专题03 三角形章末重难点题型专训（解析版）

专题03三角形章末重难点题型专训【题型目录】题型一三角形的识别与个数问题题型二三角形的分类题型三确定三角形第三边的取值范围题型四三角形三边关系的应用题型五与三角形的高有关的计算问题题型六根据三角形中线求长度、面积题型七三角形角平分线的应用题型八三角形内角和定理的应用题型九三角形外角性质的应用题型十直角三角形性质的应用题型十一多边形的内角与外角综合题型十二角度计算探究题【经典例题一三角形的识别与个数问题】【例1】（2021春·全国·七年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(

)A．6(n-1)； B．6n； C．6(n+1)； D．12n；【答案】C【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数．【详解】图（1）中，三角形的个数是,图（2）中，三角形的个数是,图（3）中，三角形的个数是,第n个图形中三角形的个数是，故选：C．【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·统考一模）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照选项依次分析即可求解．【详解】解：A．去掉，如图：图中共有6个三角形，该项不符合题意；B．去掉，如图：图中共有4个三角形，该项不符合题意；C．去掉，如图：图中共有7个三角形，该项符合题意；D．去掉，如图：图中共有9个三角形，该项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查三角形计数，掌握三角形的定义是解题的关键．2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段为公共边的三角形是___________．（3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________．【答案】6，，，，【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；（2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形；（3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角；【详解】（1）由图可知，图中三角形有、、、、、，图中有6个三角形，由图可知，直角三角形有，，；故答案为：6，，，；（2）由图可知，以线段为公共边的三角形是，，；故答案为：，，；（3）由图可知，线段所在的三角形是，边所对的角是；故答案为：，．【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．3．（2020秋·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数35拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格：内部点的个数123n得到三角形个数概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：______________．【答案】继续探究：图见解析，7，；拓展联系：4，6，8，；概括提升：【分析】继续探究：由题意得出这些三角形的个数是从3开始的连续奇数，据此可得结论；拓展联系：分别画出图形，得到相关数据，总结规律即可；概括提升：根据n边形的内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成（2m+n-2）个互不重叠的小三角形，据此可得．【详解】解：继续探究：如图，在三角形纸片内部给定1个点,得到3个三角形;在三角形纸片内部给定2个点,得到5个三角形;在三角形纸片内部给定3个点,得到7个三角形;在三角形纸片内部给定n个点,得到(2n+1)个三角形;故填表得：内部点的个数123n得到三角形个数3572n+1拓展联系：如图：在四边形纸片内部给定1个点,得到4个三角形;在四边形纸片内部给定2个点,得到6个三角形;在四边形纸片内部给定3个点,得到8个三角形;在四边形纸片内部给定n个点,得到(2n+2)个三角形;填表如下：内部点的个数123n得到三角形个数468（2n+2）概括提升：(3)设纸片的边数为m,内部给定1个点,得到m个三角形,内部给定2个点,得到(m+2)个三角形,内部给定3个点,得到(m+2×2)个三角形,内部给定n个点,得到(2n+m-2)个三角形,∴x=2n+n-2.【点睛】此题考查图形的变化规律性；得到三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律是解决本题的关键．【经典例题二三角形的分类】【例2】（2022秋·八年级课时练习）下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③等腰三角形是特殊的等边三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．【详解】①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据三角形的分类判断即可．【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确；（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误；（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；故选：A．【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答．2．（2022秋·八年级课时练习）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）【答案】①②③【详解】∵a，b，c是三个正整数，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出现的情况是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等边三角形.故正确的结论是①②③.3．（2023春·全国·七年级专题练习）满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；(2)三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.【详解】(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题．【经典例题三确定三角形第三边的取值范围】【例3】（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，可得，∴，∴．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．【变式训练】1．（2021秋·江苏盐城·七年级统考期末）已知线段AB＝9cm，AC＝5cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为4cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是（

