山东省济南市莱芜区莲河学校2023-2024学年七年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

济南市莱芜区莲河学校片区联盟2023-2024学年度第一学期12月月考试题七年级数学试题一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cmC．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm3．25的算术平方根是

A．5 B． C． D．254．在平面直角坐标系中，点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知点，则点到轴的距离是

（

）A． B． C． D．6．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（）A．2a B．2b C．﹣2b D．﹣2a7．若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．8．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（

）A．26 B．49 C．52 D．649．如图，在中，，．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使，则符合要求的作图是（

）A． B．C． D．10．在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C． D．2二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．若a，b为两个连续的正整数，且a＜＜b，则a+b=．12．点（1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x＋1上的两点，则y1y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．13．如图，ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，BCD的周长为15，那么AC边的长是．14．汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y(升)和工作时间x（时）之间的函数关系式是；15．如图，一个圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处觅食，要爬行的最短路程为．16．如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的关系，下列说法中正确的为．①甲乙两地相距；②C点表示快车到达乙地；③快车的速度为；④慢车的速度为；⑤快车到达乙地后，慢车到达甲地．三．解答题17．计算：(1)(2)18．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为和．（1）求a的值：（2）求这个数m．19．如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．20．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．(1)计算线段AB的长度；(2)判断△ABC的形状；(3)写出△ABC的面积；(4)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．21．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．22．观察下列各式：

