2020年浙江省衢州市中考数学试卷

2020年浙江省衢州市中考数学试卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）比0小1的数是（）

A.0B.-1C.1D.±1

2.（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（）

D.a9

4.（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“II”

所示区域内的概率是（）

D.

8

5.（3分）要使二次根式有意义，则x的值可以为（）

A.0B.1C.2D.4

6.（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

3x>2x-1

A."--i01

B.T3oi-r

C.-2-1012

D.

7.（3分）某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂

家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程（）

2020年1~5月份某厂家的口产量统计图

5

400

00

300

200

100

A.180(1)2=461B.180(1+x)2=461

C.368(1-x)2=442D.368(1+4=442

8.（3分）过直线/外一点尸作直线/的平行线，下列尺规作图中错误的是（）

9.（3分）二次函数y=/的图象平移后经过点（2,0）,则下列平移方法正确的是（）

A.向左平移2个单位，向下平移2个单位

B.向左平移1个单位，向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，向下平移1个单位

D.向右平移2个单位，向上平移1个单位

10.（3分）如图，把一张矩形纸片ABC。按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,

若8C=1,则旗的长度为（）

二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）一元一次方程2x+l=3的解是x=.

12.（4分）定义“※6=。（。+1）,例如2X3=2x（3+l）=2x4=8.则（x-1）※工的结果为

13.（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4,4,5,%,6.已知这组数据的平均数是5,

则这组数据的中位数是—.

14.（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形498的

边长为4dm,则图2中/?的值为dm.

图1图2

15.（4分）如图，将一把矩形直尺458和一块含30。角的三角板£FG摆放在平面直角坐

标系中，他在x轴上，点G与点A重合,点尸在4）上,三角板的直角边EF交于点M,

反比例函数y=A（x>0）的图象恰好经过点P,M.若直尺的宽CQ=3,三角板的斜边

FG=8力,则％=

16.（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知O,P两点固

定，连杆B4=PC=1405?,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,P两点间距与OQ

长度相等.当OQ绕点O转动时，点A,B,C的位置随之改变，点8恰好在线段MN上

来回运动.当点5运动至点M或N时，点A,C重合，点P,Q,A,3在同一直线上（如

图3）.

（1）点尸到MN的距离为—cm.

（2）当点P,O,A在同一直线上时，点Q到用N的距离为cm.

第22〜23小题每小题6分，第24小题12分，共66分.请务必写出解答过程）

17.（6分）计算：|-2|+（g）°-四+2sin30。.

18.（6分）先化简，再求值：一千」-,其中。=3.

ci~-2a+1ci—1

19.（6分）如图，在5x5的网格中，AABC的三个顶点都在格点上.

（1）在图1中画出一个以A3为边的QABDE，使顶点。，E在格点上.

（2）在图2中画出一条恰好平分A4BC周长的直线/（至少经过两个格点）.

20.（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生

进行视力检测.根据检测结果，制成下面不完整的统计图表.

被抽样的学生视力情况频数表

组别视力段频数

A5.掇k5.325

B4.8麴Jr5.0115

C4.礴4.7m

D4.0M4.352

(1)求组别C的频数机的值.

(2)求组别A的圆心角度数.

(3)如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力

良好”的人数.根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

被抽样的学生视力情况扇形统计图

21.(8分)如图，AABC内接于OO,A3为OO的直径，AB=1O,AC=6,连结OC,

弦AD分别交OC,BC于点、E,F,其中点E是A£＞的中点.

(1)求证：ZC4£»=ZCBA.

(2)求OE的长.

22.(10分)2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通.一艘游轮从杭州出发前往衢

州，线路如图1所示.当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线

路从杭州出发前往衢州.已知游轮的速度为20切7/人游轮行驶的时间记为£(〃)，两艘轮船

距离杭州的路程s(km)关于t(h)的图象如图2所示(游轮在停靠前后的行驶速度不变).

(1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长.

(2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州.问：

①货轮出发后几小时追上游轮?

②游轮与货轮何时相距12km?

图1图2

23.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，AA8C的顶点A,C分别是直线y=-|x+4与

坐标轴的交点，点8的坐标为（-2,0）,点。是边AC上的一点，DELBC于点E,点F在

边他上，且。，尸两点关于y轴上的某点成中心对称，连结。F,EF.设点。的横坐标

为机，E严为I,请探究：

①线段EF长度是否有最小值.

②ASE尸能否成为直角三角形.

小明尝试用“观察-猜想-验证-应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题.

