2020年中考数学一轮复习培优训练 相交线与平行线 有答案

2020年中考数学一轮复习培优训练：

《相交线与平行线》

1.平面内有任意一点P和N1,按要求解答下列问题：

(1)当点。在N1外部时，如图①，过点尸作R41OMPBLON,垂足分别为4、B,

量一量N/期和N1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系；

(2)当点尸在N1内部时，如图②，以点P为顶点作N400,使N4P0的两边分别和N

1的两边垂直，垂足分别为4、B,用数学式子写出//期和N1的数量关系;

(3)由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,

那么这两个角.

(4)在图②中，若/1=50°17,求N4E8的度数.

2.探究：如图①，ABHCD//EF,试说明下面给出了这道题的解题过

程，请在下列解答中，填上适当的理由.

解：YABIICD,（已知）

：.AB=/_\.()

同理可证，ZF=Z2.

•.,ZBCF=Z1+Z2,

：.ABCF=LB+/.F.()

应用：如图②，AB/ICD,点尸在宓之间，FE与4B交于点M,FG与8交于

点N.若/用G=115°,NEMB=55°,则N&VG的大小为度.

拓展：如图③，直线8在直线43、石尸之间，且AB/CDHEF,点G、H分别在直线

45、石尸上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH.若/

GQH=70°,则N4G叱/即Q=度.

3.综合与探究

如图，已知AMIIBN,N4=60°,点P是射线上一动点（与点/不重合）.BC,

班＞别平分即和NMN,分别交射线43于点C,D.

(1)求N4BMNO。的度数；根据下列求解过程填空.

解：-：AMIIBN,

AABN+AA=180°

•：AA=60°,

：.AABN=,

，N4B7斗/PBN=120°,

平分N4SP,BD平分(PBN,

：.AABP=2ACBP.乙PBN=,()

2ZCBP^2ZDBP=120°,

/.zCBD=zCBPrzDBP=.

(2)当点P运动时，N4期与NADB之间的数,量关系是否随之发生变化？若不变化,

请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.

(3)当点尸运动到使N/CS=N4B「时，直接写出N/3C的度数.

4.探究:

如图①，在△4BC中，点。、E、尸分别在边AS、AC.C8上，且DEIIBC,EFIIAB,

若N43C=65°,求NO即的度数.请将下面的解答过程补充完整，并填空(理由或数

学式):

图①图②

解：-：DEHBC()

：./_DEF=()

■：EFHAB

：.=/_ABC()

/_DEF=/_ABC()

•：AABC=65°

：.£DEF=

应用：

如图②，在△ABC中，点E、尸分别在边4B、AC.的延长线上，旦DEHBC,

EF//AB,若N/BC=B，则NO昉的大小为(用含P的代数式表示).

5.三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图

方式叠放在一起，当0°<ZACE<90°且点E在直线4c的上方时，解决下列问题：(友

情提示：ZA=60°,Z£>=30°,乙B=乙E=

(1)①若NE»CE=45°,则的度数为；

②若N4CB=140°,则NDCE1的度数为；

(2)由(1)猜想N4C8与NACE的数量关系，并说明理由.

(3)这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出N4CE的角度所有可

能的值(不必说明理由)；若不存在，请说明理由.

6.【探究】如图①，和NCHF的平分线交于点O,EG经过点。且平行于阳，分别

与AB、8交于点E、G.

(1)若NHfH=60。,ZC7YF=50°,则NEOF=度，乙FOH=度.

(2)若N4R任(■/CHF=100°,求NR2修的度数.

【拓展】如图②，/45方和NCS的平分线交于点。，EG经过点。且平行于皿分

别与48、CD交于点E、G.塞(AFH+乙CHF=a,直接写出NEQH的度数.(用含a

的代数式表示)

7.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

阅读理解：

如图1,已知点4是外一点，连接幺B,AC.

求NH4CFN8+NC的度数.

(1)阅读并补充下面推理过程

解：过点力作即〃8C,所以NB=N区48,LC=.

