专题04 等腰三角形 【考题猜想42题11种题型】（解析版）

专题04等腰三角形（42题11种题型）一、根据等边对等角求角度（共4小题）1．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数．【详解】（1）证明：∵，∴，即．在与中，，∴≌（SAS）；（2）解：由（1）得，又∵和都是等腰直角三角形，∴且，在中∵且∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．(1)若，则_________；(2)若周长，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，，利用三角形内角和求出，再利用三角形外角和求出即可；（2）根据得出的长，再推出，即可列式求解．【详解】（1），，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴∵垂直平分，∴，∴，故答案为：；（2）∵周长，，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力．3．（2022秋·江苏·八年级期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP．（1）当∠B＝72°时；①若∠CPB＝54°，则△ACP“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数；（2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数．【答案】（1）①是；②54°或18°；（2）∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°【分析】（1）①求出△APC中各个内角的度数，即可判断．②由∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，推出△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，由此即可解决问题．（2）首先确定△ABC是“倍角三角形”时，有两种情形，45°的直角三角形，30°的直角三角形，再分类讨论解决问题即可．【详解】解：（1）①∵∠ACB=90°，∠B=72°，∴∠C=90°-72°=18°，∵∠CPB=54°，∴∠A+∠ACP=54°，∴∠ACP=36°，∴∠ACP=2∠A，∴△ACP是“倍角三角形”，故答案为：是．②∵∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°，∴∠BCP=36°或72°，∴∠ACP=54°或18°．（2）如图2-1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°．如图2-2中，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=60°．如图2-3中，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条件，此时∠BCP=50°．如图2-4中，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条件，此时∠BCP=40°．如图2-5中，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条件，此时∠BCP=30°．综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，“倍角三角形”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．4．（2022秋·江苏·八年级期末）如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：(3)翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)70°(3)或或70°【分析】（1）由沿翻折可知，可知为等腰三角形，，，计算求解即可；（2）与全等，分两种情况讨论；①，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；②，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；（3）分情况讨论①由题意知（2）中时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，，，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可.【详解】（1）解：由沿翻折可知∵为的中点∴∴为等腰三角形∴∵∴∴．（2）解：∵，是等腰三角形，与全等∴①如图1，当时，为等腰三角形，为等腰三角形∴，∵∴∴当时，点在的下方，不符合题意；又∵，∴与不全等，舍去；②如图2当时，为等腰三角形，为等腰三角形∴∴∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形∴与全等∴∴当时，与全等，；综上所述，若与以点为顶点的三角形全等，的值为．（3）解：①由（2）中图2可知当时，在内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；②如图3，为与重合的等腰三角形∴，∵，∴∴∴；③如图4，为与重合的等腰三角形∴∵，∴∴∴；综上所述，当和的重叠部分为等腰三角形时，的值为或或．【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．二、根据等边对等角证明（共4小题）5．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【答案】（1）∠ABE=∠ACD，理由见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据全等三角形的判定证得△ABE≌△ACD，继而根据全等三角形的性质即可求证结论；（2）根据等边对等角的性质得，由（1）知．继而根据角的和差可得，根据等角对等边的性质可得：，继而根据线段垂直平分线的判定即可求解．【详解】(1)理由：在△ABE和△ACD中∵∴△ABE≌△ACD（SAS）∴(2)∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及其性质，等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．6．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F．(1)求证；(2)若，求证．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）先证明，再根据可证；（2）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，根据角平分线的性质可知，进一步即可得证．【详解】（1）证明：，，，，，，，，，，，在和中，，；（2）证明：过点作于点，如图所示：，，，，，，，，，，，，，QUOTE，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．7．