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到/随机变化的一组对应值，并在平

面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）.请你在图2中连线，观察图象特征并猜

想/与，”可能满足的函数类别.

（2）小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出/关于加的

函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段所长度的最小值.

（3）小明通过观察，推理，发现AfiE产能成为直角三角形，请你求出当为直角三角

形时机的值.

图1图2

24.(12分)【性质探究】

如图，在矩形舫8中，对角线AC,班＞相交于点O,AE平分44C,交BC于点E.作

DFLAE于点H,分别交AB,AC于点R,G.

(1)判断AAFG的形状并说明理由.

(2)求证：BF=2OG.

【迁移应用】

(3)记ADGO的面积为S-ADM的面积为S,,当昱=，时，求生的值.

S23AB

【拓展延伸】

(4)若。尸交射线钻于点尸，【性质探究】中的其余条件不变，连结£F,当ABE尸的面

积为矩形面积的,时，请直接写出tanNHAE的值.

10

2020年浙江省衢州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）比0小1的数是（）

A.0B.-1C.1D.+1

【分析】根据题意列式计算即可得出结果.

【解答】解：0-1=-1,

即比0小1的数是-1.

故选：B.

【点评】本题主要考查了有理数的减法，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键.

2.（3分）下列几何体中，俯视图是圆的几何体是（）

C.V------/D.V------V

【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可.

【解答】解：A、俯视图是圆，故此选项正确；

8、俯视图是正方形，故此选项错误；

C、俯视图是长方形，故此选项错误；

俯视图是长方形，故此选项错误.

故选：A.

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得

到的图形.

3.（3分）计算（a）,正确结果是（）

A.B.a6C.a8D.a9

【分析】根据幕的乘方法则进行计算即可.

【解答】解：由幕的乘方与积的乘方法则可知，（/）3=/处=。6.

故选：B.

【点评】本题考查的是幕的乘方法则，即底数不变，指数相乘.

4.（3分）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“H”

所示区域内的概率是（）

【分析】直接利用“H”所示区域所占圆周角除以360,进而得出答案.

【解答】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“II”所示区域内的概率是：—=1.

3603

故选：A.

【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键.

5.（3分）要使二次根式VT3有意义，则x的值可以为（）

A.0B.1C.2D.4

【分析】根据二次根式有意义的条件可得X-3..0,再解即可.

【解答】解：由题意得：X-3..0,

解得：x..3,

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负

数.

6.（3分）不等式组-4的解集在数轴上表示正确的是（）

11.

-2-1012'

-IAI---------------->

B.-2-102

C.-2—0

D.-2-1012

【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴

上表示出来即可求解.

【解答】解：，（x-2）,：4①

[3x>2x-]@

由①得X,1;

由②得

故不等式组的解集为-

在数轴上表示出来为:

故选：C.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即

为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大

的为空集”得到公共部分.

7.（3分）某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂

家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程（）

2020年1~5月份某厂家的口产量统计图

5

400

300

200

00

100

A.180(1-x)2=461B.180(1+4=461

C.368(1-%)2=442D.368(l+x>=442

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x（l+增长率），如果设这个增

长率为x,根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程.

【解答】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程：

180(1+"=461,

故选：B.

【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为

a（l+x）2=〃，a为起始时间的有关数量，。为终止时间的有关数量.

8.（3分）过直线/外一点P作直线/的平行线，下列尺规作图中错误的是（）

【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意.

3、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意.

C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，

D,无法判断两直线平行，

故选：D.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属

于中考常考题型.

9.（3分）二次函数），=/的图象平移后经过点（2,0）,则下列平移方法正确的是（）

A.向左平移2个单位，向下平移2个单位

B.向左平移1个单位，向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，向下平移1个单位

D.向右平移2个单位，向上平移1个单位

【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可.

【解答】解：A、平移后的解析式为y=（x+2）2-2,当x=2时，y=14,本选项不符合题

意.

B、平移后的解析式为y=（x+iy+2,当x=2时，y=ll,本选项不符合题意.

C、平移后的解析式为y=(x-l)2-l,当x=2时，y=0,函数图象经过(2,0),本选项符

合题意.

平移后的解析式为〉=。-2尸+1,当x=2时，y=\,本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

10.(3分)如图，把一张矩形纸片钻8按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,

若BC=1,则/IB的长度为()

【分析】先判断出NAZ)E=45。，进而判断出AE=4),利用勾股定理即可得出结论.