）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】分三种情况：C在线段AB上，C在线段BA的延长线上以及C不在直线AB上结合线段的和差以及三角形三边的关系分别求解即可．【详解】解：∵线段AB＝9cm，AC＝5cm，∴如图1，A，B，C在一条直线上，∴BC＝AB−AC＝9−5＝4（cm），故①正确；如图2，当A，B，C在一条直线上，∴BC＝AB＋AC＝9＋5＝14（cm），故②正确；如图3，当A，B，C不在一条直线上，9−5=4cm＜BC＜9＋5=14cm，故线段BC可能为9cm，不可能为3cm，故③，④正确．故选D．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，线段之间的关系，正确分类讨论是解题关键．2．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）小朦同学从五根长为，，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取_____．【答案】【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，确定出第三根木棍的取值范围，即可求解．【详解】解：已经取了和两根木棍，第三根木棍的取值范围是，不可能是，故答案为：．【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系，确定出第三边的取值范围．3．（2023春·七年级单元测试）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．(1)求a的取值范围；(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)(2)当时，三角形的周长最大为【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知，即，∴a的取值范围是；（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，∴当时，三角形的周长最大，此时周长为：，∴周长的最大值是23．【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【经典例题四三角形三边关系的应用】【例4】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当、在一条直线上时，三边长为：、、，此时最大距离为；②，、不可能在一条直线上；③当、在一条直线上时，三边长为：、、，此时最大距离为；④，、不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形三边关系，理解三边关系是解题的关键．【变式训练】1．（2023·河北沧州·统考三模）有四根长度分别为2，4，5，（为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（

）A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是14【答案】D【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：2、4、，4、5、，2、4、5，2、5、都能组成三角形，，，，即，，，，为正整数，取4或5，要组成的三角形的周长最小，即时，三边为2，4，4，其最小周长为，要组成的三角形周长最大，即时，三边为4，5，5，其最大周长为故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，利用分类讨论的思想，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键．2．（2022春·广东清远·七年级统考期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式，若的周长为偶数，则的周长为__________．【答案】8【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．【详解】解：∵a，b满足，∴，，解得，∵，，∴，∵的周长为偶数，即是偶数，∴是偶数，∴为奇数，∴，∴的周长为：．故答案为：8．【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．(1)试探究与的大小关系；(2)试探究与的大小关系；(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；（2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；（3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可．【详解】（1）解：，理由为：，∴即：（2），理由为：在中，，在中，，两式相加得：+即：（3），理由为：如图，延长交的延长线于G，交于点F，在中，，①在中，，②中，，③得：【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．【经典例题五与三角形的高有关的计算题】【例5】（2023·江苏·七年级假期作业）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（）A．5 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵为的中线，∴，∵的面积为5，∴，∵为的高线，，∴，∴．故选：A．【点睛】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图中，，，，，是的角平分线，是边的中线，于点E，下列结论正确的有（）个①为中边上的高②线段、、中，线段的长度最短③若，则④D到的距离为．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由三角形的高的含义可判断①，由垂线段最短可判断②，由平行线的性质结合三角形的角平分线的含义可判断③，由等面积法可判断④，从而可得答案．【详解】解：不是中边上的高．故①不符合题意；线段、、中，线段的长度最短，理由垂线段最短．故②符合题意；∵，∴，∵平分，∴，∴．故③不符合题意；如图作于H．由，∵是边的中线，∴，∵，，，∴，解得，故④符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线，中线，高的含义，垂线段最短，熟记概念并灵活运用是解本题的关键．2．（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）在中，点，分别在，上，且与相交于点，已知的面积为，的面积为，的面积为，则四边形的面积为__．

【答案】【分析】设，可得，，解出的值，再根据即可求解．【详解】解：设，连接，

，∴，，，又，，，解得，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形面积与线段比的关系，掌握面积与线段的关系，列出方程是解题的关键．3．（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如图，在中，按下列要求画图并填空：

(1)画边上的高；(2)在上，连接，使得，请画出点；(3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4，【分析】（1）根据画高的方法作图即可；（2）根据平行线的性质只需要令即可得到；（3）根据点到直线的距离的定义即可求出点到直线的距离；先求出，根据平行线的性质得到，则．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，点E即为所求；

（3）解：∵，，∴点到直线的距离为4；∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了画三角形的高，画平行线，三角形面积，平行线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【经典例题六根据三角形中线求长度、面积】【例6】．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线，，，垂足分别为，．若的周长为43，，，，则的长为（）

A．5 B． C．9 D．【答案】D【分析】根据的周长和题中条件即可求出，再根据中线的性质即可求出，最后运用等面积法即可求出．【详解】解：∵，∴，∵的周长为43，∴，∵是的中线，是的中线，∴，，∵，即，解得：，故选：D．【点睛】本题考查简单几何中求线段长度，能够想到等面积法是关键．【变式训练】1．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且，连接，点D、E分别为的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为5，则的最小值为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值.【详解】解：连接，如图，

∵点D为的中点，∴，∵为的中线，∴，，∵点E为中点，∴，∵四边形的面积为5，∴，即，解得，作于点G，如图，∵，∴，∴，∵，∴的最小值是4；故选：C.