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=度；（2）设，．①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：；（2）①．理由：∵，∴．即．又，∴．∴．∴．∴．∵，∴．②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：∠BCE+∠BAC=180°，∴α+β=180°，如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAC=∠BCE．∴α=β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．8．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图1．等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD延长线上．且AB=AE，CF=EF．(1)在图1中，证明：∠BFC=∠BAC；(2)若，如图2．探究线段AF、BF、EF之间的数量关系，并证明；(3)若且BD平分∠ABC，如图3，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)AF+EF=BF，证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）证明（SSS），利用全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可解决问题．（2）结论：AF+EF=BF．如图2中，在BF上取点G，使FG=FC，连接CG．证明（SAS），推出AF=BG，可得结论．（3）如图3中，延长BA，CF交于点H．证明（ASA），（ASA），可得结论．【详解】（1）解：如图1中，∵AB=AC，AB=AE，∴AC=AE，∵AF=AF，CF=EF，∴（SSS），∴∠E=∠ACF，又∵AB=AE，∴∠E=∠ABE，∴∠ABE=∠ACF，又∵∠ADB=∠FDC，∴∠BFC=∠BAC．（2）解：结论：AF+EF=BF．理由：如图2中，在BF上取点G，使FG=FC，连接CG．∵，∴，∵FG=FC，∴△GFC为等边三角形，又∵AB=AC，，∴△ABC为等边三角形，∴，∴∠BCG=∠ACF，又∵BC=AC，GC=FC，∴（SAS），∴AF=BG，由（1）得．EF=CF，∵CF=GF，∴EF=GF．∵BF=BG+GF，∴BF=AF+EF．（3）如图3中，延长BA，CF交于点H．∵，∴∠BFC=∠BFH=，BD平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，又∵BF=BF，∴△HBF△CBF（ASA），∴CF＝HF＝，又∵∠BAC=∠HAC=，AB=AC，∠ABD=∠ACH，∴（ASA），∴BD=CH=2CF，∵CF=EF，∴BD=2EF，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．三、根据三线合一求解（共4小题）9．（2022秋·江苏·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于点M．求证：AM＝2CD；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若AD＝3，则BE＝．【答案】（1）详见解析；（2）1.5．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，即可得到结论；（2）延长BE、AC交于F点，首先利用三角形内角和定理计算出∠F＝∠ABF，进而得到AF＝AB，再根据等腰三角形的性质可得BE＝BF，然后证明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，进而得到BE＝AD，即可求解．【详解】（1）在△ABC中，∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，∴AE＝BE，∵AD⊥BC，∴∠EAM＝90°-∠C=∠EBC，在△AEM和△BEC中，∵，∴△AEM≌△BEC（ASA），∴AM＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴BC＝2CD，∴AM＝2CD；（2）延长BE、AC交于F点，∵BE⊥EA，∴∠AEF＝∠AEB＝90°．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠F＝∠ABE，∴AF＝AB，∵BE⊥EA，∴BE＝EF＝BF，∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴∠CAB＝45°，∴∠AFE＝(180°﹣45°)÷2＝67.5°，∠FAE＝45°÷2=22.5°，∴∠CDA＝67.5°，∵在△ADC和△BFC中，∵，∴△ADC≌△BFC（AAS），∴BF＝AD，∴BE＝AD＝1.5，故答案为：1.5．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．10．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，中，点D在边上，连接，，．(1)如图1，求证：(2)如图1，求证：．(3)如图2，在（2）的条件下，连接，交于点F，若，且，时，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)6．【分析】（1）由题意可得△ABD≌△AED，再根据全等三角形的性质可以得解；（2）连接BE，延长AD交BE于点H，则可证得AH是等腰△ABE底边上的高，再根据三角形外角定理和已知条件可以得到求证结论；（3）延长BC到G,使FG=FB,连接AG,由已知和（1）（2）结论可以得到CG=6，△EAC≌△GAC，从而可以得到EC的长度．【详解】（1）∵在△ABD和△AED中，,∴△ABD≌△AED，∴；（2）如图，连接BE，延长AD交BE于点H，由（1）可得：AB=AE，，∴AH是等腰△ABE底边上的高，∠AHB=90°，又BD=DE，∴∠DBE=∠DEB，∠DBE，∴∠DBE+∠ABD+∠BAD=180°-90°=90°；（3）如图，延长BC到G，使FG=FB，连接AG，∵FB=BC-CF=8-1=7,∴FG=7,∴CG=FG-CF=7-1=6，∵AF⊥BC,∴AB=AG,∴∠BAF=∠GAF,∵AB=AE,∴AE=AG，由(2)得∠EDC+∠ADC=90°,∵∠EDC=2∠EAC,∴×2∠EAC+∠ADC=90°,即∠EAC+∠ADC=90°,∵AF⊥BC,∴∠DAF+∠ADC=90°,∴∠EAC=∠DAF,∴∠EAC-∠EAF=∠DAF-∠EAF,即∠CAF=∠EAD,由(1)得∠BAD=∠EAD,∴∠BAD=∠CAF,∵∠BAF=∠GAF,∴∠BAF-∠BAD=∠GAF-∠CAF,即∠DAF=∠GAC,∴∠EAC=∠GAC,在△EAC和△GAC中,,∴△EAC≌△GAC(SAS),∴EC=CG=6.【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内外角和定理及作辅助线辅助解题等知识和方法是解题关键．11．（2022秋·贵州黔西·八年级校联考期中）如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．