【解答】解:

由折叠补全图形如图所示,

•.•四边形ABCD是矩形,

:.ZADA'=ZB=ZC=ZA=90°,AD=BC=\,CD=AB,

由第一次折叠得：ADAE=ZA=90°,ZADE=-ZADC=45°,

2

:.ZAED=ZADE=45°,

.0.AE=AD=1,

在RtAADE中，根据勾股定理得，DE=^AD=叵,

故选：A.

【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键.

二、填空题(本题共有6小题，每小题4分，共24分)

11.（4分）一兀一次方程2x+l=3的解是x=1.

【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解.

【解答】解；将方程移项得，

2x=2,

系数化为1得，

x=l.

故答案为：1.

【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属

于基础题

12.（4分）定义。※A=aS+l）,例如2X3=2x（3+l）=2x4=8.则（工一1）派工的结果为

JC-1_.

【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可.

【解答】解：根据题意得：

（x-1）Xx=（x—l）（x+1）=x2-1.

故答案为:x2-l.

【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是理解新定义的运用.

13.（4分）某班五个兴趣小组的人数分别为4,4,5,x,6.已知这组数据的平均数是5,

则这组数据的中位数是5.

【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间

的数，即为中位数.

【解答】解：•.•某班五个兴趣小组的人数分别为4,4,5,x,6,已知这组数据的平均数是

5,

.•.x=5x5-4-4-5-6=6,

.•・这一组数从小到大排列为：4,4,5,6,6,

这组数据的中位数是5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，

如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数

是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.也考查了平均数的定义.

14.（4分）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”，已知正方形他CZ）的

边长为4<加，则图2中/?的值为_（4+及）_加.

图1图2

【分析】根据七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解.

【解答】解：•正方形AfiCD的边长为4曲?，

②的斜边上的高是2dm,④的高是\dm，⑥的斜边上的高是\dm,⑦的斜边上的高是,

.♦.图2中力的值为（4+近）dm.

故答案为：（4+A/2）.

【点评】本题考查正方形的性质，七巧板知识，解题的关键是得到②④⑥⑦的高解决问题.

15.（4分）如图，将一把矩形直尺A8CD和一块含30。角的三角板£FG摆放在平面直角坐

标系中，4?在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边防交3c于点

反比例函数y=K（x>0）的图象恰好经过点尸，M.若直尺的宽8=3,三角板的斜边

X

FG=8g,则A:=_40G

【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出仞V,FN,进而求出4V、MB,表示出

点尸、点"的坐标，利用反比例函数左的意义，确定点F的坐标，进而确定左的值即可.

【解答】解：过点“作MN_L4）,垂足为N,则MN=CZ）=3,

在RtAFMN中，ZMFN=30°,

FN=y/3MN=3&,

AN=MB=8晅-3力=573,

设。4=x,则O8=x+3,

F{x,8我，M(x+3,5我,

8Gx=(x+3)x5百，

解得，x=5,

F(5,8我，

.•M=5X8G=40G

故答案为：40>73.

【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法.

16.（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图.已知O,P两点固

定，连杆R4=PC=I40c，〃，AB=BC=CQ=QA^60cm,OQ=50cm,O,P两点间距与OQ

长度相等.当OQ绕点（2转动时，点A,B,C的位置随之改变，点8恰好在线段MN上

来回运动.当点5运动至点”或N时，点A,C重合，点P,Q,A,B在同一直线上（如

图3）.

（1）点P到的距离为160cm.

（2）当点尸，O,A在同一直线上时，点。到MN的距离为cm.

【分析】（1）如图3中，延长PO交于T,过点O作O"_LPQ于H.解直角三角形求

出PT即可.

（2）如图4中，当O,P,A共线时，过。作尸T于，.设〃4=玄加.解直角三角

形求出即可.

【解答】解：（1）如图3中，延长尸。交MN于T,过点O作。"LPQ于

图3

由题意：OP=OQ=50cm,PQ=PA-AQ=[4-=60=80(c»t)

PM=PA+BC=140+60=200(cm),PTYMN,

OHLPQ,

PH=HQ=40(an),

OPPM

40_PT

50-200,

PT=160(cm),

.•.点P到MN的距离为16052，

故答案为160.

(2)如图4中，当O，P,A共线时，过。作QH_LPT于，.设〃4=

由题意AT=PT-弘=160-140=20(0，")，OA=PA-OP=}40-50=90(cm),OQ=50cm,

AQ=60cm,

QHLOA,

QH2=AQ2-AH2^OQ1-OH2,

.1.602-X2-502-(90-X)2,

解得T

640

：.HT=AH+AT=——{cm),

9

.•.点Q到MN的距离为等c〃?.