【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，正确理解题意、熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键.2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，在中，是边上的中线，，与相交于点F，四边形的面积是18，则的面积为_______________【答案】40【分析】连接，根据中线的性质和三角形的面积公式可得三角形之间面积的倍数关系，设，，可得，，再由四边形的面积是18，解得m的值，代入计算即可．【详解】解：如图，连接，∵是边上的中线，，∴，，，∴，，设，，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵四边形的面积是18，∴，解得∴故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分．3．（2023春·七年级单元测试）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求：(1)的长；(2)的面积；(3)和的周长差．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）先根据三角形面积公式可得，依此可求的长；（2）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线得到；（3）利用等量代换得到的周长-的周长．【详解】（1）解：∵，是边上的高，∴，∴，即的长度为；（2）解：如图，∵是直角三角形，，，，∴，又∵是边的中线，∴，∴，即，∴．∴的面积是；（3）解：∵是边的中线，∴，∴的周长﹣的周长，即和的周长的差是．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【经典例题七三角形角平分线的应用】【例7】（2023春·江苏·七年级期末）如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义求出，，推出，可得结论．【详解】解：∵，∴，∵，分别平分，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②平分；③；④；⑤，其中正确的结论有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明，，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②．【详解】解：∵平分，∴，，∵，∴，故结论①正确；∵，，，∴，，即，∴，又∵，∴，故结论③正确；∵，∴，∵、分别平分、，∴，，∴，∴，∴，故结论④正确；∵，∴，故结论⑤正确；若平分，而，∴，与题干条件不相符，故结论②错误．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在中，，是的高，，的平分线交于点E，则____________°【答案】或【分析】分是锐角和钝角两种情况画出图形，先求出，根据三角形内角和定理求出和，根据角平分线的定义求出，再求出答案即可．【详解】解：有两种情况：①当是锐角时，如图：

∵是的高，∴，∵，∴，∵，∴，∴∵平分，∴，∴；②当是钝角时，如图：

∵是的高，∴，∵，∵∴，∴∵平分，∴，∴；故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形的内角和定理等知识，能够求出的度数是解此题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，平分，于点D，过点D作分别交，于点E，F．

(1)问题解决：如图1，若，求的度数．(2)如图1，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．(3)问题拓展：如图2，若过点D作交于点G，连接，交于点O，试探究是否平分，并说明理由．【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)平分，理由见解析．【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理求出，然后根据角平分线定义以及直角三角形两锐角互余求出，进而可得的度数；（2）根据平行线的性质求出，进而可得和的度数，然后再求出和的度数即可；（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出，再根据平行线的性质得出，等量代换求出即可．【详解】（1）解：设，则，，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）；理由：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）平分；理由：∵，∴，∵平分，∴，∴，-∵，∴，∴，∴平分．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟知两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题的关键．【经典例题八三角形内角和定理的应用】【例8】（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据翻折的性质，得到，，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．【详解】解：由翻折的性质可知，，，，，，，故选A．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．【变式训练】1．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（）

A．或或 B．或或C．或或 D．或或【答案】C【分析】分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，利平行线的性质和三角形内角和定理分别求解，即可得到答案．【详解】解：由三角板的性质可知，，，，，分三种情况讨论：①如图1，当时，与交于点F，

，，；②如图2，当时，

；③如图3，当时，

，；综上可知，的度数为或或，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．2．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，一张三角形纸片中，，点在边上，先将纸片沿折叠，点落在点处，交于点（如图1），再将沿折叠，点恰好落在折痕上的点处，此时（如图2），则的度数是______．

【答案】【分析】根据翻折后对应角得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数．【详解】解：由题意可得，，，设，则，∵三角形的内角和等于，∴在中，，即；∴在中，，即；∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了图形的翻折，利用翻折的特点，此类题目便可迎刃而解．3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【延伸学习】学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图1，D为三角形的边的延长线上一点，射线．求证：．