【答案】（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立【分析】见详解【详解】（1）AE是∠FAD的角平分线；（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，∵E是DC的中点，∴EC=ED，∵FC⊥DC，AD⊥DC，∴∠FCE=∠EDB=90°，在△FCE和△BDE中，,∴△FCE≌△BDE，∴EF=EB，∵AE⊥FE，∴AF=AB，∴AE是∠FAD的角平分线；（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，∵AD=DC，∴∠FCE=∠EDB，在△FCE和△BDE中，,∴△FCE≌△BDE，∴EF=EB，∵AE⊥FE，∴AF=AB，∴AE是∠FAD的角平分线.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的关键.12．（2022秋·山东德州·八年级统考期中）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为_______．（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若BC＝6，AB＝5，AD＝4，则BP+EP的最小值是______．【答案】教材呈现：见解析；定理应用：（1）22；（2）【分析】教材呈现：利用SAS证明△PCA≌△PCB，根据全等三角形的性质可得结论；定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理可得AD＝BD，AE＝EC，结合△ADE的周长为22可求得BC＝22；（2）过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，证明AD是BC的垂直平分线，可得BP＝PC，此时BP+EP的值最小，然后根据＝AB·CE＝BC·AD求出CE即可．【详解】教材呈现：证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA＝PB；定理应用：（1）解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD＝BD，AE＝EC，∵△ADE的周长为22，∴AD+DE+AE＝22，∴BD+DE+EC＝22，即BC＝22，故答案为：22；（2）解：过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，∴AD是BC的垂直平分线，∴BP＝PC，∴BP+EP＝CP+EP，∵垂线段最短，∴BP+EP＝CE时BP+EP的值最小，∵＝AB·CE＝BC·AD，∴5CE＝6×4，∴CE＝，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．四、根据三线合一证明（共4小题）13．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ECB＋∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝0.5BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）先推出∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，从而得∠EMD＝90°，进而即可求解．【详解】（1）连接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BDC＝∠BEC＝90°∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点∴DM＝BC，EM＝BC

∴DM＝EM∵N是DE的中点

∴MN⊥ED；（2）∵DM＝BC＝BM∴∠DBM＝∠BDM同理∠MEC＝∠MCE∵∠ECB＋∠DBC＝45°∴∠EMB＋∠DMC＝2（∠ECB＋∠DBC）＝90°∴∠EMD＝90°∵N是DE的中点，DE＝10∴MN＝DE＝5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）求出∠DME＝90°．14．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．【答案】甲、乙两同学的方案都可行，见解析【分析】甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案根据等腰三角形的性质得出AB=BC，故方案可行．【详解】解：甲、乙两同学的方案都可行．理由如下：甲同学方案：在△ABO和△CDO中，，∴，∴AB＝CD；乙同学方案：∵AD＝CD，DB⊥AC于点B，∴AB＝BC，∴测量出线段BC的长度就是池塘两端A，B之间的距离，∴甲、乙两同学的方案都可行．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解决问题的关键．15．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，点D，E分别在BC，AB边上，AE=AC，AD⊥CE，连接DE．(1)求证：∠DEC=∠DCE；(2)若AC=BC，BE=CE．①求∠B的度数；②试探究AB-AC与BC-DE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①26°；②，理由见解析【分析】（1）根据，可以得出DE=DC，从而证得∠DEC=∠DCE；（2）①设，分别找出在中各个角与的关系，再利用三角形内角和等于180°建立方程，解方程即可求得的值；②先根据得到，再证明，从而得到，即可推算出．【详解】（1）证明：∵，∴EF=CF，∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE；（2）①解：如下图所示，设AD、EC交于点F，∵AB=AC，AD⊥CE，∴设，∴，，∵AC=BC，∴，又∵BE=CE，∴，∴在中，，∴∴②答：∵∴∵∴由①：在外，在中，∴∴．【点睛】本题考查三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形、等腰三角形的相关知识．16．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．(1)如图1，若点在边上，求证：；(2)如图2，连．若，求证：；(3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD=∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD=CF；（2）过点F作JKAC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PIAB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ=BE=FK，因为ABPI，FKAC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ=PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI，则FI=FP，所以FP=AJ，FK=BE=DJ，FI=FK，所以AJ=DJ=BE，即AD=AJ+DJ=2BE；（3）延长MO到点G，使OG=OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ=∠ABN，且使CQ=BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN=30°，则∠CAM=，所以∠BAN=30°-．