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)．(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式．(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．23．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．(1)若点A在y轴上，求出点A的坐标；(2)若点A在第二象限，且到x轴的距离为5，求出点A的坐标．24．如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B(0，4)，点C(－2，6)在直线AB上，连结OC．(1)求直线AB对应的函数表达式和OBC的面积；(2)点P为直线AB上一动点，AOP的面积与OBC的面积相等，求点P的坐标．25．A、B两地之间相距90千米，甲骑摩托车、乙驾驶汽车沿相同的路线从A地到B地，行驶的路程y（千米）与经过的时间x（小时）之间的关系如图所示．请根据图象回答问题：(1)在两者行驶的过程中，自变量为，因变量为；(2)摩托车的速度为千米/小时；汽车的速度为千米/小时；(3)汽车比摩托车早小时到达B地；(4)在乙驾驶汽车出发后几小时，两人相遇？说明理由．26．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长；(3)拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．1．D【详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．A【分析】直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．【详解】解：A．3+5＝8＞7，能组成三角形，符合题意；B．3+3＜7，不能组成三角形，不符合题意；C．4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意；D．4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．A【分析】根据“算术平方根”的定义进行分析判断即可.【详解】解：∵，∴的算术平方根是5.故选A.【点睛】熟记“算术平方根”的定义：“对于一个非负数x，若x2=a，则x叫做a的算术平方根”是解答本题的关键.4．C【分析】本题考查了第三象限点坐标的特征．熟练掌握第三象限点坐标为是解题的关键．根据第三象限点坐标为，进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，位于第三象限，故选：C．5．B【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．【详解】点P（-3，5）到y轴的距离是．故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．6．B【分析】根据数轴判断b−a、b、a与0的大小关系，然后根据二次根式以及绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知：a＜−b＜0＜b＜−a，∴b−a＞0，∴原式＝b＋b−a＋a＝2b，故选：B．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．7．D【分析】根据已知条件函数值y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0，然后解得即可．【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟记此关系是解题的关键．8．C【分析】证，推出，，则，，再证，代入求出即可．【详解】解：如图，正方形，的边长分别为4和6，，，由正方形的性质得：，，，，，在和中，，，，，，，正方形的面积为，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明．9．C【分析】过点D作AB的垂线，利用同角的余角相等证明即可．【详解】根据题意，A作图是构造等腰三角形，不符合题意；B是作的角的平分线，故不符合题意；C是过点D作AB的垂线，∴∠A=90°-∠B，∠BCD=90°-∠B，∴，故C符合题意；D作的是线段AC的垂直平分线，故不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键．10．C【分析】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．【详解】解：如图：过点B作于点C，，，是等边三角形，，，，点B的坐标为，把点B的坐标代入解析式，得，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键．11．9【详解】试题解析：∵4＜＜5，∴a=4，b=5，∴a+b=9.12．＜【分析】根据k＞0时，y随x增大而增大即可解答．【详解】解：在直线中，k=2＞0，∴随x增大而增大，又∵1＜2，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点睛】本题主要考查一次函数图象的增减性，根据k值判断一次函数图象的增减性是解题的关键．13．10【分析】根据轴对称的性质可得AD=BD，然后根据三角形的周长公式和等量代换即可求出结论．【详解】解：∵直线是边的对称轴，∴AD=BD∵的周长为，∴CD＋BD＋BC=∴CD＋AD＋5=∴AC＋5=15∴AC=10故答案为：10．【点睛】此题考查的是轴对称的性质和三角形的周长公式，掌握轴对称的性质是解题关键．14．y=30-4x【详解】解：∵每小时耗油4升，∵工作x小时内耗油量为4x，∵油箱中有油30升，∴剩余油量y=30-4x.故答案为：y=30-4x15．##15厘米【分析】本题考查了平面展开，最短路径问题，先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：底面周长为，半圆弧长为，展开得：又，，根据勾股定理得：．故答案为：．16．②③⑤【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．【详解】①由图像可知甲乙两地相距，故①错误；②段表示两车相遇后距离逐渐变大，段表示快车到达乙地，慢车去甲地的过程，故②正确；④慢车的速度为，故④错误；③快车的速度为，故③正确；⑤，∴快车到达乙地后，慢车到达甲地,故⑤正确；故答案为：②③⑤．17．(1)-1(2)0【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）根据算术平方根，立方根的意义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：=2+（-2）-1=-1；（2）解：=3-6-（-3）=3-6+3=0．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根，立方根的意义是解题的关键．18．（1）；（2）的值是36【分析】（1）根据平方根的性质：正数的平方根有两个，且互为相反数，即可求得a的值；（2）由（1）可求得m的两个平方根，从而可求得m的值．【详解】（1）数m的两个不相等的平方根为和，，，解得；（2）∵，，，的值是36．【点睛】本题考查了正数的平方根的性质，平方根的定义，关键是掌握平方根的性质．19．见解析【分析】首先利用平行线的性质得，再利用得出，得出，根据平行线的判定即可得到结论.【详解】证明：∵，∴.又∵，∴在和中，∴，∴．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.20．(1)(2)直角三角形(3)5(4)图形见解析【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；（3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面积；（4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点，再依次链接即可．【详解】（1）（2），∴∴△ABC的形状是一个直角三角形（3）由（2）可知△ABC是直角三角形∴（4）图形如图所示：【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．21．(1)CH是从村庄C到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC的长为1.25千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，再根据勾股定理解答即可．【详解】（1）解：是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25，BC2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=（x-0.9）2+1.22，解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．22．(1)(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键．（1）根据，计算求解即可；（2）由题意知，；（3）根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：；（2）解：由题意知，，故答案为：；（3）解：由题意知，．23．(1)(2)【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．（1）由轴上的点的横坐标为，可得，从而可解得的值，再将的值代入计算，则可得答案；（2）根据点到轴的距离为，求解即可．【详解】（1）因为点A的坐标为，点A在y轴上，所以，所以，所以，所以点A的坐标为；（2）因为点A在第二象限，且到x轴的距离为5，所以，解得，即点A的坐标为．24．(1)，4(2)或【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；利用三角形面积公式求的面积；（2）先确定点坐标，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，分别代入得，解得，直线的解析式为，的面积；（2）解：设，当时，，解得，则，的面积与的面积相等，，解得或，点坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握利用待定系数法求一次函数的一般步骤是解决此类问题的关键．25．(1)时间x，路程y(2)18，45(3)1(4)小时，见解析【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求