专题3.7 勾股定理的逆定理（分层练习）（提升篇）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.7勾股定理的逆定理（分层练习）（提升篇）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是56，大直角三角形一边长为6，则斜边长（

）A．8 B．9 C．10 D．122．小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家直线距离为250m远的地方，那么小明向正东方向走的路程是（）A．250m B．200m C．150m D．100m3．《九章算术》中有一道题目译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牵绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽”．设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（

）A． B．C． D．4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、，则的值为（）

A．16 B．9 C．4 D．35．将一长方形纸片按图1方式剪成四张完全相同的直角三角形纸片，相关线段长度如图中标注．现将它们拼成图2的“赵爽弦图”，则图2中阴影部分的面积为（

）A．

B．

C．

D．

6．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（

）A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（

）A． B． C． D．8．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）

A．5 B．4 C．3 D．29．某大会会标如图所示，它是由相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则的值（

）A． B． C． D．10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（

）A．420 B．440 C．430 D．410二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______．12．如图，在△ABC中，，，，P为边AB上一动点，于点E，于点F，连接EF，则EF的最小值为______．13．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离________km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使，则AD的长为______________km．14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．15．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是_____．16．在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是__________．17．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（和），门边沿D，C两点到门槛的距高是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛为_______寸．18．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）一个门框的尺寸如图所示，一块长，宽的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？20．（8分）如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，求四边形ABCD的面积．21．（10分）设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．22．（10分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？23．（10分）如图,圆柱形玻璃杯的高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为多少?24．（12分）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数.观察下表（）：3，4，55，12，137，24，259，40，41……（1）试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论；（2）写出当时，，的值.参考答案1．A【分析】根据图形面积，可求出大正方形面积为28，即AB2＝28，由此即可求出AC．解：由图形可知，两个小正方形的面积和＝大正方形的面积，∵三个正方形阴影部分的面积和是56，∴AB2＝28，∴AC2＝AB2+BC2＝28+36＝64，∴AC＝8．故选：A．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，以及与正方形面积的关系，灵活用用勾股定理是解题的关键．2．B【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出答案．解：如图所示：由题意可得：，由勾股定理得，故选B【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形．3．B【分析】设绳索的长为x尺，则木柱高为（x-3）尺，长8尺构成直角三角形，利用勾股定理列方程．解：设绳索的长为x尺，由题意得，故选：B．【点拨】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意中的数量关系列得方程是解题的关键．4．B【分析】由勾股定理得，由小正方形面积是1，得出，即可得出结果．解：由题意可知：大正方形的面积=4个直角三角形的面积之和=所以故选：B．【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．B【分析】阴影部分的面积＝小正方形的面积．小正方形的边长为．解：如图所示：小正方形的边长为，则阴影部分的面积＝小正方形的面积＝．故选：B．【点拨】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出小正方形的边长．6．C【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．解：设绳索有x尺长，则，解得：．故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．A【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．解：依题意，，在中，，∵，,在中，，故选：A．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．8．C【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确．解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正确；，，四边形的面积是；故③错误；梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，，，，故④错误，故⑤正确故①②⑤共3个正确，③④错误．故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．C【分析】大正方形的面积是求得，结合小正方形的面积是1求出阴影部分面积即，将变形代入求解即可．解：直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，故斜边长为:即大正方形边长为:大正方形的面积是，小正方形的面积是1阴影部分的面积为：即故选：C．【点拨】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示面积．10．B【分析】延长交于P，延长交于Q，可得全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出和的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解．解：如图，延长交于P，延长交于Q，由题意得，，∴，∴，∴，同理可证，∴，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴，，∴长方形的面积．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点．11．1.5米【分析】设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的一条直角边CD是0.8米，另一条直角边是人工湖BD为x米，斜边BC是竹竿的长米．根据勾股定理得，即可解答．解：设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，由题意得，，解之得：故答案为：1.5米．【点拨】本题考查了勾股定理的应用．12．//【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BCA=90°；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形CEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=CP，则EF的最小值即为CP的最小值，根据垂线段最短，可知CP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．解：如下图，连接CP，∵在△ABC中，，，，∴，即∠BCA＝90°．又∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP．当CP⊥AB时，CP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∵，∴，即EF的最小值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、垂线段最短等知识，解题关键是要能够把要求的线段转换为便于分析其最小值的线段．13．2013【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．解：（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE由是直角三角形，得：故答案为：13【点拨】本题考查用坐标确定位置，根据A、B、C三点坐标求出相关线段长度是关键．14．45°/45度【分析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF，∵PF∥BE，∴∠PBA=∠BPF，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，∵PQ²=2²+1²=5=QB²，∴△PQB为等腰直角三角形，∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，故答案为：45°．【点拨】本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．15．3cm【分析】根据半径我们可以求出直径，沿底面的半径切开圆柱，则平面为一个底为6cm，高为8cm的矩形，根据勾股定理可以计算对角线的长度，吸管露出杯口的长度为吸管长减去矩形对角线长．解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，则cm，∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．故答案为：3cm．【点拨】本题考查了矩形中勾股定理的运用，考查了矩形各内角为直角的性质，本题中正确的根据勾股定理计算AB是解题的关键．16．【分析】首先根据题意画出图像，根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即再用勾股定理求出AC的长，在Rt△ADC中，利用等面积法即可求得DE的长．解：根据题意，画出图形，如图，∵AD是的中线，∴，在中，∵，∴∴是直角三角形，且∴在中，，∵，∴解得，，故填：．【点拨】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是根据题意画出图形，结合勾股定理和勾股定理逆定理进行求解．17．101【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，设单门的宽度AO是x寸，则AE=x-1，DE=10寸，根据勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，则x2=102+（x-1）2，解得：x=50.5，故AB=101寸，故答案为：101【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．或54或10【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．解：如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得：t=10．故答案为：或5；4或10．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．19．能，见分析【分析】连接AC，由勾股定理求出AC的长度，然后进行比较，即可得到答案.解：连接，在中根据勾股定理可得：又∵∴木板的宽∴木板能从门框内通过．【点拨】本题考查了正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，理解能通过的条件，是解题的关键．20．36【分析】根据勾股定理得：，根据勾股定理的逆定理，得∠BAD=90°，根据三角形的面积公式，即可求得答案．解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴，∵AD＝12，BD＝13，∴，∴∆ABD是直角三角形，即：∠BAD=90°，∴四边形ABCD的面积=．【点拨】本题主要考查勾股定理以及逆定理，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．21．见分析【分析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，再由三角形的面积公式即可得出结论．解：证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，∵ab＝ch，∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，∴＝，即．【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．“海天”号沿北偏西40°方向航行．【分析】先根据速度求出路程，再用勾股定理的逆定理判断出∠RPQ为90°，求出∠RPS即可．