5.1 导数概念及其运算 题型（原卷版）

导数的运算能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．理解函数的和、差、积、商的求导法则.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)课标解读1.通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.2.通过本节课的学习，要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题.3.通过本节课的学习，要求会求简单的复合函数的导数，并能解决与之相关的切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.TOC\o"14"\h\u导数的运算 1一、主干知识 2考点1：函数的平均变化率 2考点2：瞬时速度 2考点3：函数在某点处的导数 3考点4：导数的几何意义 3考点5：导函数 3考点6：几个常用函数的导数 4考点7：基本初等函数的导数公式 4考点8：和、差的导数 4考点9：积、商的导数 4考点10：复合函数的概念及求导法则 4二、分类题型 5题型一变化率问题 6命题点1平均变化率、瞬时变化率 6命题点2导数（导函数）概念辨析 6命题点3利用定义求函数在某点的导数 8题型二基本初等函数的导数 9命题点1基本初等函数的导数公式 9题型二导数的四则运算法则 11题型三简单复合函数的导数 16题型四导数的概念及其几何意义 19命题点1求曲线切线的斜率 19命题点2求在曲线上一点处的切线方程 20命题点3两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 21命题点4求在某点处的导数值 22三、分层训练：课堂知识巩固 25一、主干知识考点1：函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．考点2：瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).考点3：函数在某点处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).考点4：导数的几何意义(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考点5：导函数对为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).【重要结论总结】①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).(2)瞬时变化率的变形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．2.区别与联系区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数考点6：几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝eq\f(1,x)f′(x)＝－eq\f(1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))考点7：基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a>0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)考点8：和、差的导数.考点9：积、商的导数(1)积的导数①.②.(2)商的导数.考点10：复合函数的概念及求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【重要常用结论】(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．(3)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导．（5）复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．二、分类题型题型一变化率问题命题点1平均变化率、瞬时变化率某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（

）A．2 B． C．3 D．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（

）A． B． C． D．函数在处的瞬时变化率为（

）A． B． C． D．若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为.函数在区间上的平均变化率为．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为．已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率．命题点2导数（导函数）概念辨析若函数在处的瞬时变化率为，且，则（

）A．2 B．4 C． D．若函数的满足，则（

）A．2 B．1 C．0 D．若，则（

）A． B． C． D．若可导函数满足，则（

）A． B． C． D．设函数在处可导，若，则（

）A．3 B．6 C．8 D．12若f′(x0)＝，则等于（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2已知函数，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．函数在上可导，若，则（

）A．12 B．9 C．6 D．3如果，则（

）A．2 B．1 C． D．若函数在处的导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．4已知函数在处的导数为1，则.导数（1）设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数，则称在可导，并称该常数为函数在处的，记为即.（2）的几何意义就是曲线在点处切线的.（3）若函数在内任意一点可导，则为在上的导函数.命题点3利用定义求函数在某点的导数若函数，则（

）A． B．C． D．已知函数，则（

）A． B．1 C．2 D．3若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为．若一物体的运动方程为，（位移s的单位：m，时间t的单位：s），则物体在1s时的瞬时速度为m/s．对于函数y＝f(x)＝，其导数值等于函数值的点是．函数在处的瞬时变化率是．设是曲线上一点，求曲线在点P处切线的斜率.（2023春•连城县校级期中）函数在区间，上的平均变化率为A．2 B．6 C．12 D．48（2022秋•宁德月考）若函数在处的导数为2，则A．2 B．1 C． D．6（2022春•思明区校级期中）已知函数，则A． B． C． D．（2023春•芗城区校级期中）已知函数，则从2到△的平均变化率为A．2 B．△ C．△△ D．△△（2022春•长汀县校级期中）已知函数的导函数为，且（1），则1．题型二基本初等函数的导数命题点1基本初等函数的导数公式求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．求下列函数的导数：(1)；(2)．求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4).求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5).求下列函数的导数.(1)y＝x12；(2)；(3)；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)（2023春•石狮市校级期末）下列求导运算正确的是A． B． C． D．（2023春•思明区校级期中）下列求导运算正确的是A． B． C． D．（2023春•芗城区校级月考）设函数是函数的导函数，若，则A． B． C． D．（2023春•莆田期末）函数的导函数是A． B． C． D．（2023春•漳州期末）下列求导运算正确的是A． B． C． D．（2023春•三明期中）下列函数的求导正确的是A． B． C． D．（2023春•鼓楼区期中）下列求导运算正确的是A． B． C． D．题型二导数的四则运算法则求下列函数的导数.(1)(2)..求下列函数的导数．(1)；(2)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．.求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3).求下列函数的导数．(1)；(2)．求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5).求下列函数的导数：(1)(2)；(3)；(4).求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12).求下列函数的导数：(1)；(2)；(3).求下列函数的导函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)（漳浦县期末）设，则等于A． B． C． D．（2016秋•福州期末）函数的导数是A． B． C． D．（2017春•晋江市校级期中）若，则A． B． C． D．（2021春•涵江区校级期中）函数在处的导数值是．（2013秋•鼓楼区校级期末）；．（永定县校级月考）求下列函数的导数．（1）（2）．（2014春•建阳市校级月考）求下列各函数的导数：（1）（2）（3）题型三简单复合函数的导数求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．求下列函数的导数：(1)；(2)．求下列函数的导数：(1)；(2)．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．求下列函数的导数，其中：(1)；(2)．求下列函数的导数：(1)；(2)．求下列函数的导数，其中：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．（晋江市校级期中）设，则A． B． C．1 D．（2017春•秀屿区校级期中）已知函数，则A．0 B． C． D．（惠安县期中）设，的导数是A． B． C． D．（连城县校级期中）下列式子不正确的是A． B． C． D．（马尾区校级期中）设，若在处的导数，则的值为A． B． C．1 D．（思明区校级期中）已知，则．题型四导数的概念及其几何意义命题点1求曲线切线的斜率已知曲线在处的切线为，则的斜率为（

