【备战2021-专项突破】专题13.1-圆（1）（解析版）

专题13.1圆备战2021年中考数学精选考点专项突破卷（1）一、单选题(共30分)1．(本题3分)（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（）A．35° B．40° C．55° D．70°【答案】A【分析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案．【详解】解：∵如图，∠BOC＝70°，∴∠A＝∠BOC＝35°．故选：A．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．2．(本题3分)（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线【答案】B【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确；∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确；无法证明与相互垂直平分，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．3．(本题3分)（2020·吉林中考真题）如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【详解】∵,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故选：B.【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，邻补角的定义.4．(本题3分)（2020·河北中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且的另一个值是115°B．淇淇说的不对，就得65°C．嘉嘉求的结果不对，应得50°D．两人都不对，应有3个不同值【答案】A【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°−65°＝115°．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．5．(本题3分)（2020·四川中考真题）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A∵恰好与、相切∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA∵OB=OA=O＇B=O＇A,∴四边形O＇BOA是正方形∴∠O=90°∴劣弧的长为．故答案为B．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．6．(本题3分)（2020·贵州毕节·中考真题）已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为()A． B． C． D．【答案】A【详解】连接和，如下图所示，

是以为直径的半圆上的三等分点，弧的长为

圆的半周长

的面积等于的面积，

∴S阴影=S扇形OCD．

故选A．7．(本题3分)（2020·辽宁中考真题）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（）A．30° B．25° C．15° D．10°【答案】A【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．【详解】解：连接OB和OC，∵圆O半径为2，BC=2，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．8．(本题3分)（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，∴∠OAB＝＝25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．9．(本题3分)（2020·四川中考真题）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.【详解】解：连接OC，∵CP与圆O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB为直径，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故选B.【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性质得出∠COP.10．(本题3分)（2020·广东广州·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，由垂径定理得：，∵⊙O的直径为，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度为，故选：．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．二、填空题(共30分)11．(本题3分)（2020·辽宁中考真题）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为_____．【答案】15π【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的侧面积,关键在于熟知圆锥的展开面是扇形,利用扇形面积公式求解.12．(本题3分)（2020·黑龙江中考真题）如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．【答案】50【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】∵是的外接圆的直径，∴点，，，在上，∵，∴，故答案为：50．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．(本题3分)（2020·云南昆明·中考真题）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．【答案】10π【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接OD，OC．∵∠DOC＝60°，OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝OC＝DC＝（cm），∵OB⊥CD，∴BC＝BD＝（cm），∴OB＝BC＝3（cm），∵AB＝17cm，∴OA＝OB+AB＝20（cm），∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），故答案为：10π．

【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．14．(本题3分)如图，△ABC的外接圆O的半径为3，∠C＝55°，则劣弧AB的长是_____________．【答案】【分析】由圆周角定理可得∠AOB＝110°，再根据弧长公式求解．【详解】解：∵∠C＝55°，∴∠AOB＝2∠C＝110°，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了圆的弧长问题，掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键．15．(本题3分)（2020·江苏南通·中考真题）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．【答案】12【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．【详解】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．16．(本题3分)（2020·湖北黄冈·中考真题）如图所示，将一个半径，圆心角的扇形纸板放置在水平面的一条射线上．在没有滑动的情况下，将扇形沿射线翻滚至再次回到上时，则半径的中点P运动的路线长为_____________．17．(本题3分)（2020·江苏盐城·中考真题）如图，在中，点在上，则_______________________【答案】【分析】画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数．【详解】如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，∴，∵四边形为的内接四边形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．18．(本题3分)（2020·湖南中考真题）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）【答案】【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．【详解】解：∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为直径，=45°，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5-0.25×2=2，∴CD=CE，∴=45°，∴正方形CDEF周长为尺．故答案为：【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．19．(本题3分)（2020·江苏中考真题）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．【答案】3或5【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．【详解】∵∴与直线相切，OH=1当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；故答案为3或5．【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论．20．(本题3分)（2020·江苏中考真题）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．【答案】（2，3）【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，设BC的关系式为：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，当y=0时，x=3，即G（3,0），∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四边形MEAF为正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），故答案为：（2，3）．【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2020·山东中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，∴AC＝【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.22．(本题7分)（2020·山东中考真题）如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）连接，是的直径，，即，，连接，∵点C为劣弧的中点，，∵，∵OC是的半径，∴CE是的切线；（2）连接，，∵点C为劣弧的中点，，，，，∴S扇形FOC=，即阴影部分的面积为：．【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．23．(本题8分)（2020·湖北中考真题）如图，为的直径，为的切线，M是上一点，过点M的直线与交于点B，D两点，与交于点E，连接．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）的半径为2.5．【分析】（1）根据切线的性质得到，可得，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到，故可证明；（2）解法1，先连接BC,证明，得到EM=6，根据勾股定理求出AE，再根据列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD，同理得到，根据勾股定理求出AE，设，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt△ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解．【详解】（1）证明：∵为的切线，为的直径，∴，∴，∴，又∵，∴，∴∴．（2）方法1：解：如图，连接，∵为直径，∴，∴，而，∴，又：，∴，∴，∵，，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴∴的半径为2.5．方法2：解：如图，连接CD，∵，∴，又∵，∴，∴，∵为直径，∴，∴，而，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴．设，则，在中，，∴，解得∴，∴的半径为2.5．【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．24．(本题8分)（2020·辽宁中考真题）如图，是的直径，点C，点D在上，，与相交于点E，与相切于点A，与延长线相交于点F．（1）求证：．（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据切线性质得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，结合∠CDA=∠ABC，证明∠CAF=∠CAD，从而证明△ACF≌△ACE，即可得到结论；（2）根据EF求出CE，结合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根据sin∠ABF=求出AB即可得到半径．【详解】解：（1）∵AB为圆O直径，∴∠ACB=90°，∵AF与圆O相切，∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，又∵∠CDA=∠CBA，∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，∴△ACF≌△ACE（ASA），∴AE=AF；（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，∴sin∠ABF=sin∠CAD==，∵△ACF≌△ACE，EF=12，∴CE=CF=6，∴=，解得：AE=10，∴AC==8，∴sin∠ABF==，∴AB=，∴圆O的半径为．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有一定难度，解题时要注意多个知识点相结合．25．(本题9分)（2020·浙江中考真题）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD=∠ABC；（2）若AD=6，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）π．【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；（2）可证得=，则的长为圆周长的．【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABC，∵∠CAD=∠DBC，∴∠CAD=∠ABC；（2）解：∵∠CAD=∠ABC，∴=，∵AD是⊙O的直径，且AD=6，∴的长=×π×6=π．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得=是解(2)题的关键．26．(本题10分)（2020·贵州中考真题）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．【答案】（1）见解析；（2），解析【分析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．（1）连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；（2）连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．【详解】解：（1）如答图，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋3