数理统计课件-方差分析

如某种农作物的收获量受作物品种、肥料种类及数量等的影响；选择不同的品种、肥料种类及数量进行试验，日常生活中经常发现，影响一个事物的因素很多，希望找到影响最显著的因素第一页第二页，共82页。看哪一个影响大？并需要知道起显著作用的因素在什么时候起最好的影响作用。方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。第二页第三页，共82页。

ANOVA由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数有无差异第三页第四页，共82页。因素（因子）——可以控制的试验条件因素的水平——因素所处的状态或等级单（双）因素方差分析——讨论一个（两个）因素对试验结果有没有显著影响。第四页第五页，共82页。例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影响。序号冲击强力浓度123456A116.215.115.814.817.115.0

A216.817.517.115.918.417.7A319.020.118.918.220.519.7方差分析就是把总的试验数据的波动分成1、反映因素水平改变引起的波动。2、反映随机因素所引起的波动。然后加以比较进行统计判断，得出结论。第五页第六页，共82页。第一节方差分析的基本问题一、方差分析的内容二、方差分析的基本思想三、方差分析的原理第六页第七页，共82页。一、方差分析的内容

该饮料在五家超市的销售情况超市无色粉色橘黄色绿色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8（一）例题

某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。第七页第八页，共82页。一、方差分析的内容（二）几个基本概念因素或因子所要检验的对象称为因子要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或因子水平因素的具体表现称为水平A1、A2、A3、A4四种颜色就是因素的水平观察值在每个因素水平下得到的样本值每种颜色饮料的销售量就是观察值第八页第九页，共82页。一、方差分析的内容试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如A1、A2、A3、A4四种颜色可以看作是四个总体样本数据上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据第九页第十页，共82页。（一）比较两类误差，以检验均值是否相等（二）比较的基础是方差比（三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的（四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的二、方差分析的基本思想第十页第十一页，共82页。三、方差分析的原理（一）两类误差随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差

系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差第十一页第十二页，共82页。三、方差分析的原理（二）两类方差组内方差因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差组内方差只包含随机误差组间方差因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差第十二页第十三页，共82页。三、方差分析的原理（三）方差的比较如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1。如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1。当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异。第十三页第十四页，共82页。三、方差分析的原理（四）基本假定每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同观察值是独立的比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立第十四页第十五页，共82页。三、方差分析的原理在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近1、四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分2、样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分第十五页第十六页，共82页。三、方差分析的原理3、如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=m4四种颜色饮料销售的均值都相等没有系统误差

这意味着每个样本都来自均值为

、差为

2的同一正态总体

Xf(X)

1

2

3

4

第十六页第十七页，共82页。三、方差分析的原理4、如果备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体

Xf(X)

3

1

2

4

第十七页第十八页，共82页。第二节单因素方差分析一、数据结构二、单因素方差分析的步骤三、单因素方差分析中的其它问题Xf(X)

1

2

3

4

第十八页第十九页，共82页。一、数据结构

观察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…水平Ak12::n

x11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xn1

xn2…xnk第十九页第二十页，共82页。二、单因素方差分析的步骤（一）提出假设（二）构造检验统计量（三）统计决策第二十页第二十一页，共82页。二、单因素方差分析的步骤（一）提出假设1、一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k个水平）H1:m1

，m2

，…，mk不全相等2、对前面的例子H0:m1=m2=m3=m4颜色对销售量没有影响H0:m1

，m2

，m3，m4不全相等颜色对销售量有影响第二十一页第二十二页，共82页。二、单因素方差分析的步骤（二）构造检验统计量1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量

2、构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和均方(MS)

第二十二页第二十三页，共82页。二、单因素方差分析的步骤①假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数②计算公式为式中：ni为第i个总体的样本观察值个数

xij为第i个总体的第j个观察值

第二十三页第二十四页，共82页。二、单因素方差分析的步骤③全部观察值的总和除以观察值的总个数④计算公式为第二十四页第二十五页，共82页。二、单因素方差分析的步骤实例

四种颜色饮料的销售量及均值超市(j)水平A(i)无色(A1)粉色(A2)橘黄色(A3)绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值观察值个数

x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值x=28.695第二十五页第二十六页，共82页。二、单因素方差分析的步骤全部观察值与总平均值的离差平方和反映全部观察值的离散状况其计算公式为前例的计算结果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295第二十六页第二十七页，共82页。二、单因素方差分析的步骤计算SSE①每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和②反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和③该平方和反映的是随机误差的大小④计算公式为前例的计算结果：SSE=39.084第二十七页第二十八页，共82页。二、单因素方差分析的步骤计算SSA①各组平均值与总平均值的离差平方和②反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和③该平方和既包括随机误差，也包括系统误差④计算公式为前例的计算结果：SSA=76.8455第二十八页第二十九页，共82页。二、单因素方差分析的步骤三个平方和的关系总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系SST=SSE+SSA第二十九页第三十页，共82页。离差平方和的分解与显著检验记：将Q进行分解：由于第三十页第三十一页，共82页。故：在假设H0成立的条件下，可以证明：相互独立第三十一页第三十二页，共82页。理论证明第三十二页第三十三页，共82页。第三十三页第三十四页，共82页。第三十四页第三十五页，共82页。第三十五页第三十六页，共82页。二、单因素方差分析的步骤三个平方和的作用①SST反映了全部数据总的误差程度；SSE反映了随机误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小②如果原假设成立，即H1＝H2

＝…＝Hk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差③判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小④为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量第三十六页第三十七页，共82页。二、单因素方差分析的步骤计算均方MS①各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差②计算方法是用离差平方和除以相应的自由度③三个平方和的自由度分别是SST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE的自由度为n-kn-1=(k-1)+(n-k)第三十七页第三十八页，共82页。二、单因素方差分析的步骤④SSA的均方也称组间方差，记为MSA，计算公式为⑤SSE的均方也称组内方差，记为MSE，计算公式为第三十八页第三十九页，共82页。二、单因素方差分析的步骤计算检验的统计量F①将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F②当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为n-k的F分布，即第三十九页第四十页，共82页。二、单因素方差分析的步骤如果均值相等，F=MSA/MSE1a

F分布F

(k-1,n-k)0拒绝H0不能拒绝H0F第四十页第四十一页，共82页。宇传华制作

第四十一页第四十二页，共82页。三、计算的简化1、对SST、SSE、SSA计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法）令：第四十二页第四十三页，共82页。同样可推出：2、数据的简化：试验数据经过变换

数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果方差分析表方差来源离差平方和自由度F值F0.05F0.01显著性因素ASSAk-1试验误差SSEn-k总误差SSTn-1第四十三页第四十四页，共82页。二、单因素方差分析的步骤（三）统计决策将统计量的值F与给定的显著性水平

的临界值F

进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策1、根据给定的显著性水平

，在F分布表中查找与第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相应的临界值F

若F>F

，则拒绝原假设H0

，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响若F

F

，则不能拒绝原假设H0

，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响第四十四页第四十五页，共82页。二、单因素方差分析的步骤方差来源平方和SS自由度df均方MSF值组间(因素影响)

组内(误差)

总和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE2、单因素方差分析表第四十五页第四十六页，共82页。二、单因素方差分析的步骤第四十六页第四十七页，共82页。二、单因素方差分析的步骤3、例题为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的样本，其中零售业抽取7家，旅游业抽取了6家，航空公司抽取5家、家电制造业抽取了5家，然后记录了一年中消费者对总共23家服务企业投诉的次数，结果如表9.7。试分析这四个行业的服务质量是否有显著差异？(

＝0.05)第四十七页第四十八页，共82页。二、单因素方差分析的步骤消费者对四个行业的投诉次数

观察值(j)行业(A)零售业旅游业航空公司家电制造业12345675755464554534762496054565551494855477068636960第四十八页第四十九页，共82页。二、单因素方差分析的步骤

（计算结果）解：设四个行业被投诉次数的均值分别为，m1、m2

、m3、m4

，则需要检验如下假设

H0:m1=m2=m3

=

m4(四个行业的服务质量无显著差异)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有显著差异)Excel输出的结果如下结论：拒绝H0。四个行业的服务质量有显著差异第四十九页第五十页，共82页。例：前例题

1、对数据的简化得下表：序号冲击强力浓度123456

A1-8-19-12-221-20-801454

A2-251-1114714396A32031191235271443820由表中数据可算出第五十页第五十一页，共82页。计算计算出F值：第五十一页第五十二页，共82页。方差来源离差平方和自由度F值F0.05F0.01显著性因素A4217.3228.383.686.38**(十分显著）试验误差1114.715总误差533217列表：说明：

说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。第五十二页第五十三页，共82页。第五十三页第五十四页，共82页。SiS1S2S3S4合计值5.994.153.784.716.65第五十四页第五十五页，共82页。H0：即4个试验组总体均数相等H1：4个试验组总体均数不全相等

检验水准

一、建立检验假设第五十五页第五十六页，共82页。二、计算离均差平方、自由度、均方第五十六页第五十七页，共82页。三、计算F值第五十七页第五十八页，共82页。四、下结论第五十八页第五十九页，共82页。

[例题]某公司计划引进一条生产线.为了选择一条质量优良的生产线以减少日后的维修问题,他们对6种型号的生产线作了初步调查,每种型号调查4条,结果列于表8-1。这些结果表示每个型号的生产线上个月维修的小时数。试问由此结果能否判定由于生产线型号不同而造成它们在维修时间方面有显著差异?第五十九页第六十页，共82页。表4－1对6种型号生产线维修时数的调查结果序号型号1234A型9.58.811.47.8B型4.37.83.26.5C型6.58.38.68.2D型6.17.34.24.1E型10.04.85.49.6F型9.38.77.210.1第六十页第六十一页，共82页。表4－5计算列表台号型号1234TiTi2A型9.58.811.47.837.51406.25358.49B型4.37.83.26.521.8475.24131.82C型6.58.38.68.231.6998.56252.34D型6.17.34.24.121.7470.89124.95E型10.04.85.49.629.8888.04244.36F型9.38.77.210.135.31246.09316.034.2.4显著性检验第六十一页第六十二页，共82页。 再将计算结果分别代入SA与SE两式中，得到

第一自由度 第二自由度第六十二页第六十三页，共82页。

查F分布表得 由于，故拒绝H0。 该结论说明，至少有一种生产线型号的效应不为零，这等价于至少有两种型号的生产线的平均维修时数是有显著差异的。方差来源平方和

自由度均方F比组间SA55.55511.11组内SE56.72183.15总和ST112.2723---方差分析表第六十三页第六十四页，共82页。二、双因素方差分析的假定条件（一）每个总体都服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本（二）各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的（三）观察值是独立的第六十四页第六十五页，共82页。第三节双因素方差分析一、双因素方差分析的类型二、双因素方差分析的假定条件三、双因素方差分析的数据结构四、双因素方差分析的例题第六十五页第六十六页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构

因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…BrA1A2::Ak

x11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xr1

xr2…

xrk

::平均值

…第六十六页第六十七页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构

是因素A的第i个水平下各观察值的平均值

是因素B的第j个水平下的各观察值的均值

是全部kr个样本数据的总平均值第六十七页第六十八页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构（一）提出假设1、对因素A提出的假设为H0:m1=m2

=…=mi=…=mk(mi为第i个水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)

不全相等2、对因素B提出的假设为H0:m1=m2=…=mj=…=mr(mj为第j个水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)

不全相等第六十八页第六十九页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构（二）构造检验的统计量1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量

2、构造统计量需要计算总离差平方和水平项平方和误差项平方和均方

第六十九页第七十页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构（三）计算总离差平方和SST全部观察值与总平均值的离差平方和反映全部观察值的离散状况计算公式为第七十页第七十一页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构（四）计算SSA、SSB和SSE1、因素A的离差平方和SSA2、因素B的离差平方和SSB3、误差项平方和SSE第七十一页第七十二页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构（五）各平方和的关系总离差平方和(SST)、水平项离差平方和(SSA和SSB)、误差项离差平方和(SSE)之间的关系SST=SSA+SSB+SSE

第七十二页第七十三页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构（六）计算均方MS1、各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差2、计算方法是用离差平方和除以相应的自由度3、三个平方和的自由度分别是总离差平方和SST的自由度为kr-1因素A的离差平方和SSA的自由度为k-1因素B的离差平方和SSB的自由度为r-1随机误差平方和SSE的自由度为(k-1)×(r-1)第七十三页第七十四页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构4、因素A的均方，记为MSA，计算公式为5、因素B的均方，记为MSB

，计算公式为6、随机误差项的均方，记为MSE

，计算公式为第七十四页第七十五页，共82页。三、双因素方差分析的数据结构(七)计算检验的