4风险分析第三章风险估算173.2抗洪才干为随机变量的风险分析实践上，水文事件和抗洪才干都是随机变量，亦即荷载和抗力都是随机变量。那么风险可以定义为记那么破坏可以定义为普通R，S是独立的、不同分布的随机变量；Z的分布较难推出。先思索下面的情况。1、设R和S都服从正态分布那么的正态分布Z的概率密度函数为概率密度如图2、R,S为非正态分布随机变量概率密度函数分别为fR(r)和fS(s)失效概率依然可以表示为先思索抗力落在区间ds内的概率，显然而抗力R小于荷载S的概率为假定R和S为相互独立的随机变量，那么根据概率的乘法定理，在S落在ds的时候，R小于S的概率应为失效的概率Pf是在整个区间〔0，〕上R小于S的概率，所以有同理，还可写成：3、可靠度与可靠目的仍以R和S均为正态随机变量的极限形状方程为例有将正态分布的随机变量Z转换成规范正态分布随机变量Y有引入符号并令4、计算可靠目的的两个常用公式5、可靠目的与平安系数的关系a.可靠目的可以反映变量的随机性，可以更加真实地反映系统的风险情况。b.可靠目的可以反映随机变量的离散程度，更加合理。3.3一次二阶矩法构造功能函数大多是非线性函数，且不服从正态分布。不能直接计算构造可靠目的，而采用近似计算法。在通常情况下，只需一阶矩(均值)和二阶矩(方差)较容易得到。一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用只需均值和规范差的数学模型去求解构造可靠度的方法。该法将功能函数在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解构造的可靠度，因此称为一次二阶矩。定义假设函数f(x)在x0的某邻域内是存在恣意阶导数,那么幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.泰勒级数不思索随机变量的实践分布，给出有关构造构件可靠度的解析表达式，采用泰勒级数在平均值〔中心点〕处展开，进展分析和计算，称为均值一次二阶矩法。1、均值一次二阶矩法在早期构造可靠性分析中，假设线性化点就是均值点，此时，极限形状方程为：

式中表示随机变量的对应均值设各随机变量统计独立，功能函数Z的均值mz，和规范差σz可由下式求得：例题8：圆截面直杆，接受拉力P=100kN，知资料屈服强度fy的均值及规范差、杆的直径均值和规范差分别为：

用均值一次二阶矩法求杆的可靠性目的β。

解题步骤：①给出极限形状方程

②求偏导，给出均值泰勒展开线性化方程

③求均值

④求规范差

⑤求可靠性目的β解：P为常量，fy与d为随机变量。用极限载荷表示的极限形状方程为：所以有：方程为：线性化后的极限形状方程为：由此有：Z的均值：可靠度目的为：Z的规范差：另一解法：解：P为常量，fy与d为随机变量。用应力极限形状方程来进展求解：有：由此得：Z的均值：Z的规范差：可靠度目的为：优点：〔1〕直接给出β，直观〔2〕计算简便，当β=1~2时，尤为适用。缺陷：由上可以看出，对于同一问题，当采用不同的且等效的极限形状方程时，将获得不同的可靠度目的β，这就是均值一次二阶矩法存在的严重问题，即〔1〕同一失效面，能够有多个等效的失效函数，〔2〕取不同方式的功能函数，计算得到的可靠度目的不同。这是由于对于非线性功能函数，因略去二阶及高阶项，故随着线性化点X0i(i=1，…，n)到失效边境间隔的添加而使误差越来越大.由于选用均值点作为线性点，而均值点普通在可靠区〔M〕而非失效边境上，故往往有相当大的误差。2、改良一次二阶矩为处理均值一次二阶矩的问题，将线性化点选在失效边境上，而且选在于构造最大能够失效概率对应的设计验算点P*(S*,R*)上。依此得到的方法称为改良一次二阶矩法或验算点法。该方法是1974年由Hasofer和Lind提出来的，也称H-L法。定义可靠度目的为：在规范化坐标系中从原点〔均值点〕到失效面的最短间隔。当极限形状方程为线性的时候，那么当极限形状方程为非线性的时候，那么必需采用其他的方法来求得β，其中最常用的是迭代法。β的求法：知随机变量，对应的功能函数为：极限形状方程为：