故答案为如.

9

【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关

键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解

决问题.

三、解答题(本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20—21小题每小题6分，

第22〜23小题每小题6分，第24小题12分，共66分.请务必写出解答过程)

17.(6分)计算：|-2|+(-)°->/9+2sin30o.

【分析】直接利用零指数幕的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出

答案.

【解答】解：原式=2+1—3+2x，

2

=2+1-3+1

=1.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（6分）先化简，再求值：一士」一，其中4=3.

a-2a+\a-\

【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案.

【解答】解：原式=—

3-1）2

a

=------，

a-\

当a=3时，原式=—―=—.

3-12

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键.

19.（6分）如图，在5x5的网格中，AABC的三个顶点都在格点上.

（1）在图1中画出一个以A3为边的QABDE,使顶点。，E在格点上.

（2）在图2中画出一条恰好平分AABC周长的直线/（至少经过两个格点）.

【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）.

（2）利用数形结合的思想解决问题即可.

【解答】解：（1）如图平行四边形4弘组即为所求（点。的位置还有6种情形可取）.

（2）如图，直线/即为所求、

图1图2

【点评】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.（8分）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生

进行视力检测.根据检测结果，制成下面不完整的统计图表.

被抽样的学生视力情况频数表

组别视力段频数

A5侬5.325

B4.8皴5.0115

C4.4张上4.7m

D4.阖c4.352

（1）求组别C的频数机的值.

（2）求组别A的圆心角度数.

（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力

良好”的人数.根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

台样的学生觥情〉幅开缀计图

【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到，”的值；

（2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；

（3）根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数,

并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可.

【解答】解：（1）本次抽查的人数为：115+23%=500,

w=500x6l.6%=308,

即m的值是308；

（2）组别A的圆心角度数是：360°x—=18°,

500

即组别A的圆心角度数是18。；

（3）25000x25+115=7000（人），

500

答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人,

建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护.

【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

21.(8分)如图，AABC内接于0O,43为OO的直径，AB=IO,AC=6,连结OC,

弦4)分别交OC,3c于点E,F,其中点£是45的中点.

(1)求证：ZC4£>=ZCR4.

(2)求OE的长.

【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可.

(2)证明AAECSABC4,推出0£=生，求出EC即可解决问题.

ACAB

【解答】(1)证明：•.•隹=。£,OC是半径，

AC=CD,

.\ZCAD=ZCBA.

(2)解：・.・43是直径,

/.ZACB=90°,

・.・AE=DE,

:.OC±AD,

.\ZAEC=90°f

:.ZAEC=ZACB,

/.AAEC^ABCA,

.CEAC

…AC-AB，

CE_6

..—=—,

610

CE=3,6，

・・•OC=-AB=5,

2

:.OE=OC-EC=5-3.6=\A.

【点评】本题考查三角形的外心，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

22.（10分）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通.一艘游轮从杭州出发前往衢

州，线路如图1所示.当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线

路从杭州出发前往衢州.已知游轮的速度为20也〃力，游轮行驶的时间记为f（〃），两艘轮船

距离杭州的路程s{hn）关于/（A）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）.

（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长.

（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州.问：

①货轮出发后几小时追上游轮？

图1图2

【分析】（1）根据图中信息解答即可.

（2）①求出8,C,D,£的坐标，利用待定系数法求解即可.

（3）分两种情形分别构建方程求解即可.

【解答】解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23〃.

游轮在“七里扬帆”停靠的时长=23-（420+20）=23-21=2（/?）.

(2)①280+20=14/?,

•.点A(14,280),点5(16,280),

36+60=0.6(/z),23-0.6=22.4,

.,.点£(22.4,420),

设8C的解析式为s=20f+6,把3(16,280)代入s=20f+b,可得b=Y0,

.1.5=20f-40(16^23),

同理由0(14,0),E(22,4,420)可得。£的解析式为s=50—700(14麴)22.4),

由题意：20-40=501-700,

解得t=221

v22-14=8(/i),

货轮出发后8小时追上游轮.

②相遇之前相距12加时，20f-4-(50f-700)=12,解得，=21.6.

相遇之后相距12Am时，50f-700-(20f-40)=12,解得，=22.4,

21.6〃或22.4〃时游轮与货轮何时相距12km.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决

问题，属于中考常考题型.

