7-5空间向量及应用学案高三数学一轮复习

高三年级上学期数学学练案（第33期）编写人：朱老师审查人：刘老师使用日期：2023.1275空间向量及应用自主复习【查】【必备知识】1.空间向量定义在空间，具有和的量叫做空间向量．2.向量共线、共面定理(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝.(1)定义：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔.②a·a＝＝.③cos〈a，b〉＝.(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ()＝a·()交换律a·b＝分配律a·(b＋c)＝设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝减法a－b＝数乘λa＝，λ∈R数量积a·b＝平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔(a，b均为非零向量)模|a|＝eq\r(a·a)＝夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝.7.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔⇔线面平行设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔⇔面面平行设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔⇔＝λ8.空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔⇔线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔⇔⇔＝(λ∈R)面面垂直设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔⇔⇔【考试要求】1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．二、师生研学【研】[考点分类突破]考点一空间向量的线性运算【例11】如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（

）A．B．C． D．【例12】如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.(1)；(2)；(3).归纳总结：进行向量线性运算时，需注意以下几个问题：一、结合图象明确图中各线段的几何关系；二、要准确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义(易出现用错运算法则)；三、注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则在空间仍然成立。【练习11】如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．考点二空间向量的共线、共面问题【例21】如图，在长方体中，M为的中点，N在AC上，且．求证：与、共面．归纳总结：(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))共线，即证明eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)).(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PB,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))或对空间任一点O，有eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(OP,\s\up8(→))＋xeq\o(PB,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))或eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【练习21】如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．(1)证明：、、、四点共面．(2)若，求．考点三空间向量的数量积及其应用【例31】如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．归纳总结：空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.【练习31】如图，在平行六面体中，，，，，．求：(1)(2)的长．归纳总结：空间向量数量积的两个应用1、求夹角设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角2、求长度(距离)运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.考点四向量法证明平行、垂直【例41】如图，在直三棱柱中，3，=4，5，(1)求证；(2)在上是否存在点，使得并说明理由归纳总结：向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解．若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．【练习41】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．三、提升训练【练】1．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝()A．－1B．0C．1D．不确定2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC1的长；(2)求AC与BD1夹角的余弦值．3．在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．作业布置（见作业纸）四、师生总结【结】1、空间向量的概念、两个定理、运算法则；2、空间向量的应用：（1）线面位置关系的证明；（2）求线段的长度或有关的夹角；3、解决探索性问题的思路。75空间向量及应用作业题题号12345678答案1．在正三棱锥中，是的中心，，则(

)A． B． C． D．2．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（

）A． B． C． D．3．如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（

）A． B．C． D．4．如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．【多选题】正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（

）A． B． C． D．6．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是______.（填序号）.①；

②；③；

④.7．在四面体OABC中，点M，N分