将验算点作为线性化点，用泰勒级数展开〔一次展开〕，那么有：

Z的均值：由于在失效边境面上，因此必有：所以Z的规范差线性化且：表示第i个随机变量对整个规范差的相对影响，因此称为灵敏系数。在知变量方差下，可以完全由确定，并且有：〔4-3-7〕可靠度目的为：整理后有：所以有：〔对一切i〕从中可得到验算点为：上式表示n个方程，而未知数有n+1个，因此需进展迭代求解，迭代公式为：：〔4-3-6〕〔4-3-9〕〔4-3-10〕给出迭代过程解法：〔1〕给定一个β值〔2〕对全部变量Xi，选取设计验算点的初值，普通取均值，。〔3〕计算的值〔4〕由4-3-6计算的值。〔5〕由4-3-9计算新的验算点的值。〔6〕反复步骤3-5，直到前后两次的差值在允许误差范围内为止。〔7〕将所得的值代入4-3-10式计算g值。〔8〕检验的条件能否满足，假设不满足，再次给定一个β值，并反复3-7步。〔9〕再次检验的条件能否满足，假设不满足，那么计算前后两次β和g的各自差值的比值，且令，估算新的β值，并反复步骤3-7，直到获得为止〔10〕由或计算构造可靠度或失效概率。〔11〕β的误差普通要求在0.01之内。例题9：知极限形状方程变量f、W均为正态分布，且:，求可靠性目的β及f、W的验算点值

解题步骤：①求出；

②对非线性函数求各参数的偏导值

③给出的表达式。④给出的表达式。

⑤选取可靠性目的β并进展迭代求解解:〔一〕：〔2〕〔1〕〔3〕选取β=3.0〔4〕选取验算点初值〔5〕计算的值〔6〕计算新的验算点的值再次代入计算的值，有：再次计算新的验算点的值在此循环内有：第一次第二次第三次第四次3827.808427.3927.355450.377751.0451.120.89940.9310.9340.9350.44720.3650.3560.355

β3.03.03.03.0(7)计算值：〔二〕重新选取β=2.5，有：在此循环内有：第一次第二次第三次第四次29.1229.184//51.6051.489//0.9280.928//0.3720.374//

β2.52.5//计算值：〔三〕令有：在此循环内有：第一次第二次第三次第四次23.1922.8522.81/49.7650.4450.53/0.9490.9520.951/0.3140.3060.305/

β4.24.24.2/计算值：〔四〕令有：在此循环内有：第一次第二次第三次第四次22.6022.5722.57/50.4950.5250.54/0.9530.953//0.3030.301//

β4.264.264.26/计算值：所以可靠度目的为β=4.26，验算点为：总结一下：1、计算出正态分布下的数学特征。2、给出和的表达式。3、选取β值和定义4、进入一个小循环〔1〕由公式计算〔2〕由公式计算〔3〕循环〔1〕~(2)直至的误差满足要求，并计算此时的〔4〕计算，假设那么进入下一循环。5、再次假定一个β〔假设那么β应增大，假设那么β应减小〕。并取上一循环的作为此次循环开场的值，并进入循环。〔1〕由计算。〔2〕由计算。〔3〕循环〔1〕~(2)，直至满足误差要求，并计算出此时的值。〔4〕计算，假设那么进入下一循环。6、令，并取上一循环的最后的作为本次初始

