专题04 充分、必要的条件（5大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）含解析

专题04充分、必要的条件（5大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2023-2024学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）专题04充分、必要的条件（5大题型）高频考点题型归纳【题型1充分、必要条件的判断及应用】【题型2充要条件的判断及应用】【题型3充分不必要条件的判断及应用】【题型4必要不充分条件的判断及应用】【题型5充分、必要、充要和集合的关系】【题型1充分、必要条件的判断及应用】【知识点】若p⇒q，则p是q的充分条件q是p的必要条件。【典例1】（2022春•广陵区校级月考）设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4（m∈R）．若β是α的必要条件，则m的取值范围是．【典例2】（2022秋•虹口区校级期中）设a是实数，若x＝1是x＞a的一个充分条件，则a的取值范围是．【题型训练1】1．（2022秋•宝山区校级期中）设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．2．（2022秋•天宁区校级月考）已知条件p：2≤x≤3，q：2k﹣1≤x≤k+3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是．3．（2023•济南开学）“x＞y”的一个充分条件可以是（）A． B．x2＞y2 C． D．xt2＞yt24．（2022春•魏县校级期末）已知A＝{x|y＝}，B＝{x|x≤m+1}，若x∈A是x∈B的必要条件，则m范围是．5．（2022秋•闵行区校级期中）设p：x＜1，q：x＜a，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为．6．（香坊区校级期末）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的取值集合是【题型2充要条件的判断及应用】【知识点】若p⇔q，则p是q充要条件。【典例3】（2022秋•大理州月考）若“不等式x﹣m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，则实数m的值为．【题型训练2】1．（2022秋•阜南县校级月考）“一元二次方程x2+ax+1＝0有实数根”的充要条件是．2．（2022秋•重庆月考）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，则实数m的取值是．3．（2022秋•西城区校级月考）“x＞1，且y＞1”的充要条件是“x+y＞2，且”．4．（2022秋•兴庆区校级月考）“不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一个充要条件是．【题型3充分不必要条件的判断及应用】【知识点】若p⇒q，q⇏p,p是q的充分不必要条件。【典例3】（2022秋•永川区校级月考）2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID﹣19（新冠肺炎）新冠肺炎，患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征．“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热、干咳、浑身乏力”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型训练3】1．（2023春•浉河区校级月考）给出的下列条件中能成为的充分不必要条件是（）A．x≤0或x＞3 B．x＜﹣1或x＞3 C．x≤﹣1或x≥3 D．x≥02．（2023春•泉州期末）已知集合M＝{0，1，2}，N＝{﹣1，0，1，2}，则“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2023•红桥区二模）设a∈R，则“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.（2023•和平区二模）若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（）A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞25．（2023春•叙州区校级期末）“a＞b”的充分不必要条件是（）A．＜ B．＜0＜ C．＜＜0 D．＞6．（2023春•大荔县期末）（x﹣2）（x+2）＞0的一个充分不必要条件是（）A．x≤0 B．x≥0 C．x≥3 D．x＞2或x＜﹣2【题型4必要不充分条件的判断及应用】【知识点】若p⇏q，q⇒p,p是q的必要不充分条件。【典例4】（2022•镜湖区校级模拟）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【题型训练4】1．（2022秋•金寨县校级期末）设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）A．x＜1 B．x＞2 C．x＞﹣1 D．x＞32．（2022秋•建邺区校级期末）设a，b，c，d为实数，且c＜d，则“a＜b”是“a﹣c＜b﹣d”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023春•福州期末）已知a∈R，则“”是“a＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件4．