又因为NE4B+N皿GN。4c=180°,

所以/研/及4公/。=180°

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将/创C,AB,Z.C

“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

方法运用：

(2)如图2,已知ABHED,求/3+/8血/。的度数.(提示：过点C作CF///B)

深化拓展：

(3)如图3,已知ABIICD,点C在点。的右侧，AADC=1Q°.点B在点4的左侧，

N43C=60°,BE平分N4SC,平分N4DC,BE,所在的直线交于点E,点E

在4B与8两条平行线之间，求/班。的度数.

图3

8.如图卜，已知射线4B与直线8交于点O,OF平分乙BOC,OGLOF于点O,AE/I

OF.

(1)若N4=30°时①求F的度数；②试说明8平分N4OG;

(2)如图2,设//的度数为a,当a为多少度时，射线。。是N49G的三■等分线，并

说明理由.

图1图2

9.如图1,已知ABIICD,NB=20°,/£>=110°.

(1)若NE=50°,请直接写出/户的度数;

(2)探索/E与/产之间满足的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,EP平分乙BEF,尸G平分NEED,FG的反向延长线交融于点尸，求/尸

的度数.

10.问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线43,S和一块含60°角的直角三角

尺昉G(NEFG=90°,NEG尸=60°)”为主题开展数学活动.

操作发现

(1)如图(1),小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若/2=2/1,求N1的

度数；

(2)如图(2),小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在/出和8上，请你探

索并说明N4即与NRGC之间的数量关系；

结论应用

(3)如图(3),小亮把三角尺的直角顶点尸放在CD上，30°角的顶点E落在48上.若

NAEG=a,则N57等于(用含a的式子表示).

11.已知直线4B//CD.

(1)如图1,直接写出NENEW的数量关系为

(2)如图2,/项组与N&VE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究NP与NE之

间的数量关系，并证明你的结论;

(3)如图3,£ABM=—/_MBE,Z_CDN=—/.NDE,直线MS、ND交干葭F,

nn喙

12.已知，ABHCD,点E为射线FG上一点.

(1)如图1,若N皿尸=30°,NEDG=40°,则N4ED='

(2)如图2,当点E在尸G延长线上时，此时8与4El交于点“，则N4ED、LEAF.

NEOG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

(3)如图3,DI平分(EDC,交AE于点K,交㈤■于点/,且NE”:ZBA/=1:2,

ZAED=22°,ZZ=20°,求NEK。的度数.

13.如图，两条射线AMIIBN,线段。的两个端点C、。分别在射线BN、40上，且N4

=Z5CD=108°.E是线段40上一点(不与点4。重合)，且即平分/即C.

(1)求N43。的度数.

(2)请在图中找出与N4BC相等的角，并说明理由.

(3)若平行移动CD,且4D>CD,则N4DS与N4ES的度数之比是否随着8位置的

变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.

AEDM

B

14.如图，已知AMIIBN,N4=60°,点尸是射线3上一动点(与点4不重合)，BC,

分别平分N4即和NPBN,分别交射线,于点C,D.

(1)求的度数;

(2)当点P运动时，AAPB-.NAD3的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值;

若变化，请找出变化规律一；

(3)当点尸运动到某处时，£ACB=£ABD,求此时N4BC的度数.

15.已知：点4C、8不在同一条直线上，ADUBE

(1)如图①，当N4=58°,NB=118°时，求NC的度数；

(2)如图②，AQ.BQ分别为NR4C、/即C的平分线所在直线，试探究NC与N4QB

的数量关系；

(3)如图③，在(2)的前提下，且有ACIIQB,QP1PB,直接写出NO4C:/.ACB-.

NCBE的值.

EBEB

图①EB

图②图③

参考答案

1.解：(1)如图1中，设PA交ON于尸.

■：PA]_OM,PB]_ON,

；ZPBF=4OAF=90°,

-：/_PFB=LOFA,

：./_APB=/_\.

故答案为NARS=N1.

(2)如图2中，•.,NE4O=N2BO=90°,

1=180°.