）A． B． C．1 D．曲线在点处的切线的倾斜角等于（）A． B． C． D．如图，函数的图象在点处的切线是，则（

）A．1 B．2 C．0 D．函数在处的切线的倾斜角为.曲线在处切线的倾斜角是.命题点2求在曲线上一点处的切线方程曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．曲线在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．曲线在点处的切线方程是已知函数，则的图象在处的切线方程为若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数．已知，则函数的图像过点的切线方程为.写出曲线过坐标原点的一条切线方程.过点作曲线的切线，则切线方程为．已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为．已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为.已知函数.(1)求曲线在处的切线的方程；(2)求过原点O与曲线相切的直线的方程.过点作曲线的切线，则切点的横坐标为，这条切线在x轴上的截距为．命题点3两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（

）A．2 B．3 C．1 若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）．A．26 B．23 C．15 D．11已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（

）A． B．3 C． D．2已知曲线与的公切线为，则实数.若直线是曲线与曲线的公切线，则．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则.已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则．若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则.若曲线与曲线在交点处有公切线，则.已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数.已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则.已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为．命题点4求在某点处的导数值已知函数，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8若在R上可导，则=（

）A．16 B．54 C．－25 D．－16已知函数，则（

）A．0 B．1 C． D．设函数，则（

）A． B． C． D．已知点是拋物线上一点，且，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．已知函数，则（

）A． B．1 C． D．－1已知函数的导函数为，且，则（

）．A．11 B． C． D．已知函数（e是自然对数），则已知函数的导函数，且满足，则=.已知函数，是的导函数，则．已知函数，则的值为．若函数，则．若函数满足，则．，则______．设函数的导数为，若，则．已知函数，则=．（2023春•德化县校级期中）设是上的可导函数，且满足，则在点，（1）处的切线的斜率为A． B．1 C．2 D．（南平校级月考）一点沿直线运动，如果由起点起经过秒后的距离，那么速度为零的时刻是A．1秒末 B．2秒末 C．3秒末 D．4秒末（2020春•城厢区校级期中）曲线在点处的切线的斜率为A．1 B．2 C． D．0（2022春•永春县校级月考）函数在点处的瞬时变化率估计是A．2 B．3 C．4 D．5（2022春•三元区校级月考）曲线在点处的切线的倾斜角为A． B． C． D．（2017秋•新罗区校级月考）若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是A．B．C． D．（2023春•泉州期中）已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为．（2023秋•上杭县校级月考）函数的图象在点，处的切线的倾斜角为．（2021•鼓楼区校级开学）如图所示，是可导函数，直线是曲线在处的切线，若，则（1）1．三、分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•台江区校级期末）2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：与时间（单位：之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为A． B． C． D．2．（2022春•宁德期中）一物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒时的瞬时速度是A．5米秒 B．6米秒 C．7米秒 D．8米秒3．（2018春•思明区校级月考）若，则A．2 B．4 C． D．84．（2021春•宁德期中）函数在处的瞬时变化率为A． B． C． D．5．（2022春•同安区校级月考）已知函数，则A． B． C． D．6．（2016春•涵江区校级期中）函数的导数为A． B． C． D．7．（2022春•涵江区校级期中）函数的导数为A． B． C． D．8．（2023春•泉州期中）已知函数（1），则（2）A． B． C． D．9．（2023春•三明期末）若函数，则A． B． C． D．10．（2023春•龙岩期末）已知函数，则A． B． C． D．11．（2023春•思明区校级期中）已知函数，则导数值（1）A．1 B． C． D．12．（2023春•三明期中）函数的导数为A． B． C． D．13．（2023春•丰泽区校级期中）已知函数，则（1）A． B． C． D．14．（2023春•思明区校级期中）已知函数，则A．0 B．1 C． D．15．（2023春•蕉城区校级月考）已知，则（1）A． B． C． D．16．（2022秋•城厢区校级期末）已知，且（1），则