2021届安徽省江淮十校高考数学第三次质检试卷(文科)(含答案解析)

2021届安徽省江淮十校高考数学第三次质检试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集为R,集合4=卜|^尸31},B={X||X-3|<1},则力CCRB=()

A.[x\x<0}B.{x|2<%<4]

C.{x|0<x<2或x>4}D.{x|0<x<2或%>4}

不等式,唱尸-成立时的取值范围是（）

2.4i|23+4/x

A.[i,8]B.(0,1]U[0,+oo)C.(0i]U[8,+oo)D.(0,1)U(8,+<»)

o

3.双曲线4/—y2=1的一条渐近线的方程为（）

A.2x+y=0B.2%4-y=1C.x+2y=0D.%4-2y=1

4.设命题P：函数y=/（x）不是偶函数，命题q：函数y=/（x）是单调函数，则p是口的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236）,那么任取一个三位数，它

是渐升数的概率为（）。

AVc

-25B藤-专DW

c

6.关于x的方程--x-COSJ4COSB-cos2—=。有一个根为1,则4ABC一定是

2

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

7.如图，正方形43co的边长为2,动点E从A开始沿ATBTC的方向以2

个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点尸从点C开始沿边以1

个单位长/秒的速度运动到D点停止,则△4EF的面积y与运动时间x（秒）之

间的函数图象大致形状是（）

4

I2

•1

8.等差数列｛an｝中，。6+的=16，。4=1，则的1=（）

A.64B.30C.31D.15

9.已知直角梯形4BCO中，AD//BC,^ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰OC上的动点，则

|港+3而|的最小值为（）

A.4B.5C.V6D.2

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.12+SB.3也+12C.4D.交+12

11.尸是圆（X-5）2+3—3）2=9上点，则点p到直线3x+4y-2=0的最大距离是（）

A.2B.5C.8D.9

12.已知函数0的定义域为国，部分对应值如下表,

□

S的导函数S的图象如图所示.

S

下列关于S的命题：

①函数S的极大值点为回，区；

②函数区在囚上是减函数；

③如果当□时，S的最大值是2,那么区1的最大值为4；

④函数0最多有2个零点.

其中正确命题的序号是()

A.①②B.③④C.①②④D.②③④.

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，将全校200名教师按一学°79

133567

期使用多媒体进行教学的次数分成了

[0,9),[10,19),[20,29),[30,39),2I24588

[40,49)五层，现采用分层抽样从该校教师中抽取20名教师，调查了他30147

4I12

们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可

知该校一学期使用多媒体进行教学的次数在|圜瞬颤内的教师人数为

2%4-y<3

14.若x,y满足约束条件x-y<0,贝!Jz=%-2y的最大值为

%+2>0

15.在直角三角形A8C中，C=90°,AC=6,BC=4.若点。满足同=一2而，则|而|=

16.己,知五=(sina,cosa),b=(V3,1)>且方13，那么sin(a+"=

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.设数列｛即｝满足%=2,%+“4=8,且对任意nGN*,函数/)=(an-an+1+an+2)x+

an+1cosx-aa+2sinx满足/(2)=0.(1)求数列｛w｝的通项公式;

(2)若匕=2(a*+*]，求数列｛%｝的前n项和5.

18.已知矩形ABC。,AB=2,4。=加，沿对角线AC将△4CD折起至AACP,使得二面角P—4C—B

为60°,连结P8.

(1)求证：平面PAB1平面ABC-,

(2)求二面角8-PA-C的余弦值.

19.在微博知名美食视频博主李子柒的引领下，大家越来越向往田园生活，一大型餐饮企业拟对一

个生态农家乐进行升级改造，加入大量的农耕活动以及自己制作农产品活动，根据市场调研与

模拟，得到升级改造投入M万元）与升级改造直接收益y（万元）的数据统计如下：

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

当0<%W17时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:y=4,1X+11.8；模型②:y=21.3G一

14.4；当％>17时，确定y与x满足的线性回归方程为：y=-o,7x+a.

（I）根据下列表格中的数据，比较当0<xW17时模型①、②的相关指数R2,并选择拟合精度

更高、更可靠的模型，预测对生态园升级改造的投入为17万元时的直接收益.

回归模型模型①模型②

回归方程y—4.1%+11.8y=21.3近一14.4

7八

182.479.2

1=1

（附：刻画回归效果的相关指数/?2=1一西吐对，旧=4.1.）

（II）为鼓励生态创新，当升级改造的投入不少于20万元时，国家给予公司补贴收益10万元，

以回归方程为预测依据，比较升级改造投入17万元与20万元时公司实际收益的大小；

（附：用最小二乘法求线性回归方程j,:的系数公式b=9口:一辿厂口=照工汕辿,

a=y—bx）

13

20.设於）=«lnA+—+-x+l,其中曲线y=兀独在点（1/（1））处的切线垂直于y轴.（1）求

2x2

。的值;

(2)求函数y(x)的极值.