故答案为NARB+N1=18O°.

(3)由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,

那么这两个角相等或互补.

(4),.-ZAPS+Z1=180°,

.,.ZAPS=180°-50°17'=129"43'.

2.解：探究：：-：AJBIICD,

（两直线平行内错角相等）

同理可证，ZF=Z2.

,.•ZJ3CF=Z1+Z2,

.•.N3CF=NB+NE（等量代换）

故答案为：西直线平行，内错角相等，等量代换.

应用：由探究可知：（MFN=（AMF^乙CNF,

:.乙CNF=/_DNG=11S-55°=60°.

故答案为60.

拓展：如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，AAGQ^-£EHQ=3C>G°-70°=290°,

当点Q'在直线GE的左侧时，N/G。'乙EHQ=^GQ/H=70".

故答案为70或290.

图③

3.解：⑴-：AMIIBN,

：.Z.ABN+Z.A=18O°,

：.AABN=120°

.,./AR冉NPBN=120°,

,：BC^^-AABP,BD平分（PBN,

：.（ABP=22CBP、（PBN=2乙PBD,（角平分线的定义），

.1.2ZCBP^2ZDBP=120°,

ZCBD=ZCB.Pt-ZDBP=60°.

故答案为120°,2APBD,角平分线的定义，60°.

（2）N4PB与N4DB之间数量关系是：£APB=2AADB.不随点尸运动变化.

理由是：,••4A"及V,

:.乙APB=LPBN,（两直线平行内错角相等），

,:BD斗分■乙PBN（已知），

：.APBN=2ADBN（角平分线的定义），

.,.ZAPB=ZPBN=^2ZDBN=2ZADB（等量代换）,

(3)结论：NABC=30°.

理由：'：AMIIBN,：./_ACB=/.CBN,

当时，则有NCBM=N4BO,

:.乙ABC*乙CBD=乙CBA乙DBN,

：.£ABC=£DBN,

由(1)可知N4BN=120°,ZCBZ?=60",

：.AABC+ADBN=6Q°,

ZA5C=30°

4.解：探究：（已知）

.•.NOEF=NC叨（两直线平行，内错角相等）

■：EFHAB

.•.NCRE=N4BC（两直线平行，同位角相等）

：.£DEF=£ABC（等量代换）

■：/.ABC=65°

：./_DEF=65°

故答案为：已知；ACFE-两直线平行，内错角相等；LCFE-,两直线平行，同位角相等;

等量代换；65°.

应用：-：DEHBC

：./_ABC=/_D=^

■：EFHAB

：./_D^LDEF=\^

：.Z.DEF=180°-/0=180°-p,

故答案为：180°-p.

5.解：⑴①••,/4宓=90°,"CE=45°,

：.Z.ACE=45°,

：.AACB=S)Q°+45°=135°,

故答案为：135°;

②N4C8=140",乙ACD=/_ECB=90°,

：.LACE=\^>-90°=50°,

/.ZDCE=ZDCA-ZACE=90°-50°=40°;

故答案为：40°;

(2)N/CB与NOCE互补.理由：

,.248=90°,

£ACE=90°-£DCE,

又：/BCE=90",

.-.AACB=90°+90°-/,DCE,

：.LACBV/_DCE=^+90°-ZDCE+ZDCE=180",

即N/CB与NQCE互补；

(3)存在一组边互相平行，

当N4CE=45°时，N/CE=/E=45°,此时4c〃跖；

当N4CE=30°时，ZACB=120",此时N4+/4C5=180°,^AD/IBC.

6.解：【探究】(1)阳=60°,OF平分(AFH,

：.Z0777=30",

又，；EGHFH,

：.LEOF=/_OFH=^;

■：/LCHF=50",OH平分乙CHF,

：./LFHO=25°,

:ZOH%,/户0H=180°-NOfH-/况尸=125°;

故答案为：30,125;

(2)•:FO平分乙AFH,HO平分乙CHF,

：./_OFH=—/_AFH,/_OHF=—Z.CHF.