【详解】（1）证明：如图，连接，，，∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，，，，，，，；（2）证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接，，，和是等边三角形，，，是等边三角形，由（1）中结论可知，，，，，四边形是平行四边形，，，，为等边三角形，，，平分，是等边三角形，，，，，，即；（3）如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，又，，，．【点睛】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．五、根据等边对等角求解（共3小题）17．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）【观察发现】如图（1），中，，点D为的中点，求的取值范围．解法如下：延长到点E，使，连接．请直接写出的取值范围；（2）【探索应用】如图（2），，点E为的中点，，求的长．【答案】（1）；（2）的长为17【分析】（1）根据点D为的中点可得，，进而即可证明，灾后结合三角形三边关系进行求解即可；（2）延长交于H，根据中点和平行线的性质证明和，进而即可得到，最后利用全等三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）∵点D为的中点，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴；（2）如图2，延长交于H，∵点E是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用、全等三角形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2022秋·四川广元·八年级统考期末）“剑门雄关天下险，女皇故里美名扬”．2022年11月22日第34届女儿节在广元南河水上公园拉开帷幕，文艺表演后，举行了精彩的凤舟竞赛，经过激烈角逐，旺苍、剑阁、苍溪代表队分别夺得前三名．如图，若苍溪代表队划行的彩船从点A出发，以每秒4米的速度向正北方向划行，经过70秒到达点B处．在出发地A和点B处分别望向湖中心C处，测得，．(1)求湖中心C到点B的距离；(2)彩船到达B点后，继续向正北方向航行，问：还要经过多长时间，彩船到湖中心C的距离最短？【答案】(1)湖中心C到点B的距离为280米(2)还要经过35秒，彩船到湖中心C的距离最短【分析】（1）先求出，再根据三角形外角的性质推出，则（米）；（2）如图，过点C作于点P，根据垂线段最短，得彩船划行到P处时，到湖中心C的距离最短，因此只需要求出即可得到答案．【详解】（1）解：由题意，得（米）．

∵，，∴．

∴．

∴（米），∴湖中心C到点B的距离为280米；（2）解：如图，过点C作于点P．

根据垂线段最短，得彩船划行到P处时，到湖中心C的距离最短．

∵，∴．

又∵，∴，

在中，，∴（米）．

（秒），∴还要经过35秒，彩船到湖中心C的距离最短．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等等，灵活运用所学知识是解题的关键．19．（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，是的高，，求的长．【答案】15【分析】在DC上截取DE=DB=5，连接AE，利用SAS即可证出△ABD≌△AED，从而得出AB=AE，∠B=∠AED，结合已知条件和三角形外角的性质可得∠EAC=∠C，根据等角对等边可得AE=EC=15，从而求出结论．【详解】解：在DC上截取DE=DB=5，连接AE，如图所示∵是的高，∴∠ADB=∠ADE=90°∴DE=DB，AD=AD∴△ABD≌△AED∴AB=AE，∠B=∠AED∵∠AED=∠EAC＋∠C∴∠AED=∴∠EAC=∠C∴AE=EC=BC－BD－DE=15∴AB=15【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握构造全等三角形的方法是解题关键．六、根据等边对等角证明（共3小题）20．（2022春·贵州遵义·八年级校考期中）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．21．（2022秋·山东德州·八年级统考期末）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．22．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：．李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】方法一：；转化；；；；；；方法二：；；【分析】方法一：在AC上截取，由SAS可证可得，BD=DE，根据等角对等边得到CE=DE，即可求证；方法二：延长AB至点F，使，由AAS可证，可得AC=AF，即可证明．【详解】方法一：在AC上截取，连接DE，如图2∵AD平分，∴，在和中，∴，∴，BD=DE，∵，∴而，∴，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC，故答案为：；转化；；；；；；方法二：如图3，延长AB至点F，使，∴∴∴∴在和中，∴，∴AC=AF，∴AC=AB+BF=AB+BD，故答案为：；；．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．七、根据等边三角形的性质求解（共5小题）23．（2022秋·江苏·八年级期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）结论仍然成立，详见解析；（3）NC﹣BM＝MN，详见解析【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN，此时；（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN．【详解】（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC＝MN．此时．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：结论仍然成立．证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴；（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理．24．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．【详解】解：（1）是等边三角形，．线段为边上的中线，，．故答案为：30°；（2）与都是等边三角形，，，，，．在和中，，；（3）是定值，，理由如下：①当点在线段上时，如图1，由（2）可知，则，又，，是等边三角形，线段为边上的中线，平分，即，．