请你完成证明过程．【总结应用】①请用一句话概括以上证明的结论：；②如图2，D为三角形的边的延长线上一点，且，，求的度数．

【拓展推广】如图3，在三角形中，平分，，，，求的度数．

【答案】【延伸学习】证明见解析；【总结应用】①三角形的内角和等于；②；【拓展推广】【延伸学习】利用平行线的性质和平角定义即可证的结论；【总结应用】①三角形的内角和等于；②先根据平角定义求得，再利用三角形的内角和等于求解即可；【拓展推广】根据平行线的性质和角平分线的定义求得，再根据三角形的内角和等于求解即可；【详解】解：（1）【延伸学习】∵，∴，，∵，∴；（2）【总结应用】①三角形的内角和等于；②∵，∴，∵，∴；（3）【拓展推广】∵，,∴，∵平分，∴，∵，∴．【点睛】本题考查三角形的内角和定理的证明和应用、平行线的性质、角平分线的定义，构造平行线证明三角形的内角和定理以及应用是解答的关键．【经典例题九三角形外角性质的应用】【例9】（2023春·广西贵港·七年级统考期末）如图，和是由分别沿着，翻折后形成的，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，可求出，，，然后根据折叠的性质和三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵，∴设，，则，解得，则，，．由折叠的性质可知：，，∴，，∴．故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，灵活运用折叠的性质来解题是关键．【变式训练】1．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明，，，，可判断③，由，，可得，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵是角平分线，∴，故①符合题意；∵是边上的高，∴，故②符合题意；∵是角平分线，平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故③不符合题意；∵，，∴，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．2．（2023春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q，延长线段，交于点E．在中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则的度数为___________．

【答案】或或或【分析】首先利用角平分线定义和三角形外角的性质证明，然后求出，再分4种情况讨论，求解即可．【详解】解：如图，延长至F，

∵为的外角的角平分线，∴是的外角的平分线，∴，∵平分，∴，∵，∴，即，又∵，∴，即，∵，∴，如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：若，则，∴；若，则，∴，∴；若，则，∴；若，则，∴；综上所述，的度数是或或或，故答案为：或或或．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．3．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，在中，比大．点是线段上任意一点，点分别在线段上．将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．

(1)______，______，_______．(2)如图1，当点都落在的延长线上时，与有什么数量关系？请说明理由．(3)如图2，当点落在线段上，点落在的延长线时，请直接写出与的数量关系．【答案】(1)，，(2)，理由见解析(3)【分析】（1）由三角形内角和定理及可求得的度数，进而可得的度数；（2）由折叠的性质及三角形外角的性质，结合（1）中所求即可求得与有数量关系；（3）与（2）同．【详解】（1）解：∵，∴；∵比大，∴，∴；故答案为：，，（2）解：理由如下：由折叠可得：，∵，，∴，∵，，∴；（3）解：；由折叠可得：，∵，，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识，掌握三角形内外角的性质是解题的关键．【经典例题十直角三角形性质的应用】【例10】（2022春·贵州贵阳·七年级校联考期末）如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵是的边上的高，∴，∵，∴，∴，故选：A．【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质．【变式训练】1．（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学校考期中）如图，四边形中，，，点在线段上，平分，交于点，交延长线于点，若，，设，，则与的数量关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作EH∥AB，交AD于点H，由平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，求出，即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E作EH∥AB，交AD于点H，∵EH∥AB，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴，∵EH∥AB，AB∥CD，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的利用角的关系，从而得到答案．2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①ABCD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的有________（填写序号）【答案】①③⑤【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：标注角度如图所示：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴ABCD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵AE⊥DE∴∠4+∠3=90°，又∵∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵ABCD∴∠MAD＋∠NDA＝180°即∠MAF＋∠FAD＋∠NDA＝180°∴∠MAF＋∠NDA＝180°-∠FAD∵∠FAD大小不确定，∴∠MAF＋∠NDA不是定值，故④错误．∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180°-45°=135°，故⑤正确．故答案是：①③⑤．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在中，，交的延长线于D，于E，(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，若平分，交的延长线于F，直接写出与相等的角（除外）．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）根据，，可得，再根据，，可得，根据，即可解答；（2）根据平分，可得，再根据，，可得，通过，，故可解题．【详解】（1）解：，，，，，，．（2）解：平分，，，，，，，，，同理可得，．【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质，以及角度的计算，熟练运用相关性质进行角度的转换是解题的关键．【经典例题十一多边形的内角与外角综合】【例11】（2022春·七年级单元测试）正五边形按如图所示的方式叠放在正六边形上，边互相重合，延长交于点，则的度数为（

）A．141 B．144 C．147 D．150【答案】B【分析】如图，延长交于，正六边形的一个内角和外角分别为、，正五边形的一个内角和外角分别为、，则由题意知，，，在五边形中，，则，在五边形中，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，延长交于，∵正五边形的内角和为，正六边形的内角和为，多边形的外角和为，∴正六边形的一个内角和外角分别为、，正五边形的一个内角和外角分别为、，∴，，，在五边形中，，∴，在五边形中，，故选：B．【点睛】本题考查了五边形、六边形的内角和、外角和．解题的关键在于添加辅助线构造五边形利用内角和求解．【变式训练】1．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1，作平分线的反向延长线，现要分别以为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，而是(多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案．如图2所示，图2中的图案外轮廓周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（

