高考数学二轮复习 专题13 立体几何综合练习 文（含解析）试题

一、选择题1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案]B[解析]当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]C[解析]若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋2π B.eq\f(13π,6)C.eq\f(7π,3) D.eq\f(5π,2)[答案]B[解析]由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋eq\f(1,6)×π×12×1＝eq\f(13π,6)；故选B.4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[答案]D[解析]∵D、F分别为AB、AC的中点，∴BC∥DF，∵BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；在正四面体中，∵E为BC中点，易知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵DF⊥平面PAE，DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，∴C正确，故选D.5．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于()A．10cm3 B．20cm3C．30cm3 D．40cm3[答案]B[解析]由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC－A1B1C1沿平面AB1C1截去一个三棱锥A－A1B1∴VA－BCC1B1＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×3)×5＝20cm3.6．如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－QEF的体积()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常量[答案]D[解析]因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，所以△QEF的面积为定值，设为S，又因为D1C1∥AB，所以D1C1∥平面QEF；点P到平面QEF的距离也为定值，设为d，从而四面体P－QEF的体积为定值eq\f(1,3)Sd.7．(2015·湖北文，5)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案]A[解析]若p：l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交，所以命题q：l1，l2不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：l1，l2不相交，则l1，l2可能平行，也可能异面，所以不能推出l1，l2是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选A.8．已知正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如右图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M、N分别为线段DC、BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是()[答案]B[解析]由条件知，AC＝4，BO＝2，S△AMC＝eq\f(1,2)CM·AD＝eq\r(2)x，NO＝2－x，∴VN－AMC＝eq\f(1,3)S△AMC·NO＝eq\f(\r(2),3)x(2－x)，即f(x)＝eq\f(\r(2),3)x(2－x)，故选B.二、填空题9．(2015·天津文，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案]eq\f(8π,3)[解析]考查1.三视图；2.几何体的体积．该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成，圆柱与圆锥的底面半径都是1，所以该几何体的体积为2×eq\f(1,3)×π×1＋π×2＝eq\f(8π,3)(m3)．三、解答题10．如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若AB＝AC＝AD＝eq\f(1,2)CE.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.[证明](1)取BE的中点G，连接GF、GD.因为F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．所以GF∥EC，GF＝eq\f(1,2)CE.因为AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，所以GF∥EC∥AD.又因为AD＝eq\f(1,2)CE，所以GF＝AD.所以四边形GFAD为平行四边形．所以AF∥DG.因为DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)因为AB＝AC，F为BC的中点，所以AF⊥BC.因为EC∥GF，EC⊥平面ABC，所以GF⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，所以GF⊥AF.因为GF∩BC＝F，所以AF⊥平面BCE.因为AF∥DG，所以DG⊥平面BCE.又DG⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCE.11.底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1(1)求证：平面AB1F1∥平面C1BF(2)求证：平面AB1F1⊥平面ACC1A[分析](1)在正三棱柱中，由F、F1分别为AC、A1C1的中点，不难想到四边形AFC1F1与四边形BFF1B1都为平行四边形，于是要证平面AB1F1∥平面C1BF，可证明平面AB1F1与平面C1BF中有两条相交直线分别平行，即BF∥B1F1，FC(2)要证两平面垂直，只要在一个平面内能够找到一条直线与另一个平面垂直，考虑到侧面ACC1A1与底面垂直，F1为A1C1的中点，则不难想到B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1[解析](1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，连FF1∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1B綊A1A綊FF1，∴B1BFF1为平行四边形．∴B1F1∥BF，又AF綊C1F1，∴AF1C1F为平行四边形，∴AF1∥C1F，又∵B1F1与AF1是两相交直线，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C∴B1F1⊥AA1，又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F、H分别为A1D、A1C(1)证明：A1B∥平面AFC；(2)证明：B1H⊥平面AFC.[分析]分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证明．[解析](1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，又F为A1D的中点，所以EF∥A1B.又EF⊂平面AFC，A1B⊄平面AFC，∴A1B∥平面AFC.(2)连接B1C，在正方体中四边形A1B1CD∵H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点，∴只要证B1D⊥平面ACF即可．由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D.又F为A1D的中点，∴AF⊥A1D，又AF⊥A1B1，∴AF⊥平面A1B1D.∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF内的相交直线．∴B1D⊥平面ACF.即B1H⊥平面ACF.13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．[解析](1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，得BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，∵PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，则在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，∴AD⊥EF，AD⊥DE.∴AD⊥平面DEF，又AD⊂平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.14．(2014·河北名校名师俱乐部模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1(1)求证：BC⊥AC1；(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．[分析](1)执果索因：要证BC⊥AC1，已知BC⊥AC，故只需证BC⊥平面ACC1A1，从而BC⊥AA1，这由已知三棱柱中AA1⊥平面ABC(2)假定存在，执果索因找思路：假定AC上存在点F，使EF∥平面A1ABB1，考虑矩形C1CBB1中，E在B1C1上，且B1E＝3EC1，因此取BC上点G，使BG＝3GC，则EG＝B1B，从而EG∥平面A1ABB1，因此平面EFG∥平面A1ABB1，由面面平行的性质定理知FG∥AB，从而eq\f(AF,FC)＝eq\f(BG,GC)＝3，则只需过G作AB的平行线交AC于F，F即所探求的点．[解析](1)∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1.又∵BC⊥AC，AA1，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥AC1.(2)解法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝eq\f(3,4)A1C1，又AF∥A1C1且AF＝eq\f(3,4)A1C1，∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.解法二：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.理由如下：在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG.∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.15．已知四棱锥P－ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．(1)求三棱锥C－PBD的体积；(2)若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；(3)边PC上是否存在一点M，使DM∥平面EAC，并说明理由．[解析](1)由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA＝2，∴VC－PB