21.已知动点P到两定点4(1,0),8(2,0)的距离的比为日.

(1)求P的轨迹C的方程；

(2)是否存在过点4(1,0)的直线/交轨迹C于点M和N使得△MON的面积为f(0为坐标原点)，若存

在，求/的方程，若不存在说明理由.

(x=^

22.在直角坐标系x°y中，曲线C的参数方程为《为参数)，C与坐标轴交于A、B两点.

⑴求|4B|；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

23.已知mbwR,且abW0.

(/)若ab>0,求证：^+l>2；

(口)若ab<0,求证：(+副>2.

【答案与解析】

1.答案：c

解析：解：集合a={%|(}“<1}={x|x20},

B={x||x-3|<1]={x|2<%<4},

CRB={x|x<2或x>4}.

:.AnCRB=(x[0<x<2或x>4}.

故选：C.

利用已知条件求出两个集合，然后求解交集即可.

本题考查结合的基本运算，绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，考查计算能力.

2.答案：C

解析：

利用复数的模推导出。。9座)229,从而b9了>3或hgy<-3,由此能求出不等式一讥|>

2222

|3+4i|成立时x的取值范围.

本题考查实数的取值范围的求法，考查复数的模、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，

考查函数与方程思想，是基础题.

解：•••-4i|>|3+4i|=V9+16=5,

2

(log受产+42>25,

2

(Zo^i%)2>9,

2

Alogix>3或Logpr<—3,

解得0<XW]或久>8.

故不等式1的产-句>13+包|成立时》的取值范围是(0点U[8,+00).

故选：C.

3.答案：A

解析：解：双曲线4——y2=i即为

n—旷？=1,可得a=；,b=1,

52

由双曲线的渐近线方程y=±-x,

可得所求渐近线方程为y=±2x.

故选：A.

将双曲线的方程化为标准方程，求得mb,由双曲线的渐近线方程、=±《％,即可得到所求结论.

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量和渐近线方程，考查运算能力，属

于基础题.

4.答案：B

解析：解：命题P：函数y=/(乃不是偶函数，命题4：函数y=f(x)是单调函数，

则qnp,反之不成立.例如/'(x)=(久-不是偶函数，但是此函数在R上不单调.

则P是4的必要不充分条件.

故选：B.

由qnp,反之不成立.例如取/(x)=(x-l)2不是偶函数，但是此函数在R上不单调.

本题考查了函数的奇偶性单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：根据题意，“渐升数”中不能有0,

则在其他9个数字中任取3个，每种取法对应一个“渐升数”，则三位数共有“渐升数”瑶=84个.

而三位数共有900个，

故任取一个三位数，它是渐升数的概率P=端=女，

故选：B.

求出所有三位数的总数，再求出所有三位“渐升数”的个数，代入古典概型概率计算公式，可得答

案.

本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步

骤，是解答的关键.

6.答案：D

解析：

本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用和解三角形的应用.

利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，结合三角形内角和得cos(A-B)=l,再利用解三角

形的相关应用得结论.

解：•.・关于x的方程,一(cos/cosB)%-cos2|=0有一个根为1,

.._1—cos。_

1-cos>icosJS----------------=0，

2

即cosC+IcosAcosB=1,

••­—cosAcosB+sinAsinB+2cosAcosB=1,

因此cos(4—B)=1.

又：-7T<A-B<n,

■■A—B=0,

因此△ABC一定是等腰三角形.

故选。.

7.答案：A

解析：

本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计

算能力，属于基础题.

点E在线段AB上时,4E=2x,(0<x<l),y=12xx2=2x点E在线段8c上时,BE=2(x-1),

(l<x<2),y=(x-|)2+[.利用一次函数与二次函数的单调性即可得出.

解：点E在线段A8上时，AE=2%,(0<x<1),y=^2xx2=2x.

点E在线段BC上时,BE=2(x-1),(1<xW2),y=22-：x2x2(x-l)-]2-2(x-l)]xx-

jx2x(2-x)=x2—3x+4=(x-j)2+^.

利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确.

故选：A.

8.答案：D

解析：解2：•.•6+9=4+11,

1=。6+09=16,**•Q]]—15.

故选。.

因为给出的数列是等差数列，由等差数列的性质直接列式请求的1的值.

本题考查了等差数列的性质，在等差数列中，若m,n,p,q&N*,且m+n=P+q,则即,+an=

Qp+Qq,是基础题.