②当点在线段的延长线上时，如图2，与都是等边三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③当点在线段的延长线上时，如图3，与都是等边三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．综上，当动点在直线上时，是定值，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．25．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．（1）求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．【答案】（1）证明见详解；（2）18；（3）2.5【分析】(1）根据题干可知本题考查全等三角形证明，先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD，则可根据“AAS”证明△AEC≌△CD．(2)根据图2和条件，作B'D⊥AC于D，先证明△B'AD≌△AB'D得到B'D=AC=6，则可根据三角形面积公式计算；(3)根据图3，利用旋转的性质得∠FOP=120°，OP=OF，再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1，则EP=CE＋CP=5，然后计算点P运动的时间t．【详解】(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，又∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)如图2，作B'D⊥AC于D，

∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，∴AB’=AB，∠B’AB=90°，即∠B′AC＋∠BAC=90°，而∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△ABD(AAS)，∴B′D=AC=6，∴△AB′C的面积=6×6÷2=18；(3)如图3，由旋转知，OP=OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BC-OC=1，∴CP=1，∴EP=CE＋CP=5，∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．【点睛】本题难道角度特别是需要作辅助线，要明确本题考点几何的综合变换，结合全等三角形及辅助线技巧，大胆猜想，小心求证．26．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）在等边的两边，所在直线上分别有两点，，点为外一点，且，，．（1）如图1，点，在边，上，，求的长；（2）如图2，点，在边，上，，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明；（3）当点，在，的延长线上时，若等边的周长为，的长为，则的周长为______（用含有，的代数式表示）．【答案】（1）4；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质得出，，可得出是等边三角形，，利用直角三角形中的性质即可得出答案；（2）延长至点，使，连接，由（1）得，可得，利用全等三角形的性质及各角之间的关系可得：，可得出：，得出，即可证明结论；（3）过点D作，可证，利用全等三角形的性质及各角之间的关系得出，可证，得出，求出的周长为，代入已知条件即可．【详解】解：（1）是等边三角形，．，，．．在和中，∵．，．，是等边三角形，．在中，，；（2），理由如下：延长至点，使，连接．由（1）得，∴在和中，．，．，，即，．在和中，．，；（3）如图所示：过点D作，在和中，．，．，，，．在和中，．∴，∴的周长为：，∵，，∴的周长为：．【点睛】题目主要考查等边三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线图形是解题关键．27．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，等边的边长为7cm，现有两动点M，N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边按照图中标识的方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2.5cm/s，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动过程中，点M，N能否与中的某一顶点构成等边三角形，若能求出对应的时间t，若不能请说明理由．(3)当点M、N在边BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能，请求出此时MN的边长，若不能请说明理由．【答案】(1)点M、N运动秒后重合；(2)点M、N运动时间为2秒时，是等边三角形；点M、N运动时间为6秒时，是等边三角形；(3)当点M、N运动8秒时，是以MN为底边等腰三角形．【分析】（1）由题意知，两点重合时，点N比点M多运动了7cm，根据此关系式列出方程求解即可得；（2）分三种情况进行讨论：设点M、N运动秒后，是等边三角形，设点M、N运动秒后，是等边三角形，设点M、N运动秒后，是等边三角形；根据题意，作出相应图形，利用等边三角形的性质得出方程求解即可；（3）设点M、N运动秒时，为等腰三角形且MN是它的底边，得出，，根据等腰三角形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质可得，得出方程求解即可得．【详解】（1）设点M、N运动t秒后重合，∴，∴解得，∴点M、N运动秒后重合；（2）解：①点N在线段AB上的运动时间为，设点M、N运动秒后，是等边三角形，此时点N在线段AB上，点M在线段AC上，如图所示：，，当时，是等边三角形，即，解得，当时，是等边三角形；②点M从点A到点C的运动时间为，点N从点B到点C的运动时间为，由（1）可得当时，点M、N重合，设点M、N运动秒后，是等边三角形，如图所示：为等边三角形时，点N到线段BC上，点M在线段AC上，∴，，当时，即，解得：，且，符合题意；∴当时，是等边三角形；③点N运动到点B的时间为：，设点M、N运动秒后，是等边三角形，此时，点M与点N均在线段BC上，不能构成等边三角形，∴这种情况不存在；综上可得：点M、N运动时间为2秒时，是等边三角形或点M、N运动时间为6秒时，是等边三角形；（3）解：如图所示：由（2）得，设点M、N运动秒时，为等腰三角形且MN是它的底边，则，，∵是等腰三角形且MN是它的底边，∴，，∴，在与中，，∴，∴，即，解得，∴当点M、N运动8秒时，是以MN为底边等腰三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用等，理解题意，利用分类讨论思想求解是解题关键．八、等边三角形的判定（共4小题）28．（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使点落在点的位置．判断的形状并加以证明；【答案】等边三角形【分析】先根据线段中点的定义可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据等边三角形的判定即可得出结论．