专题05 全等模型-对角互补模型（解析版）

专题05全等模型-对角互补模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：①，②∠EDF＝（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）连接AD，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，从而可以证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可证明；（2）连接AD，同样证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可证明．【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．例2、在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；【解答】解：（1），理由如下：如图②，连接，是等腰直角三角形，为斜边的中点，，，，，又，，，在和中，，，；（2），理由如下：连接，如图③所示：同（1）得：，，，例3．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接．(1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【答案】(1)；证明见解析(2)；证明见解析【分析】(1)过点作，得到，判断出，确定为等腰直角三角形即可得出结论；(2)过点作于点，判断出，确定为等腰直角三角形，即可得出结论．【详解】（1）解：如图1，过点作交于点，，，，，在四边形中，，，，∴，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；（2）；理由：如图，过点作交于点，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键．模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）1）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.3）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。结论：①PB+PC=PA；例1.如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．【答案】（1），证明详见解析；（2），【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）∵，平分，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴；（2）过点作，，∵平分，∴，，∵，∴∠QPH＝60°，∴，∴，在与中，∴，∴，，∵，，平分，∴，∴，＝，∴＝，∴四边形的面积＝＝【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．例2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD＝CE．理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°，∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC，∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°，∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE（2）如图2，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE．（3）①（1）中的结论仍成立．OE+OD＝OC．理由如下：如图3，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴．②在图4中，（1）中的结论成立，OE﹣OD＝OC，如图4，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°，∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC；在图5中，（1）中的结论成立，OD﹣OE＝OC，如图5，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°，∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC；例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．例4.如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）是的角平分线在中，，同理：（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于由（1）知，，且点是的平分线上一点（3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，

∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，

∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）1）“2α对180°-2α模型”条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°结论：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。2）“蝴蝶型对角互补模型”条件：AP=BP,∠AOB=∠APB结论：OP平分∠AOB的外角。例1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正确，，定值，故③正确，定值，故②正确，的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．例2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．【答案】（1）（4）【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）．【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．例3.（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，设BE=a，则DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故选B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．例4．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是．【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解．【详解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．课后专项训练1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD＝．解：延长CB到E，使BE＝DC，连接AE，AC，∵∠ABE＝∠BAC+∠ACB，∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∵∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°+90°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∴∠ABE＝∠D，又∵BE＝DC，AB＝AD，∴△ABE≌△ADC，∴AE＝AC，∠EAB＝∠DAC，∴∠EAC＝90°，∴S△AEC＝AE2＝，∵S△AEC＝S四边形ABCD＝12，∴＝12，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故答案为：4．2．（2022·江苏·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．【答案】【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC=.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可起到事半功倍的效果.3．（2023·广西八年级期中）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．【答案】见解析【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．4.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积为12，求BC+CD的值．解：延长CB到E，使BE＝DC，连接AE，AC，∵∠ABE＝∠BAC+∠ACB，∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∵∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°+90°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA，∴∠ABE＝∠D，又∵BE＝DC，AB＝AD，∴△ABE≌△ADC，∴AE＝AC，∠EAB＝∠DAC，∴∠EAC＝90°，∴S△AEC＝AE2＝EC2，∵S△AEC＝S四边形ABCD＝12，∴EC2＝12，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．5. 如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.【解答】（1）BG＝CH；（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.【解析】（1）连接BD，如图所示：∵等腰直角三角形ABC，点D为AC的中点，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，∴∠BDG＝∠HDC，∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，始终是4；（3）连接BD，如图所示：∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.6. 在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.【解答】（1）DE⊥AB；（2）见解析；（3）【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：在△BOM与△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，在△DME与△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.7. 如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.【解答】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ【解析】（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：∵P、C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；（2）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：证明过程参考（1），通过证△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ8.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2)DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．(2)延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE,,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三点共线，∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)结论：DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,∵,,∴,∵,∴=,∵AB=AC,CE=BD,∴(SAS),∴AD=AE,,∴,∴,∴,∴DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.9.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠EPC＝90°；（3）∠ABC+∠EPC＝180°，理由：解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°．10、如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.求证：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N.∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º，又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN，∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；∴，∴结论③成立.11．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形中，，.(1)如图1．连接，若，求证：.(2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：;(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【分析】（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出；（2）如图2，延长DC到K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．【详解】（1）证明：如图1，∵，∴在和中，∴∴（2）如图2，延长至点，使得，连接∵∴∵∴∵，，∴∴，，∵，，∴∵，，∴∴∴（3）如图3，在延长线上找一点，使得，连接，∵∴∵∴在和中，∴∴，∴∵∴在和中，∴∴∴∴∴.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．12．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？[探究]探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．

【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析．【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答；探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论；[理论]根据探究结果得到答案；[拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论．【详解】解：探究一：平分，，，，理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等；探究二：作于，作交的延长线于，平分，，，，，，，在和中，，；[理论]综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是，故答案为：；[拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，．平分，，，，，，，，，，，．在和中，，，，，，，，．，．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；(2)如图1，四边形为对角互补四边形，，．求证：平分．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：①AC平分∠BCD；②CA=CB+CD；(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______．【答案】(1)(2)(3)①证明见解析；②证明见解析(4)【分析】（1）根据对角互补四边形的定义和四边形内角和定理可知对角互补四边形两组对角都互补，再根据比例关系，依次即可求得∠B，∠C的度数，由此可求∠A的度数；（2）先根据对角互补四边形的定义证明，从而利用边角边可证明，可得AC=AM，再根据角的数量关系求得，从而可得△ACM是等腰直角三角形，继而可证得平分，根据等腰直角三角形的性质和线段的数量关系可得CB、CD、CA三者关系；（3）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，求出，即可证明；②由①中全等三角形对应边相等，再根据线段的数量关系直接可证明；（4）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解．【详解】（1）四边形为对角互补四边形，，，，∴，故答案为：；（2）∵，∴，又∵∴，又∵，∴（SAS），，∴，∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°，∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分，，，，故答案为：；（3）①延长至，使，连接，四边形为对角互补四边形，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，平分；②，，，；（4）延长至，使，连接，四边形为对角互补四边形，，，，，，，，，，，过点作交于点，为的中点，，在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，正确构造辅助线作出全等三角形是解题的关键．14．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出（1）如图1，四边形ABCD中，，与互补，，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积．问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，，，，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，，，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为，求与之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值．【答案】（1）255；（2）；【分析】（1）连接AC，过点A作于点H，将△ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得到△ADG，则利用进行求解；（2）连接AD，AC，过点D作交BC延长线于点H，证明，由此表示出，再利用三角函数表示出高，从而表示出与的函数关系式，并求得的最大值．【详解】解：（1）如图，连接AC，过点A作于点H，将△ABH绕着A点逆时针旋转，使得AB与AD重合，得到△ADG．由，得，∵△ADG是由△ABH旋转得到，∴，∴，，，又，，即，，三点共线．∴，，∴．（2）如图，连接AD，AC，过点D作交BC延长线于点H．∵且，∴△BAC为等边三角形，，．∵，，∴△EAD为等边三角形，，．∵，，∴．在△BAE和△CAD中，，∴，∴．即．又∵，∴．在Rt△DCH中，．∴△ECD的面积为：．当时，y有最大值，此时△ECD面积最大值为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角函数的应用，求二次函数的最大值，解决本题的关键是灵活运用相关性质定理