〔1〕由计算。〔2〕由计算。〔3〕循环〔1〕~(2)，直至满足误差要求，并计算出此时的值。〔4〕计算，假设那么进入下一循环。〔仍为循环6〕。〔5〕假设，那么β=βn+1，验算点为最后得到的JC法JC法是拉克维茨和非斯莱等人提出来的，它适用于随机变量为恣意分布下结果可靠度的求解，该法通俗易懂，计算精度又能满足工程需求，该法曾经为国际平安度结合委员会〔JCSS〕所采用，故又称为JC法。根本原理是：首先把随机变量Xi原来的非正态分布用正态分布替代，但对于替代的正态分布函数要求在设计验算点X*处的累积概率分布函数〔CDF〕值和概率密度函数〔PDF〕值都和原来的CDF和PDF值一样，然后根据这两个条件求得等效正态分布的均值和规范差，最后采用验算点法求解构造的可靠性目的。JC法中正态分布替代原恣意分布下面讨论如何利用上述当量正态化来求解等效的正态分布的均值和规范差。设原来验算点的累积概率为：用来替代的正态分布验算点累积概率为：〔1〕根据替代条件，那么以上两个概率相等，即：同时设原来分布验算点的概率密度函数为：替代的正态分布验算点处概率密度函数为，要求PDF相等，即上述两式相等，有：〔2〕由〔1〕有：〔3〕代入〔2〕有：即：〔4〕由〔3〕可得：〔5〕其中和分别代表变量Xi原来的累积概率分布函数和概率密度函数，Φ和φ分别代表规范正态分布下的累积概率分布函数和概率密度函数，其值分别可由查表和下式求得：〔6〕〔4〕〔5〕〔6〕该三式即为对普通分布的计算公式。当分布为正态分布时，不用用上述公式进展转换，而可以直接将该变量的均值和规范差作为变换后的均值和规范差。当分布为对数正态分布时，那么可对上式进展简化。由前可知：〔7〕〔8〕又：〔9〕式中：〔11〕依概率论有：〔10〕〔9〕和〔11〕分别为对应正态分布下的Xi的累积概率分布和概率密度函数，代入〔4〕和〔5〕得到对数分布下分布变量Xi的替代正态分布变量的均值和规范差。化简后得：〔12〕〔13〕总结一下：〔12〕〔13〕〔10〕求得替代的正态分布的均值和规范差后，即可用与一次二阶矩法大致一样的解法进展求解。下面给出用JC法求解可靠性目的β的步骤。一、给定一个β值，并对全部变量Xi，选取设计验算点的初值，普通取均值，。二、采用公式4、5、6或当变量分布为对数正态分布时采用11、12、13计算替代正态分布的均值和规范差三、计算的值四、计算灵敏系数五、用得新的六、用新的反复进展三至五步，直至两次计算得到的差值在允许误差范围内。七、将所得的值计算g值，当时，那么加大β值，如，那么减小β值。八、以上次循环最后的为新一轮循环的起始值，反复二至六步骤。九、计算的值，假设那么再次计算β值，。十、反复二至九，直至获得满足误差条件的β为止。十一、计算可靠度。变量分布截尾下的JC法一、截尾分布在实践工程问题中，随机变量的分布往往有截尾的特点，而且对于不同变量其截尾特征不同，比如资料的抗拉强度、抗压强度、摩擦系数、凝聚力、被动土压力等变量不能小于0，尺寸不得小于0。再如坝体设计中上游水位不能高于坝体本身，这些分布最终都会是截尾分布。对于JC法，它对随机变量的要求是由完好的分布〔-∞～＋∞〕，也即是说变量分布应有尾巴，然后才干对随机变量进展当量正态化，继而可在变量正态分布根底上用一次二阶矩法计算构造的可靠度目的，因此带有截尾分布的随机变量不能直接运用JC法，而必需进展处置。设随机变量X，其均值为，规范差，概率累积分布函数为,概率密度函数为，在位置XＰ处为截尾分布〔分为左截尾或右截尾〕，如下图，那么在截尾后概率密度函数应进展处置，处置后累积概率分布函数和概率密度函数分别用和来表示。左截尾下有：右截尾下有：〔1〕原概率密度分布函数〔2〕截尾后概率密度分布函数将向左或向右延伸，如虚线部分，对于左截尾分布，由于曲线延伸而添加了面积由：因此有：此时延伸后的曲线其积分〔概率累积分布函数〕是大于1的，即，且而该大于1的面积部分在进展可靠性分析计算时应扣除，此外，由于实践分布中不能够有〔左截尾〕的情况，因此，在运算中凡是的一切数值均表达为且为一足够小的量。对于右截尾，那么的计算公式为：由于延伸尾部而添加的面积为：由于实践运算中不允许有的情况，〔右截尾〕，因此，在运算中凡是时，令，且有和为一足够小的量。为一足够小的量。将有关计算公式列出：〔1〕左截尾下：1〕当验算点时，变量分布公式为：〔4-6-1〕2〕当验算点时，变量分布公式为：〔4-6-2〕〔2〕右截尾下：1〕当验算点时，变量分布公式为：〔4-6-3〕2〕当验算点时，变量分布公式为：〔4-6-4〕二、截尾分布在JC法中的运用JC法计算可靠度目的的关键在于对于普通变量分布进展当量正态化，设变量的截尾分布函数分别为和，那么可用公式：进展当量正态化，一求得当量形状分布的均值和规范差。在计算时，和只需根据X*同XP的关系，分布以及左或右截尾，选用4-6-1至4-6-4中的和