【详解】解：是等边三角形，证明如下：是的边的中线，，由折叠的性质得：，，是等边三角形．【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．29．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．(1)求证：BE垂直平分CD；(2)若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；（2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB，∴∠EDB=∠ACB=90°，在Rt△EBC和Rt△EBD中，，∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），∴∠CBE=∠DBE，∵BD=BC，∴△BDC是等腰三角形，∴BF⊥CD，CF=DF，∴BE垂直平分CD；（2）证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°，∴∠DBE=30°，∵BD=BC，BE垂直平分CD，∴∠CBE=∠DBE=30°，∴∠CBD=60°，∴△CBD是等边三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．30．（2022春·北京西城·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．【答案】(1)出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30－x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．【详解】解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，解得x＝6；②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝BN，即30－x＝×2x，解得x＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键．31．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）分解因式，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式子因式分解，过程如下：，这样的因式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)因式分解：；(2)已知的三边a，b，c满足，判断的形状．【答案】(1)(2)是等腰三角形或等边三角形，理由见解析【分析】（1）第一项和第三项可以用平方差公式分解因式，第四项和第二项可以提公因数分解因式，据此求解即可；（2）先把所给条件式分解因式得到，即可得到或，由此即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：是等腰三角形或等边三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∴或，∴或，∴当，时，是等腰三角形；当，时，是等腰三角形；当，时，是等边三角形．【点睛】本题主要考查了分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，熟知分解因式的方法是解题的关键．九、等边三角形性质与判定综合（共4小题）32．（2022秋·江苏·八年级期中）如图①，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD=AE，BE与CD交于点O．（1）填空：∠BOC＝度；（2）如图②，以CO为边作等边△OCF，AF与BO相等吗？并说明理由；（3）如图③，若点G是BC的中点，连接AO、GO，判断AO与GO有什么数量关系？并说明理由．【答案】（1）120；（2）相等，理由见解析；（3）AO=2OG．理由见解析【分析】（1）证明△EAB≌△DBC（SAS），可得结论．（2）结论：AF=BO，证明△FCA≌△OCB（SAS），可得结论．（3）证明△AFO≌△OBR（SAS），推出OA=OR，可得结论．【详解】解：（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠A=∠CBD=60°，在△EAB和△DBC中，，∴△EAB≌△DBC（SAS），∴∠ABE=∠BCD，∴∠BOD=∠BCD+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°．故答案为：120．（2）相等．理由：如图②中，∵△FCO，△ACB都是等边三角形，∴CF=CO，CA=CB，∠FCO=∠ACB=60°，∴∠FCA=∠OCB，在△FCA和△OCB中，，∴△FCA≌△OCB（SAS），∴AF=BO．（3）如图③中，结论：AO=2OG．理由：延长OG到R，使得GR=GO，连接CR，BR．在△CGO和△BGR中，，∴△CGO≌△BGR（SAS），∴CO=BR=OF，∠GCO=∠GBR，AF=BO，∴CO∥BR，∵△FCA≌△OCB，∴∠AFC=∠BOC=120°，∵∠CFO=∠COF=60°，∴∠AFO=∠COF=60°，∴AF∥CO，∴AF∥BR，∴∠AFO=∠RBO，在△AFO和△OBR中，，∴△AFO≌△OBR（SAS），∴OA=OR，∵OR=2OG，∴OA=2OG．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．33．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有___________≌___________．(2)如图，已知，以为边分别向外作等边和等边并连接，则___________°．(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．【答案】(1)，(2)(3)，，理由见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可；（2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解；（3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可．【详解】（1）解：，，，在和中，，，故答案为：，；（2）解：等边和等边，，，，，即，在和中，，，，故答案为：；（3）证明：，理由：，，即，在和中，，，，，，∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键34．（2022秋·江苏·八年级期中）如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，，另一个等边的顶点D从O点出发，沿的方向以的速度运动，在运动过程中的形状始终保持不变，且点D不与点A重合．设运动时间为．