专题02 全等三角形（13大考点）原卷版

专题02全等三角形考点类型考点一遍过考点1：全等形的概念典例1：（2022秋·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考开学考试）下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A．B．C．D．【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）下列四个图形是全等图形的是（）A．（1）和（3） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（3）和（4）【变式3】（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学周测）下列图形中，和所给图形全等的图形是（

）A． B． C． D．考点2：全等形的应用典例2：（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，方格纸是由9个相同的正方形组成，则∠1与∠2的和为（

）

A．45° B．70° C．80° D．90°【变式1】（2023·江苏·八年级假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．【变式2】（2023秋·浙江·八年级专题练习）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A． B． C． D．【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：

【变式4】（2022秋·北京西城·八年级校考期中）作图题将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得到的划分法与原划分法相同）．【变式5】（2023春·全国·七年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．考点3：全等三角形的性质——求线段典例3：（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E是BD上一点，若△BAD≌△CED，AB=10,AC=14，则△CED的周长为（

）

A．22 B．23 C．24 D．26【变式1】（2022秋·四川甘孜·八年级统考期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为（）A．18 B．24 C．26 D．32【变式2】（2022秋·江苏连云港·八年级校联考阶段练习）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（

）A．AD＝BD B．BE＝AC C．ED＋EB＝DB D．AE＋CB＝AB【变式3】（2022·全国·八年级统考假期作业）如图，△ABC≌△BAD，AC与BD是对应边，BC=10cm，DE=2cm，那么AE的长是A．8cm B．10cmC．2cm D．不能确定考点4：全等三角形的性质——求角典例4：（2023春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=110°，则∠EAC的度数为（

A．40° B．30° C．20° D．10°【变式1】（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为

A．40° B．50° C．55° D．60°【变式2】（2023秋·河北石家庄·八年级校联考开学考试）如图所示两三角形全等，则∠1的度数为（

）

A．41° B．51° C．62° D．77°【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠AED=108°，∠CAD=12°，∠B=48°，则

A．28° B．36° C．38° D．42°考点5：网格中的全等三角形问题典例5：（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长都相等，网格中的点均是网格线的交点，若△MNP≅△MFQ，则点Q是图中的（

）A．点D B．点C C．点B D．点A【变式1】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，网格中有△ABC及线段DE，在网格上找一点F（必段在格点上），使△DEF与△ABC全等，这样的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于()A．585° B．540° C．270° D．315°【变式3】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个考点6：全等三角形的判定——选择条件典例6：（2023秋·江苏·八年级校考周测）在△ABC和△A'B'C'中，①AB=A'B'；②BC=B'C'；③AC=A．①②③ B．②③⑥ C．②④⑤ D．①③⑤【变式1】（2022秋·山东德州·八年级统考期末）下列条件中一定能判定△ABC≌△DEF的是（

）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EFC．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF D．AB＝DE，∠A＝∠E，∠B＝∠F【变式2】（2022秋·山东德州·八年级校考期中）如图，BC是直线AE外两点，且∠1=∠2，要得到△ABE≌△ACE，可以添加的条件有：①AB=AC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠AEB=∠AEC；⑤∠BAE=∠CAE，其中正确的（）A．①或②或③ B．②或③或④C．②或③或⑤ D．①或④或⑤【变式3】（2022秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB这四个关系中可以选择的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④考点7：全等三角形的判定——判定依据典例7：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（

）

A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【变式1】（2022秋·福建龙岩·八年级校考开学考试）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（

）

A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS【变式2】（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，DC⊥CA，EA⊥AC，DB⊥BE，点B在线段AC上，BD=BE，能证明△BCD≌△EAB的理由是（

A．ASA B．SAS C．HL D．SSA【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）根据下列条件，能唯一画出△ABC的是（

）A．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．AB=3，BC=4，AC=8 D．∠C=90°，AB=6【变式4】（2023春·河北保定·七年级统考期末）一天老师带小明测操场上一棵树AB的高度，如图1所示，他告诉小明，我在距树底端B点a米的C处，测得∠BCA=α°，你能测出AB的高度吗？小明经过一番思考：“我若将△ABC，放倒在操场上不就可以测量了吗！”于是他在操场上选取了一个合适的地方，画出一个直角三角形DEF，如图2，使∠E=90°，DE=a米，∠D=α°．小明说，只要量出EF的长度就知道旗杆AB的高度了．同学甲：小明的做法正确，是根据“SAS”得△ABC≌△FED得到的；同学乙：小明的做法正确，是根据“ASA”得△ABC≌△FED得到的；同学丙：小明的做法正确，是根据“SSS”得△ABC≌△FED得到的；同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断△ABC≌△FED．你认为（