（2023春•阜阳期末）若数列{an}为等比数列，则“a3＝±2”是“a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023春•仙游县校级期中）x2＝4是x＝﹣2的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【题型5充分、必要、充要和集合的关系】【知识点】若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，q是p的必要条件①若AB，则p是q的充分不必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；【典例5】（2023春•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣8x+7≤0}和非空集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若m＝5，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【题型训练5】1.（2022秋•连云港期末）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，非空集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，a∈R．（1）若a＝3，求（∁UA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．2.（2022秋•金水区校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣8x+7≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1）．（1）若m＝3，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．3.（2022秋•富锦市校级期末）设集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，集合B＝{x||x+a|＜1}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．4.（2023春•安徽月考）已知集合A＝{x|2a﹣1＜x＜﹣a}，B＝{x||x﹣1|＜2}．（1）若a＝﹣1，求（∁RA）∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．5.（2022秋•汕尾期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜m﹣1或x≥m+1}．（1）当m＝0时，求A∩B；（2）若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．专题04充分、必要的条件（5大题型）高频考点题型归纳【题型1充分、必要条件的判断及应用】【题型2充要条件的判断及应用】【题型3充分不必要条件的判断及应用】【题型4必要不充分条件的判断及应用】【题型5充分、必要、充要和集合的关系】【题型1充分、必要条件的判断及应用】【知识点】若p⇒q，则p是q的充分条件q是p的必要条件。【典例1】（2022春•广陵区校级月考）设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4（m∈R）．若β是α的必要条件，则m的取值范围是[﹣]．【答案】[﹣]【解答】解：由β是α的必要条件，可得[1，3]⊆[m+1，2m+4]，所以，解得m∈[﹣]．故答案为：[﹣]．【典例2】（2022秋•虹口区校级期中）设a是实数，若x＝1是x＞a的一个充分条件，则a的取值范围是（﹣∞，1）．【答案】（﹣∞，1）．【解答】解：因为x＝1是x＞a的一个充分条件，则{1}⊆{x|x＞a}，所以a＜1，则a的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【题型训练1】1．（2022秋•宝山区校级期中）设α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】．【解答】解：α是β的充分条件，则A⊆B，∵α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，∴，解得，故实数m的取值范围是．故答案为：．2．（2022秋•天宁区校级月考）已知条件p：2≤x≤3，q：2k﹣1≤x≤k+3，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是．【答案】[0，]．【解答】解：∵p：2≤x≤3，q：2k﹣1≤x≤k+3，p是q的充分条件，∴p能推出q，即，解得0≤k≤，故实数k的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．3．（2023•济南开学）“x＞y”的一个充分条件可以是（）A． B．x2＞y2 C． D．xt2＞yt2【答案】D【解答】解：由x＞y，即x﹣y＞0，对选项A，，所以x﹣y＞﹣1不一定有x﹣y＞0，故A不正确，选项B，由x2＞y2，则x2﹣y2＞0⇒（x+y）（x﹣y）＞0，则或，故B项不正确，选项C，，则或，故C不正确，选项D，由xt2＞yt2知t2＞0，所以x＞y，成立，故D正确，故选：D．4．（2022春•魏县校级期末）已知A＝{x|y＝}，B＝{x|x≤m+1}，若x∈A是x∈B的必要条件，则m范围是（﹣∞，0]．【答案】见试题解答内容【解答】解：A＝{x|y＝}＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}，若x∈A是x∈B的必要条件，则B⊆A，则m+1≤1，即m≤0，即实数m的取值范围是（﹣∞，0]，故答案为：（﹣∞，0]5．（2022秋•闵行区校级期中）设p：x＜1，q：x＜a，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，1]．【答案】（﹣∞，1]．【解答】解：∵p是q的必要条件，∴{x|x＜a}⊆{x|x＜1}，∴a≤1，∴a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．6．（香坊区校级期末）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的取值集合是【答案】{，，0}．