（1）求证：；（2）如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长：若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，（+4）cm；（3）2s或20s【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC=BC=64，CD=CE，∠ACB=∠DCE，证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△CDA≌△CEB即可；（2）当6＜t＜10时，证明△ACD≌△BCE得到BE=AD，于是得到△DBE的周长=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由△CDA≌△CEB，得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，不存在直角三角形．④当t＞10s时，由△CDA≌△CEB得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．【详解】解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AC=BC=4，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△CDA≌△CEB（SAS）；（2）存在，当6＜t＜10时，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，又AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=+4（cm）；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，∵△CDA≌△CEB，∴∠CAD=∠CBE=180°-60°=120°，∴∠ABE=120°-60°=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA-DA=6-4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，不存在直角三角形．④如图，当t＞10s时，同理可证：△CDA≌△CEB，∴∠ABC=∠CBE=60°，∴∠DBE=180°-∠ABC-∠CBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm，∴t=14÷1=14s，综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握利用等边三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．35．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求∠DOE的度数；(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．【答案】(1)∠DOE的度数是60°(2)△MNC是等边三角形，理由见解析(3)见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．【详解】（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，＝∠BEC＋60°＋∠BED，＝∠CED＋60°，＝60°＋60°，＝120°，∴∠AOE=120°，∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．（2）△MNC是等边三角形，理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE，垂足为H．∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，∴，∴CG＝CH，∵CG⊥AD，CH⊥BE，∴OC是∠AOE的平分线．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．十、含30°角的直角三角形（共4小题）36．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．(1)当时，判断的形状并说明理由；(2)当的最小值为2时，此时；(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．【答案】(1)直角三角形(2)3(3)的度数是60°或105°【分析】（1）证明即可解答；（2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出，的值即可解答；（3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可．【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴为直角三角形．（2）解：当时，的值最小，如图，在中，，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：3．（3）解：的形状可以是等腰三角形，理由如下，分三种情况：①时，，∴；②时，，∴；③时，，∴，点O与C重合，不合题意，综上所述，的度数是60°或105°．【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．37．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）（1）问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，与相等吗？请你给出证明；（2）变式拓展：如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）相等，见解析；（2）①，见解析；②，见解析【分析】（1）过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证；（2）①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解；②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：如图1，过点作于，于．∵平分，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①结论：．理由如下：如图2，过点作于，于．∵平分，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；②结论：．理由如下：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分上的点到角两边的距离相等；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．38．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，∠AOB＝30°，点M，N在边OA上，点N在点M的上方，MN＝2，点M从O开始沿着射线OA移动，移动距离为x，点P是边OB上的点．(1)利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM＝PN；(2)在整个移动过程中，使P、M、N构成等腰三角形的点P最少有个，最多有个；当x＝2时，这样的点P有个．(3)若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