专题05 利用勾股定理解决实际问题（解析版）

专题05利用勾股定理解决实际问题知识点框架典型题型考查题型一梯子滑落问题1．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．【答案】（1）7米；（2）8m【分析】（1）由题意得米，米，根据勾股定理AC2+BC2=AB2，可求出梯子底端离墙有多远．（2）由题意得此时CD=20米，DE=25米，由勾股定理可得出此时的CE，继而可求BE．【详解】（1）由题意知米，米，米，

在直角△ABC中，∠C＝90°∴∴米，∴这个梯子底端离墙有7米（2）∵米，∴（米），在直角△CDE中，∠C＝90°∴∴（米），米米米．答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．【点睛】本题考查勾股定理的应用，有一定难度，注意两问线段的变化．2．（2022·江苏·连云港市新海实验中学八年级期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为0.7米．(1)求的值；(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．【答案】(1)的值为米；(2)点B向外移动米，见解析【分析】（1）在直角中，根据勾股定理即可求的长度；（2根据即可求得的长度，在直角中，已知，即可求得的长度，根据即可求解．【详解】（1）解：在直角中，已知米，米，则(米)，∴的值为米；（2）解：点B向外移动米，∵，∴米，∵在直角中，，且为斜边，∴(米)，∴(米)，答：点B向外移动米．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．3．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度．【答案】滑道的长度为51cm．【分析】设cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论．【详解】解：设cm，则由图①可知cm，由图②可知cm，∵，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，，∴，解得，∴滑道的长度为51cm．【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键．考查题型二旗杆高度问题4．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点B处，且，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设为xm.(1)请用含有x的整式表示线段的长为m；(2)求这棵树高有多少米？【答案】（1）15-x;(2)7.5米【分析】设为x，且存在BD+DA=BC+CA，即BD+DA=15，DA=15−x.两只猴子经过路程相等的等量关根据此等量关系列出方程即可求解，已知，要求求即可，．【详解】解：BD为x，且存在BD+DA=BC+CA，即故答案为：15-x在中，AD为斜边，则即解得米，故树高米，5．（2022·江苏苏州·八年级期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．【答案】2.5m【分析】设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【详解】解：设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，由题意得：∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，解得x=2.5，∴AC=2.5m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．6．（2022·江苏淮安·八年级期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面即AC=9米），升起云梯到火灾窗口B处，已知云梯长AB=15米，云梯底部距地面AE=3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？【答案】米【分析】根据题意可得四边形是矩形，勾股定理求得，然后即可求得的长．【详解】解：∵在中，AC=9米，AB=15米，∴米根据题意可得四边形是矩形，米米答：发生火灾的住户窗口距离地面BD有米高【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．考查题型三大树折断前高度7．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，货车高AC＝3.2m，AC与地面垂直，货车卸货时后面支架AB翻折落在地面A1处，经过测量A1C＝1.6m，求翻折点B与地面的距离．【答案】弯折点B与地面的距离为1.2米【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（3.2﹣x）m，根据勾股定理即可求解．【详解】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，设BC＝xm，则AB＝A1B＝（3.2﹣x）m，在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，即：1.62+x2＝（3.2﹣x）2，解得：x＝1.2，答：弯折点B与地面的距离为1.2米．【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．8．（2021·江苏南京·八年级期中）如图，一棵高5.4m的大树被台风刮断，测得树梢着地点到树根的距离，求大树折断处离地面的高度AB．【答案】大树折断处离地面的高度【分析】根据大树折断后两部分的长度之和等于树高，设出未知数，再依据勾股定理列出方程，最后求解即可．【详解】解：设，则，依题意得：，整理得：，解得：．答：大树折断处离地面的高度．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用中的大树折断高度问题，熟练掌握勾股定理并能列出方程是解题的关键．9．（2021·江苏扬州·八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?【答案】竹子折断处离地面尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：答：竹子折断处离地面尺．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．10．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB．【答案】风筝距离地面的高度AB为12米【分析】设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度AB．【详解】解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，在Rt△ABC中，，即，解得x＝12，答：风筝距离地面的高度AB为12米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．考查题型四航海问题11．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？【答案】30（海里/时）【分析】根据题意，利用勾股定理求得AB的长，再利用速度=路程÷时间即可求得答案．【详解】解：依题意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速为（海里/时）．【点睛】本题考查了利用勾股定理解决直角三角形的实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．（2022·江苏苏州·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？【答案】此时游船移动的距离的长是【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果．【详解】解：在中，，，，∴，∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，∴，∴，∴．答：此时游船移动的距离的长是．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．13．（2021·江苏盐城·八年级期末）一艘轮船从港向南偏西48°方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是．（1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间．（2）岛在港的什么方向？【答案】（1）3小时；（2）北偏西【分析】（1）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，再根据时间路程速度即可求得答案；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答．【详解】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，在中，，∴，，∵BC＝125km，，，∴（小时），∴从岛返回港所需的时间为3小时；（2），，，，，