【解答】解：由x2+x﹣6＝0，解得x＝2，或x＝﹣3．∴p即集合A＝{2，﹣3}．m＝0时，q＝∅，可得q⇒p；m≠0时，由mx+1＝0，可得x＝﹣，∵p是q的必要条件，∴﹣＝2，或﹣＝﹣3，解得m＝，或m＝．综上可得：{，，0}．故答案为：{，，0}．【题型2充要条件的判断及应用】【知识点】若p⇔q，则p是q充要条件。【典例3】（2022秋•大理州月考）若“不等式x﹣m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，则实数m的值为1．【答案】1．【解答】解：解不等式x﹣m＜1得x＜m+1，因为“不等式x﹣m＜1成立”的充要条件为“x＜2”，所以2＝m+1，解得m＝1；所以m＝1．故答案为：1．【题型训练2】1．（2022秋•阜南县校级月考）“一元二次方程x2+ax+1＝0有实数根”的充要条件是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【答案】（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：一元二次方程x2+ax+1＝0有实数根，应满足Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．2．（2022秋•重庆月考）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，则实数m的取值是3．【答案】3．【解答】解：由1＜﹣2x+m＜5得1﹣m＜﹣2x＜5﹣m，故，因为“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要条件，所以，解得m＝3，所以实数m的取值是3．故答案为：3．3．（2022秋•西城区校级月考）“x＞1，且y＞1”的充要条件是“x+y＞2，且（x﹣1）（y﹣1）＞0”．【答案】（x﹣1）（y﹣1）＞0．【解答】解：x＞1，且y＞1⇔x﹣1＞0，且y﹣1＞0⇔⇔，故答案为：（x﹣1）（y﹣1）＞0．4．（2022秋•兴庆区校级月考）“不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一个充要条件是m＞．【答案】m＞．【解答】解：当m＝0时，不等式化简为x＞0，不恒成立，所以m≠0，则不等式恒成立只需，解得m，所以“不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一个充要条件是m＞1，故答案为：m＞【题型3充分不必要条件的判断及应用】【知识点】若p⇒q，q⇏p,p是q的充分不必要条件。【典例3】（2022秋•永川区校级月考）2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID﹣19（新冠肺炎）新冠肺炎，患者症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征．“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热、干咳、浑身乏力”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：新冠肺炎患者能推出患者表现为发热、干咳、浑身乏力，充分性成立，患者表现为发热、干咳、浑身乏力不能推出新冠肺炎患者，必要性不成立．故选：A．【题型训练3】1．（2023春•浉河区校级月考）给出的下列条件中能成为的充分不必要条件是（）A．x≤0或x＞3 B．x＜﹣1或x＞3 C．x≤﹣1或x≥3 D．x≥0【答案】B【解答】解：由得x＞3或x≤0，则的充分不必要条件是（﹣∞，0]∪（3，+∞）的真子集即可，则x＜﹣1或x＞3满足条件．故选：B．2．（2023春•泉州期末）已知集合M＝{0，1，2}，N＝{﹣1，0，1，2}，则“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：因为M⊆N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，但“a∈N”推不出“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件．故选：A．3.（2023•红桥区二模）设a∈R，则“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：当a＞0时，必定有|a|＞0成立，故充分性成立；当|a|＞0时，可得a＞0或a＜0，故必要性不成立．故选：A．4.（2023•和平区二模）若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（）A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2【答案】D【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；由可得，解得x＞y＞0或x＜y＜0，所以是x＞y的既不充分也不必要条件，排除C；，反之不成立，D正确；故选：D．5．（2023春•叙州区校级期末）“a＞b”的充分不必要条件是（）A．＜ B．＜0＜ C．＜＜0 D．＞【答案】C【解答】解：A．由﹣＝＜0，∴ab（b﹣a）＜0，无法得出a＞b，因此不符合条件；B．由＜0＜，可得a＜0＜b，无法得出a＞b，因此不符合条件；C．由＜＜0，可得b＜a＜0，是“a＞b”的充分不必要条件，因此符合条件；D．由﹣＝＞0，∴ab（b﹣a）＞0，无法得出a＞b，因此不符合条件．故选：C．6．（2023春•大荔县期末）（x﹣2）（x+2）＞0的一个充分不必要条件是（）A．x≤0 B．x≥0 C．x≥3 D．x＞2或x＜﹣2【答案】C【解答】解：解不等式（x﹣2）（x+2）＞0可得x＜﹣2或x＞2，因为{x|x≥3}⫋{x|x＜﹣2或x＞2}，故只有C选项中的条件才是“（x﹣2）（x+2）＞0”的充分不必要条件．故选：C．【题型4必要不充分条件的判断及应用】【知识点】若p⇏q，q⇒p,p是q的必要不充分条件。