专题04 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型（原卷版）

专题04模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【模型一平移型模型】 1【模型二轴对称型模型】 3【模型三四边形中构造全等三角形解题】 6【模型四一线三等角模型】 10【模型五三垂直模型】 15【模型六旋转型模型】 20【模型七倍长中线模型】 27【典型例题】【模型一平移型模型】例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．求证：．

【变式训练】1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．

2．（2023春·江苏淮安·七年级期末）如图，点、、、同一条直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【模型二轴对称型模型】例题：（2023·云南昭通·校考三模）如图，与相交于点，，请你再添加一个条件，使得，并给出证明．（不得添加辅助线）

【变式训练】1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D在上，点E在上，，．求证：．

2．（2023秋·安徽·八年级阶段练习）如图，．

(1)求证：(2)求证：【模型三四边形中构造全等三角形解题】例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【变式训练】1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【模型四一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【变式训练】1．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【模型五三垂直模型】例题：问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【变式训练】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【模型六旋转型模型】例题：如图，，，．（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；（3）若，求的度数．【变式训练】1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．（1）求证：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．2．如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【模型七倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【变式训练】1．如图，在中，是边上的中线．延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．2．（1）方法呈现：如图1，在中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．

解