23.(10分)如图1,在平面直角坐标系中，A4BC的顶点A,C分别是直线y=-§x+4与

3

坐标轴的交点，点3的坐标为(-2,0),点。是边AC上的一点，DELBC于点E,点、F在

边钻上，且3,尸两点关于y轴上的某点成中心对称，连结叱，EF.设点。的横坐标

为m,E尸为/,请探究：

①线段所长度是否有最小值.

②ABEF能否成为直角三角形.

小明尝试用“观察-猜想-验证-应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题.

(1)小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到/随，"变化的一组对应值，并在平

面直角坐标系中以各对应值为坐标描点(如图2).请你在图2中连线，观察图象特征并猜

想/与加可能满足的函数类别.

(2)小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想，请你求出/关于机的

函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值.

(3)小明通过观察，推理，发现ABEF能成为直角三角形，请你求出当ABEF为直角三角

形时m的值.

16

图1图2

【分析】(1)根据描点法画图即可;

(2)过点F,。分别作FG,垂直于y轴，垂足分别为G,“，证明

RtAFGK=RtADHK(AAS),由全等三角形的性质得出FG=DH,可求出F(-m,-2m+4),

根据勾股定理得出/=后尸=8机2-16,"+16=8(%-1)2+8,由二次函数的性质可得出答案;

(3)分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出，"的方程，解方程求出〃，的值，则可求

出答案.

【解答】解：(1)用描点法画出图形如图1,由图象可知函数类别为二次函数.

。〃垂直于)，轴，垂足分别为G,H,

记㈤交y轴于点K,

・・•。点与F点关于y轴上的K点成中心对称,

KF=KD,

\ZFKG=ZDKH9

/.RtAFGK三RtADHK(AAS),

:.FG=DH,

・・,直线AC的解析式为y=~x+4,

二人=0时，y=4,

/.A(0,4),

又丁8(—2,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

f-2k+b=0

"\b=4

直线AB的解析式为y=2x+4,

过点”作用J_x轴于点R,

•・・£＞点的横坐标为加，

：.ER=2m,依=—2m+4,

EF2=FN+ER2,

I=EF2=8m2-16/M+16=8("?-1)?+8,

令-良+4=0,得x=3,

32

3

?.Oxxijn-.

2

・•・当加=1时,/的最小值为8,

1的最小值为20.

(3)①NfBE为定角，不可能为直角.

②N8M=90。时，E点与O点重合，。点与A点，F点重合，此时机=0.

③如图3,庄=90。时，WBF2+EF2=BE2.

由(2)得防2=8裙—16加+16,

X•/BR=-m+2,FR=-2m+4»

BF2=BR2+FR2=(-m+2)2+(-2m+4)2=5m2-20m+20,

X-.-BE2=(m+2)2，

(5m2-20m+8)+(8m2-16w+16)2=(w+2)2,

化简得，3m2-10/77+8=0,

解得,m2=2(不合题意，舍去)，

4

:.m=—.

3

4

综合以上可得，当ABE77为直角二角形时，,〃=0或,〃=—.

3

【点评】本题是一次函数综合题，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判

定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形

的性质等知识，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键.

24.(12分)【性质探究】

如图，在矩形A38中，对角线AC,相交于点O,平分NB4C,交于点E.作

£)尸，AE于点H,分别交43,AC于点P,G.

(1)判断AAFG的形状并说明理由.

(2)求证：BF=2OG.

【迁移应用】

(3)记ADGO的面积为3,AD8F的面积为5，，当工=，时，求处的值.

S23AB

【拓展延伸】

(4)若。尸交射线钻于点尸，【性质探究】中的其余条件不变，连结砂，当A6E5的面

积为矩形4BCD面积的时，请直接写出tan的值.

10

【分析】(1)如图1中，AAFG是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可.

(2)如图2中，过点O作d〃他交/)产于L,则NAFG=NaG.首先证明OG=OL,

再证明8/=2(%即可解决问题.

(3)如图3中，过点。作。KJ_AC于K,则NDK4=NCD4=90。，利用相似三角形的性

质解决问题即可.

(4)设OG=a,AG=k.分两种情形：①如图4中，连接EF,当点尸在线段他上时，

点G在。4上.②如图5中，当点尸在的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF.分

别求解即可解决问题.

【解答】(1)解：如图1中，AAFG是等腰三角形.