22

•；NAFH+/CHF=100°,

：.AOFH+^OHF=—{/_AFH^/_CHF)=—X100°=50°.

22

■：EGHFH,

：./_EOF=/_OFH,ZGOH=ZOHF.

/.ZEOF+ZGOH=ZOFH+ZOWF=50°.

ZEOF+ZGOH+ZFCW=180",

：./_FOH=X^-{/_EOFV/_GOH)=180°-50°=130°

【拓展】和/a〃的平分线交于点o,

:.乙。FH=//_AFH,/_OHI=^/_CHI,

：.ZFOH=ZOHI-ZOFH

=—{/.CHI-乙AFH)

2

=—(180°-LCHF-LAFU)

2

=­•(180°-a)

=90°--^a.

7.解：(1)EDIIBC,

:.乙C=/_DAC,

故答案为：ADAC\

(2)过。作叱7/相，

YABIIDE,

・•・CFHDE,

:./_D=/_FCD、

•・•CFIIAB,

：,/_B=/_BCF,

ZBCFTZBCLh-ZZ?CF=360°,

.\^B+ABCLH-AD=360°,

(3)如图3,过点石作灰//4B,

•：ABHCD,

：.AB/ICDHEF,

：.^ABE=/LBEF,/_CDE=/.DEF,

•；BE平分NABC,DE平分（ADC,AABC=60°,ZADC=70°,

：.£ABE=—/_ABC=?>0°,/_CDE=—/_ADC=

22

ZBED=-ZBEF^-ZDEF=300+35°=65°.

8.解：（1）①•：AEHOF

：.LA=/_BOF

,：OF平分（COF

.,.NBOC=60°,NCO430°

.•.ZZ>OF=180-30°=150°

②•.•/8OC=60°

AZ2400=60°

：OFLOG

：./_BOF^LFOG=^

：./.BOG=f>Q°

•:ZBOG+zDOG+zAOD=180°

：./_DOG=(^=AAOD

.,.190平分N4OG

(2)设N48=p

•••射线OD是N4OG的三等分线

：./_AOD=2/_DOG,或乙DOG=2乙AOD

若N48=2NZ?OG

：./_DOG=

•：/.BOC=/LAOD,OF平分(BOC

ZBOF=

：OFLOG

Z5OG=90--ja

■：ZBOG+ZDOG^ZAOD=180°

.1.yp+90--^p+p=180"

.,.Zp=90"

ZJ?(9F=45°

OFIIAE

，N4=N8OF=45°

即a=45°

若/OOG=2/48=20

•：A.BOC=AAOD,OF平分乙BOC

ABOF=^>

OFLOG

・・・/3OG=90-4

2

,/ZBOG^rZDOSZ00=180°

/.2p+90--1^+p=180°

/.Zp=36°

・・・/3OA18°

：.OFHAE

•••/4=N与OF=18°

.,.a=18°

综上所述a为18°或45°

9.解：（1）如图1,分别过点以F作EAf"AB,FNIIAB,

：.EMHABHFN,

：./_B=/_BEM=2^,乙MEF=/_EFN,

又•：ABflCD,ABHFN,

：.CDHFN,

•••Z£H-ZZZRV=180°,

又•.•ND=UO°,

：.ADFN=1Q°,

：.ABEF=MEF+2Q°,/_EFD=/_EFN+1^,

:.(EFD=(ME广

，N母450°=100°;

故答案为：100°;

(2)如图1,分别过点E,F作EMIIAB,FNI/AB,

：.EMHABHFN,

:.乙B=/_BEM=W,AMEF=AEFN,

又,：ABIICD,ABHFN,

：.CDHFN,

.-.Z.LH-ADFN=180°,

又•.•/£>=110°,

:ZDFN=76,

:.乙BEF=,/LEFD=/_EFN+1Q°,

：./_EFD=乙MEMS,

：./_EFD=/_BEF¥50°;

(3)如图2,过点尸作mr〃石尸，

由(2)知，NEFD=NBEN50°,

设/BEF=2x",则/跳D=(2A+50)

,:EP平分/BEF,GF平分(EFD,

：./_PEF=—LBEF=x,/_EFG=—/_EFD=”25)

22

■：FHIIEP,

：.APEF=AEFH=x,/_P=/_HFG,

•：/LHFG=Z.EFG-/LEFH=25°,■

：./LP=25°.