9.答案:B

解析：解：如图，以直线D4,OC分别为x,y轴建立平面直角

坐标系，c______B

则4(2,0),8(1,a),C(0,a),D(0,0)PX.

设P(0,b)(0<b<a)-J...............—>

则同=(2,-b)，PB=(l,a-b)，

.-.PA+3PB=(5,3a-4b)

IPA+3PBI=J25+(3a-4b=>5，

即有当3a=4b时，取得最小值5.

故选B.

根据题意，利用解析法求解，以直线D4,OC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，则4(2,0),

C(0,a),D(0,0),设P(0,b)(0<b<a),求出编，而，根据向量模的计算公式,即可求得|两+3丽

利用完全平方式非负，即可求得其最小值.

此题是个基础题.考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析

解决问题的能力.

10.答案：B

解析：

本题考查的是三视图的问题.

解：由三视图可知该几何体为用平面EFGHMN截边长为2的正方体所得到的几何体.

如图,

其中六边形EFGHMN是正六边形,边长为工.

几何体的上下面积之和，前卷面积之和，

左右面积之和均为正方体的一个面的面积.

更2

二.i^JL何体的表面积S=22X3+4x(&尸x6=12+3君.

故选B.

11.答案：C

解析：解：由(X—5)2+(y—3)2=9,可知该圆的圆心为(5,3),半径为3.

则圆心到直线I：3x+4y-2=。的距离为史^^3=y=5.

所以圆上的点P到直线/：3x+4y-2=。的距离的最大值是3+5=8.

故选：C.

求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出元新到直线的距离，则原上的点尸到直线/：

3久一4y-5=。的距离的最大值可求.

本题考查了直线和圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属基础题.

12.答案：C

解析：试题分析：因为从导函数的图像可知函数区在回上导函数大于零，所以S是递增的.在

□上导函数小于零所以□递减.所以①函数□的极大值点为□，S正确,②函数□

在0上是减函数正确.③如果当S时，□的最大值是2,那么□的最大值为4；不正确□

的最大值都是5.④函数0最多有2个零点.当0时就有两个零点.综上正确的序号是①②④.

考点：1.导函数的图形的性质.2.根据导函数画出函数图像的走向.3.函数的最值问题.

13.答案:40

解析：试题分析：根据题意，由于茎叶图可知满足在用多媒体进行教学的次数在|圜鼠繁B内的教师人

数为4人，抽样的结果总共是20人，那么可知估计200人中，满足在给定区间的教师人数为

埃娜照』=罐航故答案为40.；

考点：茎叶图的运用

点评：解决的关键是理解分层抽样的等比例性质，以及茎叶图的数据统计，属于基础题。

14.答案：2

解析：解：由z=x-2y得y=紧-枭，

2x+y<3

作出X,y满足约束条件卜-yW0对应的平面区域如图(阴影

.X+2>0

部分)：

平移直线y=|x-|z,

由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最

小，

此时z最大，

由仁J"，得B(-2,-2).

代入目标函数z=x-2y,

得z=-2-2x(-2)=2,

故答案为：2.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.

本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是

解决问题的基本方法.

15.答案：10

D

解析：解：由而=一2而可知B为A。的中点，如图,

在直角三角形ABC中，C=90°,AC=6,BC=4,

「c442g

・•・COSZ.CBA=-V75=2=--13--

・•.cos〃BD=-醇

在ACB。中，由余弦定理得:

CD2=BC2+BD2-2BC-BD-cos乙CBD

=42+(V52)2-2x4xV52x(-箸)=100.

CD=10.

即|而|=10.

故答案为：10.

由题意作出图形，得到8为的中点，由已知条件求得乙CBD的余弦值，在中利用余弦定理

得答案.

本题考查了平行向量与共线向量，考查了余弦定理的应用，是基础的计算题.

16.答案：土：

解析：解:alb;

■■ab=>j3sina+cosa=0;

•••cosa=—V3sina;

••­cos2a+sin2a=3sin2a+sin2a=1；

sina=-[sina———

2收或|J;

(cosa——y(cosa——

：.sin(a+；)=|sina+ycosa=；—,=-：或sin(a+、)=_"+、=；.

故答案为:±1.

可根据五1区得出五-b=0,进行数量积的坐标运算即可得出cosa=—百sina,再根据cos2a+

sin2a=1即可求出sina,cosa,再根据sin(a+g)=gsina+=cosa即可求出sin(a+；)的值.

考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，cos2a+sin2a=1,以及两角和的正弦公式.

17.答案：解：(1)由题设可得，/(x)=an-an+14-an+2-an+1sinx-+2C0Sx.对任意N*,

,(2)=即一Qn+1+an+2-的1+1=0，即即+1-Qn=+2-+1，故｛斯｝为等差数列.