图1

理由：•.•他平分N8AC,

.-.Z1=Z2,

■：DFYAE,

.-.ZAHF=ZAHG=9O°,

-,-AH=AH,

\AHFs^AHG(ASA),

:.AF=AG,

・•.AAFG是等腰三角形.

(2)证明：如图2中，过点O作OL//AB交。尸于L,则NAFG=NOLG.

图2

\AF=AG.

..ZAFG=ZAGF,

♦,,ZAGF=4OGL,

:.ZOGL=ZOLG,

；,OG=OL,

♦;OL//AB,

:.\DLO^>\DFB.

.OLDO

而一茄’

・・•四边形ABC。是矩形,

BD=2OD，

；,BF=2OL,

:.BF=2OG.

(3)解：如图3中，过点。作£>K_LAC于K,则NDK4=NCZM=90。,

图3

ADAK=ACAD,

••.AADKSAACD,

.DKCD

AD-AC'

S\=-.OG.DK,S,=-•BF.AD,

1222

Q1

又・.・BF=2OG,」二一，

S23

,"=2=0，设C£)=2x,AC=3x,则=

AD3AC

.ADAD75

~AB~~CD~~2'

(4)解：设OG=a,AG=k.

①如图4中，连接£F,当点F在线段43上时，点G在。4上.

图4

•：AF=AG,BF=2OG,

:.AF=AG=k,BF=1a,

/.AB=左+2a,AC=2(&+a),

AD2=AC2-CD2=[2(k+a)f-(k+2a)2=3k2+4ka,

­/ZABE=ZZMF=90°,ZBAE=ZADF,

.BE_AE

AD'

BEk

..-----=---,

k+2aAD

,左伏+2a)

..t5tL------------,

AD

由题意：10x，x2ax*(lt2")=AD^k+2d),

2AD

AT>2=10fcz,

即103=3〃+4履，

..k.—2a,

/.AD=2\[5a,

.°口k(k+2a)475)

..BE=----------=------a,A4Bn=4a，

AD5

..小q_BE石

..tanNBAE=----=—•

AB5

②如图5中，当点尸在A3的延长线上时，点G在线段OC上，连接即.

・.・AF=AG,BF=2OG,

AF=AG=k,BF=2a，

AB=k-2aAC=2(攵-a),

22222

AD=AC-CD=[2(2-一也―2a)=3k-4kaf

\-ZABE=ZDAF=90°,Z.BAE=ZADF,

^ABE^ADAF，

.BE_AF

一花—茄’

.BEk

-k-2a~茄’

;.BE=k82a),

AD

由题意：10x—x2rzx——=AD^k—2a),

2AD

AD2=\0ka,

即103=342—4ka，

,14

/.K=—a,

3

・52>/105

3

k(k-2a)8V1058

..BE=-----------=--------a,AB=-ay

AD453

一/RA口_BE_阮

..tan/BAE=----=-------,

AB15

综上所述，tanNSAE的值为好或迤.

515

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角

形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学

会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

试卷分析部分

1.试卷总体分布分析

总分：120分

客观题（占比）30(25.0%)

分值分布

主观题（占比）90(75.0%)

客观题（占比）10(43.5%)

题量分布

主观题（占比）13(56.5%)

2.试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

选择题：本大题有10个小题，

10(43.5%)30(25.0%)

每小题3分，共30分。

填空题：本大题有6个小题，

6(26.1%)24(20.0%)

每小题4分，共24分，

解答题：本大题有7个小题，

7(30.4%)66(55.0%)

共66分.

3.试卷难度结构分析

序号难易度占比

1容易13%

2普通65.2%

3困难21.7%

4.试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

有理数的加减乘除混

13(1.5%)1

合运算

关于坐标轴对称的点

23(1.5%)2

的坐标特征

3切线长定理3(1.5%)3

一元一次方程的其他

43(1.5%)4

应用

5中位数3(1.5%)5

6平行线分线段成比例3(1.5%)6

7三角形内角和定理11(5.6%)7,19

一次函数图象、性质与

83(1.5%)8

系数的关系

9解直角三角形的应用3(1.5%)9

二次函数图象与坐标

103(1.5%)10

轴的交点问题

因式分解-运用公式

114(2.0%)11

法

12平均数及其计算12(6.1%)12,18

13圆锥的计算4(2.0%)13

14解直角三角形4(2.0%)14

待定系数法求一次函

154(2.0%)15

数解析式

16翻折变换（折叠问题）4(2.0%)16

相似三角形的判定与

174(2.0%)16

性