）A．14 B．16 C．19 D．21【答案】D【分析】设，先表示中间正多边形的边数：外角为，根据外角和可得边数为，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论．【详解】解：设，∴以为内角的正多边形的边数为：，以为内角的正多边形的边数为：，∴图案外轮廓周长是：，根据题意可知：的值只能为，，，，当x越小时，周长越大，∴当时，周长最大，此时图案定为会标，则则会标的外轮廓周长是：，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为是关键，并利用数形结合的思想解决问题．2．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于220°，则∠BOD等于________．【答案】40°/40度【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论．【详解】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM=360°220°=140°．∵∠BOD+∠BOM=180°，∴∠BOD=180°∠BOM=180°140°=40°．故答案为：40°；【点睛】本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM=140°．3．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．

(1)该五边形广场的内角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是度；(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；（3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可．【详解】（1）五边形广场的内角和，故答案为：；（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，∴跑步方向改变的角度的和是度，故答案为：；（3）延长NE交AB于点F

∵∴∵∴∵在五边形中∴【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．【经典例题十二角度计算探究题】【例12】（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论：①；②；③，④；其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根据，，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【详解】解：有题意可知，①正确；是角平分线，②正确；③正确；，④正确；故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·七年级课时练习）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【详解】解：平分，，，，，，，故正确；，，平分，，，故正确；，，，，，，，，故正确；平分，，，，，平分，，，，，，，，故正确；由得，，，，，故正确；故选：D．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．2．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）如图，，，且，，则的度数为______°．

【答案】【分析】设，，根据三角形内角和公式可求得，，推得，根据三角形内角和公式可求得，将代入即可求解．【详解】解：设，，如图：

∵，，在中，，在中，，又∵，∴，故，在中，，在中，，，将代入可得；故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．3．（2023春·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．

(1)求证：；(2)点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值，并说明理由；②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①55；②或，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而得到，即可推出；（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答；②分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）①可得结果；当点G在点F的左侧时，同理进行解答即可．【详解】（1）证明：平分，，，，．（2）解：①

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得；故答案为：55；②α和β之间的数量关系为或，理由如下：当点G在点F的右侧，由（2）①得，当点G在点F的左侧时，如图2，

∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即．综上所述，α和β之间的数量关系为或．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活利用利用角的和差关系是解题关键．【重难点训练】1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，有一个角为的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，，，从而有，由三角形的内角和得，再得到，再利用对顶角即可求出答案．【详解】如图，

由题意得：，，根据三角形内角和得出：，，，为对顶角，，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和，对顶角，解题的关键是掌握平行线的性质．2．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，在中，平分，于点，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线定理和三角形内角和求出，，，最后利用三角形内角和求出最后结果．【详解】解：平分，，，，，在中，，，，，在中，，．故选：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．3．（2023春·河北邢台·七年级校联考阶段练习）如图，沿折叠使点A落在点处，、分别是、平分线，若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】欲求，因为，所以仅需求．根据三角形外角的性质，得．因为、分别是、平分线，所以，进而可求出．【详解】解：如图，

、分别是、平分线，，．又，，又，，，，由题意得：，，，故选C．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．4．（2023春·福建福州·七年级统考期中）如图，，点E在上，，点O，M，N分别在，，上，，，则不可能取到的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，设交于点G，证明，可得，，表示，，，再利用不等式的性质可得答案．【详解】解：如图，设交于点G，

∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即．故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，不等式的基本性质的应用，熟练的表示是解本题的关键．5．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形是_______边形．【答案】九【分析】设它的边数为，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设它的边数为，根据题意，得，解得，所以这是一个九边形．故答案为：九．【点睛】本题考查多边形内角和与外角，掌握多边形的内角和公式是解决问题的关键．6．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知，是的平分线，，，点、分别在、上，当______°时，恰有．

【答案】【分析】由平行线的性质得，再由角平分线得，从而求得，利用平行线的判定即可得解．【详解】解：∵，，∴，∵是的平分线，∴，∵，，∴，∴当时，恰有，故答案为．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．7．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）黑板上有一个数学问题如图8所示：如图，交于点C，平分交于E，，，M，N分别是，延长线上的点，和的平分线交于点F.

（1）直线