专题6.3 三角形的中位线（学生版）

专题6.3三角形的中位线1.掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。知识点01三角形的中位线定理【知识点】1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，.【知识拓展1】与中位线相关的计算问题例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【即学即练】1．（2022·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（）A． B． C． D．2．（2022·福建安溪·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°【知识拓展2】与中位线相关的实际应用例2．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，，两地被池塘隔开，小明在外选一点，连接，，分别取，的中点，，为了测量，两地间的距离，则可以选择测量以下线段中哪一条的长度（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛．已知点、分别是边、的中点，量得米，则边的长是(

)A．6米 B．7米 C．8米 D．9米【知识拓展3】三角形的中位线与面积例3．（2021·四川内江·中考真题）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022·长春市格致中学九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．【知识拓展4】与中位线相关的证明问题例4．（2022·山东东平八年级阶段练习）如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；（2）如图2，中，，求线段EF的长．【即学即练4】1．（2022·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．题组A基础过关练1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，平分，点E为的中点，连接，若，则的长为（）A． B．2 C．3 D．2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（天津市北辰区第三学区2022-2023学年八年级下学期期中联考数学试题）如图每个小正方形的边长为，在中，点分别为的中点，则线段的长为（

）A． B． C． D．4．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在中，、分别是、边的中点，已知的周长为18，则的周长为(

)A．6 B．8 C．9 D．125．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于（

）A． B． C． D．6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，点P是边上的动点，点Q是边上的定点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，点P在由C到D运动过程中，线段的长度（）A．保持不变 B．逐渐变小C．先变大，再变小 D．逐渐变大7．（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）如图，在中，是的中位线，F是边的中点，连接，若，，则四边形的周长为（

）A．8 B．10 C．12 D．148．（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为（

）．A．12 B．6 C．3 D．1.59．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．10．（2023春·广西·八年级期中）如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则四边形的周长是（）A．7 B．9 C．11 D．1311．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．13．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，中，、分别是、的中点．求证：，且．方法一证明：如图，延长至点，使，连接．方法二证明：如图，过点作交于．14．（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．(1)证明：四边形是平行四边形；(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．题组B能力提升练1．（2022·四川宣汉·八年级期末）如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（）A．10 B．12 C．15 D．202．（2023春·山东日照·八年级校考期中）如图，中，，斜边，为的中点，是上一点，且，延长到，使，连接，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2023春·广东广州·八年级统考期中）如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（

）．A． B． C． D．4．（2023春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，若点为的中点，则的长是（

）A． B．2 C． D．35．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（

）A．4 B．6 C．8 D．106．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图在中，已知，于D，，若是的中点，则（

）A．2.5 B．2 C． D．7．（2022·山东东营市·八年级期末）如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．8．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．9．（2022·江苏盐城市·八年级期末）如图，在中，，．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作的平分线交于点D；②作边的中点E，连接；（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．10．（2022·黑龙江肇源·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．11．（2022·吉林·长春市九年级阶段练习）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4．2，写出完整的证明过程．（结论应用）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若△ADE的面积为12，则四边形DEFG的面积为．12．（2022·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．题组C培优拔尖练1．（2022·山东·八年级课时练习）中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．62．（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022·辽宁大东·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（）A．16 B．24 C．32 D．404．（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）如图，中，平分，平分的外角，于D，交于点F，于E，交的延长线于点G，，，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．105．（2023春·全国·八年级期中）已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，的长为（

）A．10 B． C． D．6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（

）A．3 B．2 C． D．8．（2022·江西抚州市·九年级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．9．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；(2)如图2，四边形中，