等差数列讲义：选填经典题型(详解答案)

等差数列讲义：选填经典题型一、单选题1．数列，…的通项公式可能是（）A． B． C． D．2．在等比数列{an}中，“a2＞a1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要3．下列关于等差数列和等比数列的叙述正确的是（）A．若非常数列为等差数列，则也可能是等差数列B．若非常数列为等比数列，则不可能是等差数列C．若数列的前n项和，则数列可能是等差数列D．若等差数列的前n项和有最大值，则公差d可能大于零4．已知数列中，，，则（）A． B． C． D．5．已知.将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（）A．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列B．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列C．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列D．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列6．已知正项数列的前n项和为，满足，则()A． B． C． D．7．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．1768．设，，是与的等差中项，则的最小值为（）A． B． C． D．9．在数列中，=3n-19，则使数列的前项和最小时n=（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知等差数列中，，前5项的和满足，则公差取值范围为（）A． B． C． D．11．设等差数列的前n项和为，满足，，则（）A． B．的最大值为C． D．满足的最大自然数n的值为2312．若是等差数列，首项，公差，且，则使数列的前项和成立的最大自然数是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．402413．设等差数列的前项和为，且满足，则中最大项为（）A． B．C． D．14．数列满足，则的前20项和为（）A．210 B．220 C．230 D．24015．数列的通项，其前项和为，则为（）A． B． C． D．16．已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（）A．19 B．45 C．55 D．10017．在等差数列中，前项和为，，则等于()A． B． C． D．18．已知数列的前n项之和，则的值为A．61 B．65 C．67 D．6819．等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于（）A． B． C． D．20．已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是()A．(1)(3) B．(1)(4) C．(2)(3) D．(2)(4)21．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201022．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是（）A． B． C． D．23．已知等差数列的前项和为，，则取最大值时的的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或624．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺 B．150尺 C．90尺 D．180尺二、填空题25．已知数列中，，前项和为．若，则数列的前项和为_______．26．设等差数列的前项和，若且，则__________．27．设数列的前项和为，且满足，则____．28．在数列中，，，则数列的通项______．29．记数列的前项和为满足，且，，则数列的前项和______.30．设数列中前项的和，则______.31．若，，则_______________.32．设数列的前项和为，已知，，则等于______.33．设是数列的前n项和，且，则使取得最大值时n的值为_____________.34．已知数列的前项和为，，，则______.参考答案1．D由，排除A，C，由，排除B.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列通项公式的判定与排除法的运用，属于基础题.2．B是递增数列，则必有，必要性满足，若，，满足，但，数列不是递增数列，充分性不满足．应是必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．3．C对于A，设数列的公差为，则，由、不为定值可知不为定值，故不可能是等差数列，故A错误；对于B，若，则，此时为等差数列，故B错误；对于C，若，则，此时，数列是等差数列，故C正确；对于D，设数列的首项为，公差为，则，若，结合二次函数的图象与性质可知无最大值，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的判断，考查了等差数列前n项和的函数特性，合理举例、牢记知识点是解题关键，属于中档题.4．C在等式两边取倒数得，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，则，.故选：C.【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查了等差数列定义的应用，考查计算能力，属于基础题.5．D注意到时，，且的值为，构成公差为的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.6．D，当时，，或（舍去）；当时，，，两式相减得：.，，所以数列是首项，公差的等差数列，，故选：D.点睛：本题主要考查数列通项与前n和之间的关系以及等差数列的通项和前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．B等差数列前n项和公式，．考点：数列前n项和公式．8．D∵是与的等差中项，∴，即，∴．所以当且仅当即时取等号，∴的最小值为9．9．C因为，所以数列是首项，公差为的等差数列，所以，令，易知该函数图象开口朝上，对称轴为直线，由可得当时，取最小值.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列性质及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．C由题可知：，又，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前和以及公差的范围，关键在于用表示，属基础题.11．C设等差数列的公差为由，可得，整理可得，由所，即，故A错误；根据，则数列为递减数列，，即，则前项或前项的和最大，故B错误；C正确；所以，即，解得，满足的最大自然数n的值为22，故D错误；故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性，属于基础题.12．D因为是等差数列，首项，公差，所以是递减数列，又因为，所以，所以，所以则使数列的前项和成立的最大自然数是4024.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．D，，所以，所以，后面的项都小于零.由于，所以最大项为.考点：等差数列的性质，构造新数列的性质.【点晴】本题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的前项和公式，考查数列的单调性.根据等差数列的性质，将已知条件转化为，这就说明数列的首项是正数，且公差是复数，并且正负交替的项位于第和第项，所以构造的新数列中，前面项是正数，后面项是负数，所以最大项只有在前项中产生，然后比较分子分母的单调性可得最大值为第八项.14．A因为故=即：同理可得：故可得令则，又，故故.故选：A.【点睛】本题考查由递推公式，找到通项之间的关系，属数列困难题，对计算能力要求较高.15．A首先对进行化简得，又由关于的取值表：123456可得的周期为，则可得，设，则，故选A．点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.16．C由题意，正项等比数列的公比为q，且，可得，，因为，即，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等差数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.17．A设首项为，公差为，，，即，则，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题．18．C当时，，当时，，故，据通项公式得．故选C．【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意的情况，是一道基础题．19．C，又∵当时，，．故选:C．【点睛】本题考查了等差数列前n项和与通项的关系，判断是解题的关键.20．D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．21．B数列为等差数列,若所以与异号首项,则公差所以则,所以由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得所以的最大值为,即故选:B【点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n项和公式的应用,不等式性质的应用,属于中档题.22．D因为等差数列中，，，所以公差，，，因为，所以，因为，所以，根据等差数列的性质可知，时，；时，.故使前项和成立的最小正整数是.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.23．C设等差数列的公差为，则，∴，得，解得，∴，由二次函数的性质可得当或5时，取最大值，故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的最值，考查数列的通项，属于中档题.24．C已知等差数列选C.25．因为，所以.所以.又，所以是首项为，公差为的等差数列，则.所以.又也满足，所以.所以.所以数列的前项和为.【点睛】本题考查数列的综合问题，考查与的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强.已知与的关系式，有两种思路：一是由消掉得到关于通项的关系式；二是把代换成得到关于求和的关系式.26．因为，，所以，，从而公差，又，所以，从而，解得，故填.27．解：，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题。28．由题意可得：，利用累加法，得：，，于是：．故答案为【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.29．由题可知：①当时，②，①②得，即（）又，所以，则，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以，则，所以.故答案为：【点睛】本题考查根据证明等比数列，还考查等差数列的前项和公式，掌握，熟悉公式，属基础题.30．由①，取得：，即.当时，②，①－②得：，即..∵，∴数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴.，故答案为：.【点睛】本题考查由和的关系式求数列的通项公式，解题根据是，但要注意此式中，不包含．否则易出错．31．原式可化为（），因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.故答案为：.【点睛】本题主要由数列的递推公式构造新数列，使之成等差数列或等比数列的问题，构造是关键，属于中档题.32．1010因为，，因为所以，由此可得，，，所以，周期为4，所以.故答案为：1010【点睛】本题考查数列的递推公式和数列的周期性，考查求数列前项的和的问题，考查学生的推理能力和计算能力，属于中档题.33．3∵a1=1，an+1=﹣SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=﹣SnSn+1，∴．∴=1+﹣（n﹣1）=n，∴Sn=，则使等号不