由=2,〃2+。4=8,解得｛an｝的公差d-1,所以an=2+1•（〃一1）=/14-1.

21%+产）=2（/+1+定）=2”+堤+2知,

(2)由与

2

垢2〃+2・亨上,1

%=%+"-+=+“2+3〃+1-——

2*

解析：略

18.答案：解：(1)在矩形ABCQ中，取AB中点。，连结O。，与AC交于点E,

则AO=1,Rtt^ACD^Rtt^ODA^,■="=&，AADC=Z.OAD,

・•・Rt△ACD〜Rt△ODA,

：•/.ADO=Z.ACDJ

AZ.DAE+Z.ADE=90°,即。。_L4C,

・.・DC〃AO,,•噂吟=2,

''EOAO

折起后，DE即为PE,则仍有EOA.AC,

则4PE。即为二面角P—AC—B的平面角，即NPE。=60°,

连结PO,

所以在APEO中，cos^PEO=|=^>

BPzPOE=90°,BPPO1OE,

由前所证，ACLPE,AC1EO,PEOEO=E,PE、E。u平面

PEO,

ACJ_平面PEO,

•­•POu平面PEO,

•••AC1PO,

而ACnEO-E,

AC、EOu平面ABC,

所以P。，平面ABC,

又••・P。u平面PAB,

平面PAB_L平面ABC,

解：(2)如图，在平面ABC内，过点0作AB的垂线为x轴，。8为y轴，。尸为z轴建立空间直角坐

标系.

由(1)得P。=1.X(0,-1,0),B(0,l,0),C(-V2,1,0),P(OA1)>

PA=(0,-1,-1),PC=(-V2,l,-1)-PB=(0,1,-1),

设平面PAC的法向量为近=(xi，y1,zi),则由1日,竺=°得

显•PC=0

(~yi-zi=o

t—V2%I+yi-Zi=0'

取z1=l,则用<=(一心一1,1),

由题意知平面PAB的法向量为石=(1,0,0),

设二面角B-PA-C的平面角为仇

因为。为锐角，贝ijcos。=萼薯=乎，即二面角B—24—C的余弦值为它.

解析：(1)推导出Rt△ACD~-Rt△ODA,从而"DO=Z.ACD,进而/JX4E+/.ADE=90°,DOLAC,

折起后,QE即为PE,则仍有PE14C,E0_L4C,则NPEO即为二面角P-4C-B的平面角，即NPE。=

60°,连结尸O,推导出4cl平面PEO,AC1PO,从而PO_L平面ABC,由此能证明平面R4BJ_平面

ABC,

(2)过点。作A8的垂线为x轴，08为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面以C的法向

量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值.

1824792

19.答案：解：(I)由表格中的数据，有182.4>79.2,即在>万不二乔，

••.模型①的R2小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好.

则y=21.3Vx-14.4，

.•・当％=17万兀时，科技改造直接收益的预测值为y=21.3xV17-14,4=21.3X4,1—14,4=

72.93(万元)；

(n)由己知可得：x-20=1+2+g+4+5=3,得±=23.

—乙八8.5+8+7.5+6+6—一

y-60=---------------=7.2Q,y=67.2.

.・.a=y+0.7%=67.2+0.7x23=83.3,

・•・当x>17万元时，y与x满足线性回归方程为：y--o,7x+83.3;

当％=20万元时,科技改造直接收益的预测值为y=—Q7x20+83.3=69,3,

二当％=20万元时，实际收益的预测值为69.3+10=79.3万元.

79.3万元〉72.93万元,

故科技改造投入20万元时，公司实际收益更大.

解析：(I)由表格中的数据结合相关指数公式说明模型②刻画的拟合效果更好，在模型②方程中,

取x=17求得)，值，即可预测科技改造直接收益的预测值：

(II)由已知求得1与:的值，得到y关于x的线性回归方程，取x=20求得y值，然后比较大小得结

论.

本题考查相关指数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：(1)因式x)=“lnx+--+三x+1,故/(x)=±-一1+三.

2x2x2x2

由于曲线)，=於)在点(1血1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即/(1)=0,从而

13

a——I—=0,解得〃=—1.

22

13

(2)由(1)知“X)=—In(+----F—x+l(x>0),

2x2

113_3/2xl_(3x+l)(xl)

f®=x2x222x22x2

令/(x)=0,解得h=1,

电=—因马=一!不在定义域内，舍去)•

当在(0,1)时，/(x)<0,故优0在(0,1)上为减函数;

当在(1,+8)时，/(x)>0,故穴x)在Q+8)上为增函数.

故兀0在犬=1处取得极小值穴1)=3.

解析：略

21.答案：解：(1)设P(x,y),•••动点尸到两定点4(1,0),8(2,0