10.解：(1)如图1,-：ABHCD,

.，.N1=NE皿

又•."2=2/1,

：.A2=2AEGD,

又•••/FGE=60°,

：./_EG-D=—(180°-60°)=40。,

3

."1=40°;

⑵如图2,■：ABIICD,

：.Z.AEG+/_CGE=1W°,

即/AEFF/巫”/万6^/咫。=180°,

又,：(FE8(EGF=9S,

r.NAE丹NGR7=90°;

(3)如图3,-：ABHCD,

.".ZAER-Z(7^=180°,

即/4&<1/曲升/郎UNGR7=180°,

又；NG咫=90°,zGEF=V)°,£AEG=a,

...NG尸C=180°-90°-30°-a=60°-a.

故答案为：60。-a.

11.解：（1）如图1,,■-ABHCD,

：.Z.END=/_EFB,

•：NE阳是△ME尸的外角，

ZE=/_EFB-ZBME=(END-ZBME,

故答案为：LE=LEND-LBME-,

(2)如图2,,••4B//CD,

：.ACNP^ANGB,

NNRM•是△G/W的外角,

:.乙NPM=LNGB^r乙PMA=LCN出■乙PMA,

••,NQ平分NSME；PN平分(CNE,

:.(CNE=2(CNP,乙FME=2(BMQ=2(PMA,

■：ABHCD,

：.ZMFE=zCNE=2Z.CNP,

中，/_E+/_FME+Z.MFE=\^°,

AE+2Z.PMA+2/.CNP=180°,

即N*2PMA+/LCN力=180°,

AE+2Z.NPM^\80°;

(3)如图3,延长儿8交AE于G,延长CD交BF于H,

■：ABIICD,

：./_CDG=LAGE,

是ABEG的外角，

：./_E=/.ABE-/_AGE=/_ABE-LCDE,①

一

H

CD

图3

•：AABM=—AMBE,ACDN=—£NDE,

nn

zABM=—zAB>E=zCHB,ZCDN=-^-乙CDE=ZFDH,

ltnn+1

•；NCHB是&DI汨的外角,

CHB-ZFDH=—ZABE--i-ZCDE-=-^―（乙ABE—乙CDE）,②

ltnn+1n+1

由①代入②，可得/

n+1

故答案为：士.

n+1

12.解：(1)如图，延长DE交于乜

■：AB/ICD,

：.ZD=AAHE=4Q°,

/4自。是的外角，

：.Z.AED=AA+Z.AHE=30°+40°=70°,

故答案为：70;

(2)乙EAF=/_AEIA乙EDG.

理由：-：ABHCD,

：./_EAF=/_EHC,

•・,ZEHC是LDEH的外角,

:.(EHG=/_AEDr乙EDG,

・•.zEAF=zAELH-zEDG\

(3)'：LEAI\ZA4Z=1:2,

・•.设NEWcc,则/HAE=3a,

VZAEZ?=22°,ZJ=20°,々DKE=ZAKI,

又即田■/。长研/切5K=180°,/_KARAKIA+/_AKI=^°,

,\Z.EDK=a-2°,

•「ZY平分NEZ?G

/.ZCDE=2Z,EDK=2a-4°,

•・,ABIICD,

：.AEHC=/_EAF=Z.AED^/_EDG,

即3a=22°+2a-4°,

解得oc=18°,

：,/_EDK=\^,

・•.在△。&/中，NEKD=180°-16°-22°=142°.

D

AFI~~节B

图1

13.解：

(1)'：AMIIBN,：.Z,A+^ABC=180°.

，NABC=180°-ZJ=180°-108°=72°.

(2)与N4BC相等的角是N4DC、ADCN.

•:AMI