）

A．甲、乙、丙的判断都正确 B．甲、乙的判断都正确C．只有乙的判断正确 D．只有丁的判断正确【变式5】（2023·全国·八年级专题练习）如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，小明想出了这样一个办法：先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，过D作DE⊥BF交AC的延长线于点E．线段ED的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是()A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS考点8：全等三角形判定与性质综合典例8：（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，AC，DB相交于点O，且AB=DC，AC=DB．求证：∠B=∠C．

【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

(1)求证：BC=EF；(2)若∠ABC=64°，∠ACB=25°，求【变式2】（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AN是过点A的一条直线，BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E

(1)求证：△ABD≌(2)若BD=8，CE=3，求DE的长．【变式3】（2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，已知点P(2m-1,6m-5)在第一象限的角平分线OC上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：

(1)点P的坐标为多少？(2)OA+OB的值为多少？【变式4】（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．∵∠DOB=∠EOC，∴∠B=∠C．第一步又OA=OA，OB=OC，∴△ABO≌∴∠1=∠2第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【变式5】（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，∠B=∠D=90°，DC=BC，E、F分别是AB、AD的中点，求证：CE=CF．

【变式6】（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．

(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；(2)若AB=6，AC=8，则中线【变式7】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，

(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)求证：AB∥DE．考点9：全等三角形判定与性质——动点问题典例9：（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=32，BC=24，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）0≤t≤8．

(1)用含t的代数式表示线段PC的长；(2)若点P、Q的运动速度相等，t=43时，(3)若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求【变式1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图1，如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点

(1)PC=______cm；（用t的代数式表示）(2)当t为何值时，△ABP≌△DCP？并说明理由；(3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v【变式2】（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为

(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CPQ是否全等，请说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为___cm/s时，在某一时刻也能够使△BPD与△CPQ全等．(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都按逆时针方向沿△ABC的三边运动．求经过多少秒后，点P与点Q第一次相遇，并写出第一次相遇点在△ABC的哪条边上？【变式3】（2023春·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在RtΔABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm．现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点

(1)当0≤t≤4时，AP=；当7≤t≤12时，AP=；(2)如图①，当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；(3)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ与△DEF全等，请直接写出点考点10：全等三角形判定与性质——辅助线问题典例10：（2023秋·八年级课时练习）如图为一风筝骨架：已知AB=AD，BC=DC，求证：∠B=∠D．【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，AB=DC，BD=CA，AC、BD交于点O，求证：BO=CO．

【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，求x的取值范围；(3)如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=AB，求证：AQ=2AD．

【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD是ΔABC的中线，AB=7,AC=5,求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，易证ΔADC≅ΔMDB，所以BM=AC．接下来，在ΔABM中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是；（2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F,且AE=EF，求证：AC=BF；（3）如图3，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE⊥DE，试猜想线段BC,CD,AD之间满足的数量关系，并予以证明．【变式4】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=12∠BAD，此时（【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．

【变式6】（2023秋·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG=【变式7】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．考点11：角平分线的性质典例11：（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；④若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于12DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG

A．12 B．18 C．24 D．36【变式3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OABA．4:3:2 B．5:3:2 C．2:3:4 D．3:4:5考点12：角平分线的性质与判定综合典例12：（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，PR=PS，连接AP，Q为边AC上的点，连接PQ且∠CAP=∠APQ．下列结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．其中结论正确的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知∠ADC+∠ABC=180°，DC=BC．求证：点C在∠DAB的平分线上．

【变式2】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离PD=PE=PF，∠BPC=130°，则A．65° B．80° C．100° D．70°【变式3】（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD(OA<OC)，∠AOB=∠COD=α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD，②∠OAM=∠OBM，③∠AMB=α，④A．4 B．3 C．2 D．1【变式4】（2023春·八年级单元测试）如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD=CD，BE=CF．

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE，请你帮他写出证明过程．【变式6】（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．

(1)求证：OC平分∠ACD；(2)求证：OA⊥OC；(3)求证：AB+CD=AC．【变式7】（2023