岛在港的北偏西．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．14．（2021·江苏·靖江市靖城中学八年级期中）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？【答案】游船移动的距离AD的长是9米【分析】根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长，然后计算出绳子CD的长，在中，在中，，即可求出最终结果．【详解】解：工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒拉回绳子米，开始时绳子AC的长为17m，拉了10秒后，绳子CD的长为17-7=10米，在中，米，在中，米，AD=15-6=9米，答：游船移动的距离AD的长是9米．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，属于综合题，难度一般，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．考查题型五汽车超速问题15．（2021·江苏泰州·八年级期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m．(1)求BC的长．(2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由．【答案】(1)40(2)超速【分析】（1）首先结合题目中所给的数据，，，根据勾股定理求出BC的长；（2）求出小汽车的时速与限定时速比较即可得出答案．【详解】（1）解：则根据题意可以得到，根据勾股定理可得：，∴BC的长为40m.（2）解：∵该小汽车的速度为：，，这辆小汽车超速了．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键．16．（2021·江苏·淮安市洪泽实验中学八年级期中）为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路的一侧点处，小明家到公路的距离为米，假使广播车周围米以内能听到广播宣传，广播车以米/分的速度在公路上沿方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传？若能，请求出他总共能斪到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．【答案】小明能听到广播宣传，他总共能听到分钟的广播宣传．【分析】根据小明A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BE=BF=800米，求得EF=1600米，于是得到结论．【详解】小明能听到广播宣传，理由：因为村庄到公路的距离米米，所以小明能听到广播宣传．如图，假设当宣讲车行驶到点开始小明能听到广播，行驶到点之后小明听不到广播，则米，米，所以（米），所以米，所以小明听到广播的时间为：（分钟），所以他总共能听到分钟的广播宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．17．（2020·江苏苏州·八年级期中）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．【答案】超速了，理由见解析【分析】根据题意得到AC和AB的长，用勾股定理求出BC的长，算出小汽车的速度，看是否超速．【详解】解：根据题意，，，由勾股定理，，小汽车的速度是，，超速了．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理解直角三角形，需要注意单位的换算．考查题型六是否受台风影响问题18．（2017·江苏省阜宁中学八年级期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60˚的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响,则A城遭受这次台风影响有多长时间?【答案】（1）A城受台风影响；（2）6h【分析】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得AC的长，与200km比较即可得结论；（2）点A到直线BF的长为200km的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200km，则还有一点G，有AG=200km．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120km，则DG=2DC=240km，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（h）．19．（2017·江苏无锡·八年级期中）如图，公路PQ和公路MN交于点P，且∠NPQ＝45°，公路PQ上有一所学校A，AP＝80米，现有一拖拉机在公路MN上以10米∕秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间．【答案】受影响的时间为12秒.【详解】试题分析：过点A作AB⊥DP于点B，则AB是点A到道路MN的最短距离，结合已知条件求出AB的长度为80米，由80<100可知，学校要受影响；再以点A为圆心，100米为半径作圆A交MN于点C和点D，连接AD、CD，利用已知条件求出CD的长，用CD的长度除以10，可得受影响的时间.试题解析：作AB⊥DP于B，则AB为A到道路的最短距离，在Rt△APB中，∵∠NPQ=45°，∴∠PAB=∠NPQ=45°，∴BA=BP，∴BA2+BP2=AP2=()2，∴BA=BP=80，∵80小于100，∴有影响；以点A为圆心，100米为半径作圆A交MN于点C和点D，连接AD、CD，∴在Rt△ABD中，BD=（米），∵AC=AD，AB⊥CD，∴CB=BD=60，∴受影响的时间为：（60×2）÷10=12秒.20．（2022·江苏淮安·八年级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；（2）以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点作，垂足为，，是直角三角形着火点C受洒水影响（2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点则在中，着火点C能被扑灭．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．21．（2019·江苏·无锡市钱桥中学八年级期中）如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【答案】（1）20s；（2）可以通行．【详解】试题分析：（1）先根据勾股定理求出BC及DC的长，进而可得出BD的长，根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间；（2）根据（1）中得出的时间与25秒相比较即可得出结论．试题解析：（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，∴Rt△ACB中，BC=，Rt△ACD中，DC=，∴BD=80，∴80÷4=20（s），∴受影响时间为20s；（2）∵20＜25，∴可以通行．考查题型七选址使两地距离相等问题22．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【答案】CE＝13.3km．【分析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果．【详解】解：设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km．在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3，所以CE＝13.3km．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．23．（2022·江苏江苏·八年级期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．【答案】市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见解析．【分析】可以设，则，在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据可以求得x的值，即可求得的值．【详解】解：设，则，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市场应建在距的20千米处；，，在和中，可得，∴，又，∴，∴又，是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据和求x的值是解题的关键．24．（2021·江苏扬州·八年级期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．【答案】公里．【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：由题意得：公里，公里，，，（公里），设公里，则公里，在中，，即，解得（公里），答：小渝家到见面地点的距离为公里．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．考查题型八最短路径问题25．（2022·江苏南京·八年级期末）如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)①；②（cm）．【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理求出AG即可；（2）①画出平面图形，过点O作OK⊥BG于K，根据等腰三角形的性质可得KG＝KF＝cm，然后利用勾股定理求出OK和BO即可；②画出平面图形，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根据BP＝acm可得PM＝cm或P′M＝cm，分别求出OP和OP′可得答案．（1）解：最短路