2023-2024学年高二上学期期末数学仿真模拟卷04（新高考地区专用）(含答案)

-2024学年高二数学上学期期末仿真模拟04卷（测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列中，，，则（）A.4或 B. C.4 D.82．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（）A. B. C. D.3．在四面体OABC中记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（）A. B.C. D.4．一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.5．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（）A. B. C. D.6．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）A. B. C. D.7．过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是（）A.B.C. D.8．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于、两点，则（）A. B.C.的面积为 D.线段的中点到轴的距离为210．在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（）A.CN与QM异面B.三棱锥的体积跟λ的取值无关C.不存在λ使得D.当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为11．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（）A.数列是等比数列 B.C.存在正数，使得恒成立 D.恒成立12．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，直线，则下列描述正确的为（）A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB.若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为C.若l上任意一点Q都满足，则D.若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线与垂直，则m的值为______．14.已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为___．15.如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________.16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.（1）求圆的方程；（2）直线：与圆交于两点，且，求实数的值.18．已知数列{}的前n项和为，，.（1）求证:数列{}是等比数列；（2）若，，求数列{}的前n项和.19．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围．20．如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.21．已知抛物线：的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若为定值，求实数的值．22．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.（1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程；（2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；（3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.2023-2024学年高二数学上学期期末仿真模拟04卷答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列中，，，则（）A.4或 B. C.4 D.8【答案】C【解析】设公比为，则，因为，，所以，所以.故选：C.2．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知，，解得，故，则两点间的距离为.故选：C3．在四面体OABC中记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得：.故选：B.4．一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，抛物线开口向右，设抛物线的标准方程，点代入抛物线方程求得，得，则．抛物线的标准方程为.故选：B．5．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为，所以得，又因为的焦点为，所以.由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确.故选：B.6．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为，解得，因为，所以故选：A7．过动点（）作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知圆：的半径为，因为，分别为两条切线，的切点，且，则，所以，所以动点在圆上且，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，设，则直线与圆有公共点，由点到直线的距离公式可得，解得或，即的取值范围是，故选：D8．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，当时，，当时，由得，两式相减并化简得，也符合上式，所以，令，为常数，所以数列是等差数列，首项，所以，对称轴为，由于对任意的恒成立，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于、两点，则（）A. B.C.的面积为 D.线段的中点到轴的距离为2【答案】AC【解析】由，不妨设，因为，所以选项A正确；因为，所以不互相垂直，因此选项B不正确；因为点到直线的距离为，所以的面积为，因此选项C正确；因为线段的中点的横坐标为：，所以线段的中点到轴的距离为3，因此选项D不正确，故选：AC10．在棱长为2的正方体ABCD—中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（）A.CN与QM异面 B.三棱锥的体积跟λ的取值无关C.不存在λ使得 D.当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为【答案】BD【解析】连AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为的中位线.∴，则CN，QM共面，A错.为定值，B对.如图建系，，则，，C错.截面如图所示，图形ACFQ，过Q作AC的垂线垂足为G.，∴，D对.故选：BD11．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（）A.数列是等比数列 B.C.存在正数，使得恒成立 D.恒成立【答案】BD【解析】由题意知，，

以此类推可得，

故，故数列不是等比数列，故A错误；

，故B正确；因为恒成立，且单调递增，则数列单调递增，所以，数列无最大值，因此，不存在正数，使得，故C错误；恒成立，故D正确.

故选:BD.12．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，直线，则下列描述正确的为（）A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB.若l上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为C.若l上任意一点Q都满足，则D.若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为【答案】BCD【解析】由离心率，且可得，所以蒙日圆方程；对于A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为，原点到椭圆上任意一点的距离最大值为，所以椭圆C上点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，即A错误；对于B，由蒙日圆定义可知：直线与蒙日圆相切，则圆心到直线的距离为，解得；所以椭圆C的方程为，即B正确；对于C，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为，若若l上任意一点Q都满足，可知点Q应在蒙日圆外，所以此时直线与蒙日圆相离，即，解得，又，所以可得，即C正确.对于D，易知椭圆C的方程为，即，蒙日圆方程为，不妨设，因为其在蒙日圆上，所以，设，又，所以可知与椭圆相切，此时可得直线的方程为，同理直线的方程为；将代入的直线方程中可得，所以直线的方程即为，联立，消去整理可得；由韦达定理可得,所以，原点到直线的距离为，因此的面积；当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，即D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线与垂直，则m的值为______．【答案】0或-9##-9或0【解析】因直线与垂直，则有，解得或，所以m的值为0或-9.故答案为：0或-914.已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为___．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为，故新数列的首项为，故通项公式为，故.故答案为：3115.如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________.【答案】【解析】设菱形的边长为2，取的中点，连接，，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的一个法向量为，则，令，则，易知，平面的一个法向量为，所以，设二面角为，由图可知二面角为锐角，即，所以，所以二面角的余弦值为．故答案为：16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______．【答案】【解析】依题意，由，得，即的平分线与直线PQ垂直，如图，设的平分线与直线PQ交于点D，则，，又，所以，所以，．由题得，，设，，，在中，，，则，，由双曲线的性质可得，解得，则，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.（1）求圆的方程；（2）直线：与圆交于两点，且，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）圆过点，，则点在线段的中垂线上，由，得点，圆的半径，所以圆的方程为.（2）直线被圆所截弦长，则点到直线的距离，因此，解得所以实数的值为.18．已知数列{}的前n项和为，，.（1）求证:数列{}是等比数列；（2）若，，求数列{}的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1），时，，相减得：，又，,,所以，,所以是等比数列，首项是9，公比是3；（2）由（1）得，，，，则，相减得，∴．19．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）由题意得，①，②，③由①②③可得，，双曲线C的标准方程是．（2）由题意知直线l不过点A．设，，线段PQ的中点为，连接AD将与联立，消去y，整理得，由且，得，④，，，．由知，，又，，化简得，⑤由④⑤，得或．由，得．综上，实数m的取值范围是或．20．如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】（1）在四棱锥中，平面平面，则，而平面，于是平面