课件高数佚名习题课

一、基本概念

二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用多元函数微积分学习题课四、重积分计算的基本技巧一、基本概念连续性

偏导数存在

方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续

定义域及对应规律

判断极限不存在及求极限的方法

函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系1.

讨论二重极限解法1解法2

令解法3

令时,下列算法是否正确?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,解法3

令此法忽略了

的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,

的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.证明:

利用故f

在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明:而所以f

在点(0,0)不可微!3.

已知求出的表达式.解法1

令即解法2

以下与解法1相同.则且二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数–方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性4.

设其中f与F分别具解法1

方程两边对x

求导,得有一阶导数或偏导数,

求(1999考研)解法2方程两边求微分,得化简消去即可得5.设有二阶连续偏导数,且求解:三、多元函数微分法的应用1.极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件

求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)

求解最值问题2.在微分方程变形等中的应用6.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解:设为抛物面上任一点，则P

的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故四、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号7.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得8.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成9.求抛物线所围区域

D的面积A.解:如图所示注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,10.交换积分顺序计算解.

积分域如图.1.(06,一)

练习题解选D.构造拉格朗日函数2.(03,一)A.不是极值点；B.极大值点；C.极小值点；D.无法判断因已知极限是1，而分母解选A.3.（03,三）则下列结论正确的是（）.解选A.因可微函数必有偏导存在，由极值存在的必要条件，知4.已知函数的全微分并且在椭圆域:上的最大值和最小值.解先确定不是极值点，也非最值点.说明最值不在椭圆区域内.考虑边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为解方程组得可能的极值点可能的极值点函数值：内的最大值为3，最小值为－2.可见在区域5.设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为小山的高度函数为该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,需要在D

的边界线上找出使(1)中的达到最大值的点,试确定涉及到：方向导数、梯度和条件极值等概念攀登起点的位置.解沿梯度方向的方向导数最大，为梯度的模，所以

由方向导数与梯度之间的关系，知下