【典例4】（2022•镜湖区校级模拟）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解答】解：由已知设“积跬步”为命题P，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若¬P，则¬q”，其逆否命题为“若q则P”，反之不成立，所以命题P是命题q的必要不充分条件，故选：C．【题型训练4】1．（2022秋•金寨县校级期末）设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）A．x＜1 B．x＞2 C．x＞﹣1 D．x＞3【答案】C【解答】解：x＞2的一个必要不充分条件，即x的范围要比x＞2要大，只有x＞﹣1符合，故选：C2．（2022秋•建邺区校级期末）设a，b，c，d为实数，且c＜d，则“a＜b”是“a﹣c＜b﹣d”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：令c＝0，d＝1，a＝2，b＝3，满足c＜d，a＜b，不满足a﹣c＜b﹣d，充分性不成立，a﹣c＜b﹣d，c＜d，则由不等式的可加性可得，a﹣c+c＜b﹣d+d，即a＜b，必要性成立，故“a＜b”是“a﹣c＜b﹣d”的必要不充分条件．故选：B．3．（2023春•福州期末）已知a∈R，则“”是“a＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的必要非充分条件．故选：B．4．（2023春•阜阳期末）若数列{an}为等比数列，则“a3＝±2”是“a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：由题意，方程x2﹣5x+4＝0的两个根为1和4，则a1＝1，a5＝4或a1＝4，a5＝1，设等比数列{an}的公比为q，若a1＝1，a5＝4，则q4＝＝4，即q2＝2，此时a3＝a1q2＝2；若a1＝4，a5＝1，则q4＝＝，即q2＝，此时a3＝a1q2＝4×＝2；即若a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，可得a3＝2，故“a3＝±2”是“a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根”的必要不充分条件．故选：B．5．（2023春•仙游县校级期中）x2＝4是x＝﹣2的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解答】解：由x2＝4得，x＝2或﹣2，所以x2＝4是x＝﹣2的必要不充分条件．故选：B【题型5充分、必要、充要和集合的关系】【知识点】若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，q是p的必要条件①若AB，则p是q的充分不必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；【典例5】（2023春•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣8x+7≤0}和非空集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若m＝5，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）{x|6≤x≤7}；（2）[2，4]．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣8x+7≤0}＝{x|1≤x≤7}，若m＝5，则B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝{x|6≤x≤7}；（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A，∵B≠∅，则，解得2≤m≤4，综上，实数m的取值范围是[2，4]．【题型训练5】1.（2022秋•连云港期末）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，非空集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，a∈R．（1）若a＝3，求（∁UA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】（1）{x|﹣1≤x＜1或5＜x≤7}；（2）[]．【解答】解：（1）解集合A对应的一元二次不等式可得（x﹣1）（x﹣5）≤0，所以A＝{x|1≤x≤5}，∁UA＝{x|x＜1或x＞5}，当a＝3时，B＝{x|﹣1≤x≤7}，（∁UA）∩B＝{x|﹣1≤x＜1或5＜x≤7}；（2）若“x∈A是“x∈B的必要不充分条件，等价于非空集B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}是集合A＝{x|1≤x≤5}的真子集，即，解得（两端点不会同时取等号，所以等号符合题意），故a的取值范围为[]．2.（2022秋•金水区校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣8x+7≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1）．（1）若m＝3，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）A∩B＝{x|4≤x≤5}；（2）实数m的取值范围是（﹣∞，4]．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣8x+7≤0}＝{x|1≤x≤7}，若m＝3，则B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}＝{x|4≤x≤5}，∴A∩B＝{x|4≤x≤5}；（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⊆A，①当B＝∅时，则m+1＞2m﹣1，解